Vibrações forçadas. Equação de oscilações forçadas e sua solução

1. Vamos descobrir quais transformações de energia ocorrem durante as oscilações de um pêndulo de mola (ver Fig. 80). Quando uma mola é esticada, sua energia potencial aumenta e no estiramento máximo ela tem o valor E n = .

À medida que a carga se move em direção à posição de equilíbrio, a energia potencial da mola diminui e a energia cinética da carga aumenta. Na posição de equilíbrio, a energia cinética da carga é máxima E k = , e a energia potencial da mola é zero.

Quando uma mola é comprimida, sua energia potencial aumenta e a energia cinética da carga diminui. Na compressão máxima, a energia potencial da mola é máxima e a energia cinética da carga é zero.

Se negligenciarmos a força de atrito, então em qualquer momento a soma das energias potencial e cinética permanece inalterada

E = E n + E k = const.

Na presença de uma força de atrito, a energia é gasta na realização de trabalho contra essa força, a amplitude das oscilações diminui e as oscilações desaparecem.

Assim, as oscilações livres do pêndulo, que ocorrem devido ao fornecimento inicial de energia, são sempre desbotando.

2. Surge a questão do que precisa ser feito para garantir que as flutuações não parem com o tempo. Obviamente, para obter oscilações não amortecidas é necessário compensar as perdas de energia. Isso pode ser feito de diferentes maneiras. Vamos considerar um deles.

Você sabe muito bem que as vibrações de um balanço não desaparecerão se você empurrá-lo constantemente, ou seja, agir sobre ele com alguma força. Neste caso, as vibrações do balanço não são mais livres, ocorrerão sob a influência de uma força externa. O trabalho desta força externa repõe com precisão a perda de energia causada pelo atrito.

Vamos descobrir qual deveria ser a força externa? Suponhamos que a magnitude e a direção da força sejam constantes. Obviamente, neste caso as oscilações irão parar, pois o corpo, tendo ultrapassado a posição de equilíbrio, não retornará a ela. Portanto, a magnitude e a direção da força externa devem mudar periodicamente.

Por isso,

oscilações forçadas são oscilações que ocorrem sob a influência de uma força externa que muda periodicamente.

As vibrações forçadas, diferentemente das livres, podem ocorrer em qualquer frequência. A frequência das oscilações forçadas é igual à frequência de mudança da força que atua no corpo, neste caso é chamado forçando.

3. Vamos fazer uma experiência. Penduramos vários pêndulos de diferentes comprimentos em uma corda fixada nas prateleiras (Fig. 82). Vamos desviar o pêndulo A da posição de equilíbrio e deixá-lo sozinho. Ele oscilará livremente, agindo com alguma força periódica na corda. A corda, por sua vez, atuará nos demais pêndulos. Como resultado, todos os pêndulos começarão a realizar oscilações forçadas com a frequência das oscilações do pêndulo A.

Veremos que todos os pêndulos começarão a oscilar com uma frequência igual à frequência das oscilações do pêndulo A. No entanto, sua amplitude de oscilação, exceto para o pêndulo C, será menor que a amplitude das oscilações do pêndulo A. O pêndulo C, cujo comprimento é igual ao comprimento do pêndulo A, irá balançar com muita força. Consequentemente, o pêndulo tem a maior amplitude de oscilação, cuja frequência natural de oscilações coincide com a frequência da força motriz. Neste caso dizem que se observa ressonância.

A ressonância é o fenômeno de um aumento acentuado na amplitude das oscilações forçadas quando a frequência da força motriz coincide com a frequência natural do sistema oscilatório (pêndulo).

A ressonância pode ser observada quando o balanço oscila. Agora você pode explicar que o balanço balançará com mais força se for empurrado no ritmo de suas próprias vibrações. Neste caso, a frequência da força externa é igual à frequência de oscilação do balanço. Qualquer empurrão contra o movimento do balanço causará uma diminuição na sua amplitude.

4 * . Vamos descobrir quais transformações de energia ocorrem durante a ressonância.

Se a frequência da força motriz for diferente da frequência natural de vibração do corpo, então a força motriz será direcionada na direção do movimento do corpo ou contra ele. Conseqüentemente, o trabalho desta força será negativo ou positivo. Em geral, o trabalho da força motriz, neste caso, altera ligeiramente a energia do sistema.

Seja agora a frequência da força externa igual à frequência natural das oscilações do corpo. Neste caso, a direção da força motriz coincide com a direção da velocidade do corpo, e a força de resistência é compensada por uma força externa. O corpo vibra apenas sob a influência de forças internas. Em outras palavras, o trabalho negativo contra a força de resistência é igual ao trabalho positivo da força externa. Portanto, as oscilações ocorrem com amplitude máxima.

5. O fenômeno da ressonância deve ser levado em consideração na prática. Em particular, máquinas-ferramentas e máquinas sofrem leves vibrações durante a operação. Se a frequência dessas vibrações coincidir com a frequência natural das partes individuais das máquinas, então a amplitude das vibrações pode ser muito grande. A máquina ou o suporte sobre o qual ela se apoia entrará em colapso.

Há casos conhecidos em que, por ressonância, um avião se desfez no ar, as hélices dos navios quebraram e os trilhos da ferrovia ruíram.

A ressonância pode ser evitada alterando a frequência natural do sistema ou a frequência da força que causa as oscilações. Para isso, por exemplo, os soldados que atravessam uma ponte não andam no mesmo ritmo, mas sim em ritmo livre. Caso contrário, a frequência dos seus passos pode coincidir com a frequência natural da ponte e esta entrará em colapso. Isso aconteceu em 1750 na França, quando um destacamento de soldados passou por uma ponte de 102 m de comprimento, pendurado em correntes. Um incidente semelhante ocorreu em São Petersburgo em 1906. Quando um esquadrão de cavalaria cruzou a ponte egípcia sobre o rio Fontanka, a frequência do passo claro dos cavalos coincidiu com a frequência de vibração da ponte.

Para evitar ressonância, os trens atravessam pontes em velocidades lentas ou muito rápidas, de modo que a frequência dos impactos das rodas nas juntas dos trilhos seja significativamente menor ou significativamente maior que a frequência natural da ponte.

O fenômeno da ressonância nem sempre é prejudicial. Às vezes pode ser útil, pois permite obter um grande aumento na amplitude das vibrações mesmo com a ajuda de uma pequena força.

A ação de um dispositivo que permite medir a frequência das oscilações é baseada no fenômeno da ressonância. Este dispositivo é chamado medidor de frequência. Seu trabalho pode ser ilustrado pelo seguinte experimento. Na máquina centrífuga é acoplado um modelo de frequencímetro, que consiste em um conjunto de placas (línguas) de diferentes comprimentos (Fig. 83). Nas extremidades das placas existem bandeiras de estanho revestidas com tinta branca. Você pode notar que ao alterar a velocidade de rotação do cabo da máquina, diferentes placas começam a vibrar. Aquelas placas cuja frequência natural é igual à frequência de rotação começam a vibrar.

Perguntas de autoteste

1. O que determina a amplitude das oscilações livres de um pêndulo de mola?

2. A amplitude das oscilações de um pêndulo permanece constante na presença de forças de atrito?

3. Que transformações de energia ocorrem quando um pêndulo de mola oscila?

4. Por que as oscilações livres são amortecidas?

5. Quais vibrações são chamadas de forçadas? Dê exemplos de oscilações forçadas.

6. O que é ressonância?

7. Dê exemplos de manifestações prejudiciais de ressonância. O que precisa ser feito para evitar ressonância?

8. Dê exemplos do uso do fenômeno de ressonância.

Tarefa 26

1. Preencha a tabela 14, anotando qual força atua no sistema oscilatório caso ele realize oscilações livres ou forçadas; quais são a frequência e amplitude dessas oscilações; estejam eles amortecidos ou não.

Tabela 14

2 e.Sugira um experimento para observar oscilações forçadas.

3 e.Estude experimentalmente o fenômeno da ressonância usando pêndulos matemáticos que você fez.

4. A uma certa velocidade de rotação da roda da máquina de costura, a mesa sobre a qual ela está às vezes balança fortemente. Por que?

Ao contrário das oscilações livres, quando o sistema recebe apenas uma vez (quando o sistema é removido), no caso de oscilações forçadas, o sistema absorve esta energia de uma fonte de força periódica externa continuamente. Essa energia repõe as perdas gastas na superação e, portanto, o não total ainda permanece inalterado.

As vibrações forçadas, diferentemente das livres, podem ocorrer em qualquer frequência. coincide com a frequência da força externa que atua no sistema oscilatório. Assim, a frequência das oscilações forçadas é determinada não pelas propriedades do próprio sistema, mas pela frequência da influência externa.

Exemplos de vibrações forçadas são as vibrações de um balanço infantil, as vibrações de uma agulha em uma máquina de costura, um pistão no cilindro do motor de um carro, as molas de um carro se movendo em uma estrada acidentada, etc.

Ressonância

DEFINIÇÃO

Ressonância– este é o fenômeno de um aumento acentuado nas oscilações forçadas à medida que a frequência da força motriz se aproxima da frequência natural do sistema oscilatório.

A ressonância surge devido ao fato de que quando uma força externa, agindo em sincronia com vibrações livres, tem sempre a mesma direção do corpo oscilante e realiza um trabalho positivo: a energia do corpo oscilante aumenta e torna-se grande. Se uma força externa atua “fora de sintonia”, então essa força realiza alternadamente trabalho negativo e positivo e, como resultado, a energia do sistema muda ligeiramente.

A Figura 1 mostra a dependência da amplitude das oscilações forçadas com a frequência da força motriz. Pode-se observar que esta amplitude atinge um máximo em um determinado valor de frequência, ou seja, em , onde é a frequência natural do sistema oscilatório. As curvas 1 e 2 diferem na magnitude da força de atrito. Com baixo atrito (curva 1), a curva de ressonância tem um máximo acentuado; com uma força de atrito mais alta (curva 2), não existe tal máximo acentuado.

Freqüentemente encontramos o fenômeno da ressonância na vida cotidiana. Se as janelas da sala começaram a tremer quando um caminhão pesado passou pela rua, isso significa que a frequência natural de vibração do vidro é igual à frequência de vibração do carro. Se as ondas do mar ressoam com o período do navio, o balanço torna-se especialmente forte.

O fenômeno da ressonância deve ser levado em consideração no projeto de pontes, edifícios e outras estruturas que sofram vibrações sob carga, caso contrário, sob certas condições, essas estruturas podem ser destruídas. No entanto, a ressonância também pode ser benéfica. O fenômeno da ressonância é usado ao sintonizar um receptor de rádio em uma frequência de transmissão específica, bem como em muitos outros casos.

Exemplos de resolução de problemas

EXEMPLO 1

EXEMPLO 2

Para que o sistema execute oscilações não amortecidas, é necessário compensar a perda de energia de oscilação devido ao atrito externo. Para garantir que a energia de oscilação do sistema não diminua, geralmente é introduzida uma força que atua periodicamente sobre o sistema (chamaremos essa força de forçar, e as oscilações são forçadas).

DEFINIÇÃO: forçado Estas são as oscilações que ocorrem em um sistema oscilatório sob a influência de uma força externa que muda periodicamente.

Essa força geralmente desempenha um papel duplo:

Em primeiro lugar, balança o sistema e fornece-lhe uma certa quantidade de energia;

Em segundo lugar, repõe periodicamente as perdas de energia (consumo de energia) para superar as forças de resistência e fricção.

Deixe a força motriz mudar ao longo do tempo de acordo com a lei:

Vamos compor uma equação de movimento para um sistema oscilando sob a influência de tal força. Assumimos que o sistema também é afetado por uma força quase elástica e pela força de resistência do meio (o que é verdade sob a suposição de pequenas oscilações).

Então a equação de movimento do sistema ficará assim:

Ou .

Feitas as substituições , , - a frequência natural das oscilações do sistema, obtemos uma equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem:

Da teoria das equações diferenciais sabe-se que a solução geral de uma equação não homogênea é igual à soma da solução geral de uma equação homogênea e de uma solução particular de uma equação não homogênea.

A solução geral da equação homogênea é conhecida:

,

Onde ; a 0 e a- const arbitrário.

.

Usando um diagrama vetorial, você pode verificar se essa suposição é verdadeira e também determinar os valores de “ a" E " j”.

A amplitude das oscilações é determinada pela seguinte expressão:

.

Significado " j”, que é a magnitude do atraso de fase da oscilação forçada da força motriz que o determinou, também é determinado a partir do diagrama vetorial e equivale a:

.

Finalmente, uma solução particular para a equação não homogênea assumirá a forma:

(8.18)

Esta função, combinada com

(8.19)

fornece uma solução geral para uma equação diferencial não homogênea que descreve o comportamento de um sistema sob oscilações forçadas. O termo (8.19) desempenha um papel significativo na fase inicial do processo, durante o chamado estabelecimento das oscilações (Fig. 8.10).

Com o tempo, devido ao fator exponencial, o papel do segundo termo (8.19) diminui cada vez mais, e após tempo suficiente pode ser desprezado, retendo apenas o termo (8.18) na solução.

Assim, a função (8.18) descreve oscilações forçadas em estado estacionário. Eles representam oscilações harmônicas com frequência igual à frequência da força motriz. A amplitude das oscilações forçadas é proporcional à amplitude da força motriz. Para um determinado sistema oscilatório (definido por w 0 e b), a amplitude depende da frequência da força motriz. As oscilações forçadas estão atrasadas em relação à força motriz em fase, e a magnitude do atraso “j” também depende da frequência da força motriz.

A dependência da amplitude das oscilações forçadas com a frequência da força motriz leva ao fato de que em uma determinada frequência determinada para um determinado sistema, a amplitude das oscilações atinge um valor máximo. O sistema oscilatório revela-se especialmente responsivo à ação da força motriz nesta frequência. Este fenômeno é chamado de ressonância, e a frequência correspondente é frequência de ressonância.

DEFINIÇÃO: um fenômeno no qual se observa um aumento acentuado na amplitude das oscilações forçadas é denominado ressonância.

A frequência ressonante é determinada a partir da condição máxima para a amplitude das oscilações forçadas:

. (8.20)

Então, substituindo este valor na expressão da amplitude, obtemos:

. (8.21)

Na ausência de resistência média, a amplitude das oscilações na ressonância se voltaria para o infinito; a frequência de ressonância nas mesmas condições (b = 0) coincide com a frequência natural das oscilações.

A dependência da amplitude das oscilações forçadas com a frequência da força motriz (ou, o que dá no mesmo, com a frequência de oscilação) pode ser representada graficamente (Fig. 8.11). As curvas individuais correspondem a diferentes valores de “b”. Quanto menor “b”, mais alto e à direita está o máximo desta curva (ver expressão para wres.). Com amortecimento muito grande, a ressonância não é observada - com o aumento da frequência, a amplitude das oscilações forçadas diminui monotonicamente (curva inferior na Fig. 8.11).

O conjunto de gráficos apresentados correspondentes a diferentes valores de b é denominado curvas ressonantes.

Notas em relação às curvas de ressonância:

À medida que w®0 tende, todas as curvas chegam ao mesmo valor diferente de zero, igual a . Este valor representa o deslocamento da posição de equilíbrio que o sistema recebe sob a influência de uma força constante F 0 .

Para w®¥, todas as curvas tendem assintoticamente a zero, porque em altas frequências, a força muda de direção tão rapidamente que o sistema não tem tempo de mudar visivelmente de sua posição de equilíbrio.

Quanto menor b, mais a amplitude próxima à ressonância muda com a frequência, mais “nítido” é o máximo.

Exemplos:

O fenômeno da ressonância muitas vezes acaba sendo útil, especialmente em acústica e engenharia de rádio.

Perdas de energia mecânica em qualquer sistema oscilatório devido à presença de forças de atrito são inevitáveis, portanto, sem “bombear” energia de fora, as oscilações serão amortecidas. Existem várias maneiras fundamentalmente diferentes de criar sistemas oscilatórios de oscilações contínuas. Vamos dar uma olhada mais de perto oscilações não amortecidas sob a ação de uma força periódica externa. Tais oscilações são chamadas de forçadas. Continuemos estudando o movimento de um pêndulo harmônico (Fig. 6.9).

Além das forças de elasticidade e atrito viscoso discutidas anteriormente, a bola sofre a ação de um elemento externo. atraente força periódica variando de acordo com uma lei harmônica

frequência, que pode diferir da frequência natural de oscilação do pêndulo ω ó. A natureza desta força neste caso não é importante para nós. Tal força pode ser criada de várias maneiras, por exemplo, transmitindo uma carga elétrica à bola e colocando-a em um campo elétrico alternado externo. A equação do movimento da bola no caso em consideração tem a forma

Vamos dividir pela massa da bola e usar a notação anterior para os parâmetros do sistema. Como resultado obtemos equação de oscilação forçada:

Onde f ó =F ó /m− a relação entre o valor da amplitude da força motriz externa e a massa da bola. A solução geral da equação (3) é bastante complicada e, claro, depende das condições iniciais. A natureza do movimento da bola, descrito pela equação (3), é clara: sob a influência da força motriz surgirão oscilações, cuja amplitude aumentará. Este regime de transição é bastante complexo e depende das condições iniciais. Após um certo período de tempo, o modo oscilatório será estabelecido e sua amplitude deixará de mudar. Exatamente estado estacionário de oscilação, em muitos casos é de interesse primário. Não consideraremos a transição do sistema para um estado estacionário, mas nos concentraremos na descrição e estudo das características deste modo. Com esta formulação do problema, não há necessidade de especificar as condições iniciais, uma vez que o estado estacionário que nos interessa não depende das condições iniciais, suas características são totalmente determinadas pela própria equação. Encontramos uma situação semelhante ao estudar o movimento de um corpo sob a ação de uma força externa constante e a força de atrito viscoso

Depois de algum tempo, o corpo se move a uma velocidade constante e constante v = F ó /β , que não depende das condições iniciais e é totalmente determinado pela equação do movimento. As condições iniciais determinam o regime de transição para o movimento estacionário. Com base no bom senso, é razoável supor que em um modo de oscilação estacionário a bola oscilará na frequência da força motriz externa. Portanto, a solução da equação (3) deve ser buscada em uma função harmônica com a frequência da força motriz. Primeiro, vamos resolver a equação (3), desprezando a força de resistência

Vamos tentar encontrar sua solução na forma de uma função harmônica

Para fazer isso, calculamos a dependência da velocidade e aceleração do corpo com o tempo, como derivadas da lei do movimento

e substitua seus valores na equação (4)

Agora você pode reduzi-lo em traje. Consequentemente, esta expressão torna-se a identidade correta a qualquer momento, sujeita ao cumprimento da condição

Assim, nossa suposição sobre a solução da equação (4) na forma (5) foi justificada: o estado estacionário das oscilações é descrito pela função

Observe que o coeficiente A de acordo com a expressão resultante (6) pode ser positivo (com ω < ω ó) e negativo (com ω > ω ó). A mudança no sinal corresponde a uma mudança na fase das oscilações por π (o motivo desta mudança será esclarecido um pouco mais tarde), portanto a amplitude das oscilações é o módulo deste coeficiente |A|. A amplitude das oscilações em estado estacionário, como seria de esperar, é proporcional à magnitude da força motriz. Além disso, esta amplitude depende de forma complexa da frequência da força motriz. Um gráfico esquemático desta relação é mostrado na Fig. 6.10

Arroz. 6.10 Curva de ressonância

Como segue da fórmula (6) e é claramente visível no gráfico, à medida que a frequência da força motriz se aproxima da frequência natural do sistema, a amplitude aumenta acentuadamente. A razão para este aumento de amplitude é clara: a força motriz “durante” empurra a bola, quando as frequências coincidem completamente, o modo estabelecido está ausente - a amplitude aumenta até o infinito. Claro que na prática é impossível observar um aumento tão infinito: Primeiramente, isso pode levar à destruição do próprio sistema oscilatório, Em segundo lugar, em grandes amplitudes de oscilações, as forças de resistência do meio não podem ser desprezadas. Um aumento acentuado na amplitude das oscilações forçadas à medida que a frequência da força motriz se aproxima da frequência natural das oscilações do sistema é chamado de fenômeno de ressonância. Passemos agora à busca de uma solução para a equação das oscilações forçadas levando em consideração a força de resistência

Naturalmente, também neste caso a solução deve ser procurada na forma de uma função harmónica com a frequência da força motriz. É fácil perceber que buscar uma solução na forma (5) neste caso não levará ao sucesso. Na verdade, a equação (8), em contraste com a equação (4), contém a velocidade da partícula, que é descrita pela função seno. Portanto, a parte do tempo na equação (8) não será reduzida. Portanto, a solução da equação (8) deve ser representada na forma geral de uma função harmônica

em que existem dois parâmetros A ó E φ deve ser encontrado usando a equação (8). Parâmetro A óé a amplitude das oscilações forçadas, φ − mudança de fase entre a coordenada variável e a força motriz variável. Usando a fórmula trigonométrica do cosseno da soma, a função (9) pode ser representada na forma equivalente

que também contém dois parâmetros B=A ó cosφ E C = −A ó pecadoφ estar determinado. Usando a função (10), escrevemos expressões explícitas para as dependências da velocidade e aceleração de uma partícula no tempo

e substitua na equação (8):

Vamos reescrever esta expressão na forma

Para que a igualdade (13) seja satisfeita a qualquer momento, é necessário que os coeficientes do cosseno e do seno sejam iguais a zero. Com base nesta condição, obtemos duas equações lineares para determinação dos parâmetros da função (10):

A solução deste sistema de equações tem a forma

Com base na fórmula (10), determinamos as características das oscilações forçadas: amplitude

mudança de fase

Em baixa atenuação, esta dependência tem um máximo acentuado à medida que a frequência da força motriz se aproxima ω à frequência natural do sistema ω ó. Assim, neste caso, também pode ocorrer ressonância, razão pela qual as dependências traçadas são frequentemente chamadas de curva de ressonância. Levar em consideração a atenuação fraca mostra que a amplitude não aumenta até o infinito, seu valor máximo depende do coeficiente de atenuação - à medida que este aumenta, a amplitude máxima diminui rapidamente. A dependência obtida da amplitude de oscilação na frequência da força motriz (16) contém muitos parâmetros independentes ( f ó , ω ó , γ ) para construir uma família completa de curvas de ressonância. Como em muitos casos, esta relação pode ser significativamente simplificada passando para variáveis ​​“adimensionais”. Vamos transformar a fórmula (16) na seguinte forma

e denotar

− frequência relativa (a relação entre a frequência da força motriz e a frequência natural das oscilações do sistema);

− amplitude relativa (a razão entre a amplitude de oscilação e o valor do desvio A ó =f/ω ó 2 na frequência zero);

− parâmetro adimensional que determina a quantidade de atenuação. Usando essas notações, a função (16) é significativamente simplificada

uma vez que contém apenas um parâmetro - δ . Uma família de curvas de ressonância de um parâmetro descrita pela função (16 b) pode ser construída, especialmente facilmente usando um computador. O resultado desta construção é mostrado na Fig. 629.

arroz. 6.11

Observe que a transição para unidades de medida “convencionais” pode ser realizada simplesmente alterando a escala dos eixos coordenados. Deve-se notar que a frequência da força motriz, na qual a amplitude das oscilações forçadas é máxima, também depende do coeficiente de amortecimento, diminuindo ligeiramente à medida que este aumenta. Por fim, enfatizamos que um aumento no coeficiente de amortecimento leva a um aumento significativo na largura da curva de ressonância. A mudança de fase resultante entre as oscilações do ponto e a força motriz também depende da frequência das oscilações e do seu coeficiente de amortecimento. Ficaremos mais familiarizados com o papel desta mudança de fase ao considerarmos a conversão de energia no processo de oscilações forçadas.

a frequência das oscilações livres não amortecidas coincide com a frequência natural, a frequência das oscilações amortecidas é ligeiramente menor que a natural e a frequência das oscilações forçadas coincide com a frequência da força motriz, e não com a frequência natural.

Oscilações eletromagnéticas forçadas

Forçado Estas são as oscilações que ocorrem em um sistema oscilatório sob a influência de uma influência periódica externa.

Figura 6.12. Circuito com oscilações elétricas forçadas

Consideremos os processos que ocorrem em um circuito elétrico oscilatório ( Figura 6.12), conectado a uma fonte externa, cuja fem varia de acordo com a lei harmônica

,

Onde  eu– amplitude do EMF externo,

 – frequência cíclica de EMF.

Vamos denotar por você C tensão através do capacitor e através eu - intensidade da corrente no circuito. Neste circuito, além do EMF variável  (t) a fem auto-induzida também está ativa  eu no indutor.

A fem de autoindução é diretamente proporcional à taxa de variação da corrente no circuito

.

Para retirada equação diferencial de oscilações forçadas surgindo em tal circuito, usamos a segunda regra de Kirchhoff

.

Tensão através da resistência ativa R encontrar pela lei de Ohm

.

A intensidade da corrente elétrica é igual à carga que flui por unidade de tempo através da seção transversal do condutor

.

Por isso

.

Tensão você C no capacitor é diretamente proporcional à carga nas placas do capacitor

.

A fem de autoindução pode ser representada através da segunda derivada da carga em relação ao tempo

.

Substituindo tensão e EMF na segunda regra de Kirchhoff

.

Dividindo ambos os lados desta expressão por eu e distribuindo os termos de acordo com o grau de ordem decrescente da derivada, obtemos uma equação diferencial de segunda ordem

.

Vamos introduzir a seguinte notação e obter

– coeficiente de atenuação,

– frequência cíclica das oscilações naturais do circuito.

. (1)

A equação (1) é heterogêneo equação diferencial linear de segunda ordem. Este tipo de equação descreve o comportamento de uma ampla classe de sistemas oscilatórios (elétricos, mecânicos) sob a influência de influências periódicas externas (fem externa ou força externa).

A solução geral da equação (1) consiste na solução geral q 1 homogêneo equação diferencial (2)

(2)

e qualquer solução privada q 2 heterogêneo equações (1)

.

Tipo de solução geral homogêneo equação (2) depende do valor do coeficiente de atenuação  . Estaremos interessados ​​no caso de atenuação fraca  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

Onde B E  0 – constantes especificadas pelas condições iniciais.

A solução (3) descreve oscilações amortecidas no circuito. Valores incluídos em (3):

– frequência cíclica de oscilações amortecidas;

– amplitude das oscilações amortecidas;

–fase de oscilações amortecidas.

Procuramos uma solução particular para a equação (1) na forma de uma oscilação harmônica ocorrendo com uma frequência igual à frequência  influência periódica externa - EMF, e atrasado em fase por  Dele

Onde
– amplitude das oscilações forçadas, dependendo da frequência.

Vamos substituir (4) em (1) e obter a identidade

Para comparar as fases das oscilações, usamos fórmulas de redução trigonométrica

.

Então nossa equação será reescrita como

Vamos representar as oscilações no lado esquerdo da identidade resultante na forma diagrama vetorial (arroz.6.13)..

O terceiro termo correspondente às oscilações na capacitância COM, tendo fase (  t –  ) e amplitude
, nós o representamos como um vetor horizontal direcionado para a direita.

Figura 6.13. Diagrama vetorial

O primeiro termo do lado esquerdo, correspondendo a oscilações na indutância eu, será representado no diagrama vetorial como um vetor direcionado horizontalmente para a esquerda (sua amplitude
).

Segundo termo correspondente a oscilações na resistência R, nós o representamos como um vetor direcionado verticalmente para cima (sua amplitude
), porque sua fase está /2 atrás da fase do primeiro termo.

Como a soma de três vibrações à esquerda do sinal de igual dá uma vibração harmônica
, então a soma vetorial no diagrama (diagonal do retângulo) representa uma oscilação com amplitude e fase  t, que está em  avança a fase de oscilação do terceiro termo.

De um triângulo retângulo, usando o teorema de Pitágoras, você pode encontrar a amplitude A( )

(5)

E tg como a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.

. (6)

Consequentemente, a solução (4) levando em consideração (5) e (6) assumirá a forma

. (7)

Solução geral de uma equação diferencial(1) é a soma q 1 e q 2

. (8)

A fórmula (8) mostra que quando um circuito é exposto a um EMF externo periódico, surgem nele oscilações de duas frequências, ou seja, oscilações não amortecidas com a frequência de EMF externo  e oscilações amortecidas com frequência
. Amplitude de oscilações amortecidas
Com o tempo, torna-se insignificantemente pequeno e apenas oscilações forçadas permanecem no circuito, cuja amplitude não depende do tempo. Consequentemente, as oscilações forçadas em estado estacionário são descritas pela função (4). Ou seja, ocorrem oscilações harmônicas forçadas no circuito, com frequência igual à frequência da influência externa e amplitude
, dependendo desta frequência ( arroz. 3A) de acordo com a lei (5). Neste caso, a fase da oscilação forçada está atrasada em  da influência coercitiva.

Tendo diferenciado a expressão (4) em relação ao tempo, encontramos a intensidade da corrente no circuito

Onde
– amplitude da corrente.

Vamos escrever esta expressão para a intensidade da corrente na forma

, (9)

Onde
–mudança de fase entre fem atual e externa.

De acordo com (6) e arroz. 2

. (10)

Desta fórmula segue-se que a mudança de fase entre a corrente e a fem externa depende, com resistência constante R, da relação entre a frequência do EMF condutor  e frequência natural do circuito  0 .

Se  <  0, então a mudança de fase entre o EMF atual e externo  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Se  >  0 então  > 0. As flutuações atuais estão atrasadas em relação às flutuações EMF em fase por um ângulo  .

Se  =  0 (frequência de ressonância), Que  = 0, ou seja, a corrente e o EMF oscilam na mesma fase.

Ressonância– este é o fenômeno de um aumento acentuado na amplitude das oscilações quando a frequência da força motriz externa coincide com a frequência natural do sistema oscilatório.

Na ressonância  =  0 e período de oscilação

.

Considerando que o coeficiente de atenuação

,

obtemos expressões para o fator de qualidade na ressonância T = T 0

,

por outro lado

.

As amplitudes de tensão através da indutância e capacitância na ressonância podem ser expressas através do fator de qualidade do circuito

, (15)

. (16)

De (15) e (16) fica claro que quando  =  0, amplitude de tensão através do capacitor e indutância em P vezes maior que a amplitude da fem externa. Esta é uma propriedade de sequencial RLC circuito é usado para isolar um sinal de rádio de uma certa frequência
do espectro de radiofrequência ao reconstruir o receptor de rádio.

Na prática RLC circuitos são conectados a outros circuitos, instrumentos de medição ou dispositivos amplificadores que introduzem atenuação adicional em RLC o circuito. Portanto, o valor real do fator de qualidade do carregado RLC circuito acaba sendo inferior ao valor do fator de qualidade, estimado pela fórmula

.

O valor real do fator de qualidade pode ser estimado como

Figura 6.14. Determinando o fator de qualidade a partir da curva de ressonância

,

onde  f– largura de banda de frequências em que a amplitude é 0,7 do valor máximo ( arroz. 4).

Tensão do capacitor você C, na resistência ativa você R e no indutor você eu atingir um máximo em diferentes frequências, respectivamente

,
,
.

Se a atenuação for pequena  0 >>  , então todas essas frequências praticamente coincidem e podemos assumir que

.

Oscilações forçadas são aquelas oscilações que ocorrem em um sistema quando uma força externa que muda periodicamente, chamada força motriz, atua sobre ele.

A natureza (dependência do tempo) da força motriz pode ser diferente. Esta pode ser uma força que muda de acordo com uma lei harmônica. Por exemplo, uma onda sonora, cuja fonte é um diapasão, atinge o tímpano ou a membrana do microfone. Uma força de pressão do ar que muda harmoniosamente começa a agir na membrana.

A força motriz pode ser da natureza de solavancos ou impulsos curtos. Por exemplo, um adulto balança uma criança em um balanço, empurrando-a periodicamente no momento em que o balanço atinge uma de suas posições extremas.

Nossa tarefa é descobrir como o sistema oscilatório reage à influência de uma força motriz que muda periodicamente.

§ 1º A força motriz muda de acordo com a lei harmônica

A segunda lei de Newton será escrita como:

Esta igualdade deve ser verdadeira em qualquer instante t, o que só é possível se os coeficientes do seno e do cosseno forem iguais a zero.

Assim, um corpo que sofre a ação de uma força motriz, mudando de acordo com uma lei harmônica, realiza um movimento oscilatório com a frequência da força motriz.

Vamos examinar mais detalhadamente a questão da amplitude das oscilações forçadas:

1 A amplitude das oscilações forçadas em estado estacionário não muda com o tempo. (Compare com a amplitude das oscilações amortecidas livres).

2 A amplitude das oscilações forçadas é diretamente proporcional à amplitude da força motriz.

3 A amplitude depende do atrito no sistema (A depende de d, e o coeficiente de amortecimento d, por sua vez, depende do coeficiente de arrasto r). Quanto maior for o atrito no sistema, menor será a amplitude das oscilações forçadas.

4 A amplitude das oscilações forçadas depende da frequência da força motriz w. Como? Vamos estudar a função A(w).

· Quando w ® ¥, então, como é fácil de ver, a amplitude A tende a zero.

· É óbvio que a uma determinada frequência da força motriz, a amplitude das oscilações forçadas assumirá o maior valor (para um determinado d). O fenômeno de um aumento acentuado na amplitude das oscilações forçadas em um determinado valor da frequência da força motriz é denominado ressonância mecânica.

É interessante que o fator de qualidade do sistema oscilatório, neste caso, mostre quantas vezes a amplitude de ressonância excede o deslocamento do corpo da posição de equilíbrio sob a ação de uma força constante F 0 .

Vemos que tanto a frequência de ressonância quanto a amplitude de ressonância dependem do coeficiente de amortecimento d. À medida que d diminui para zero, a frequência de ressonância aumenta e tende para a frequência de oscilação natural do sistema w 0 . Neste caso, a amplitude ressonante aumenta e em d = 0 vai para o infinito. É claro que, na prática, a amplitude das oscilações não pode ser infinita, pois em sistemas oscilatórios reais sempre atuam forças de resistência. Se o sistema tiver baixa atenuação, podemos assumir aproximadamente que a ressonância ocorre na frequência de suas próprias oscilações:

onde no caso em consideração é a mudança de fase entre a força motriz e o deslocamento do corpo da posição de equilíbrio.

É fácil ver que a mudança de fase entre força e deslocamento depende do atrito no sistema e da frequência da força motriz externa. Essa dependência é mostrada na figura. É claro que quando< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- positivo.

Conhecendo a dependência do ângulo, pode-se obter a dependência da frequência da força motriz.

Em frequências da força externa que são significativamente mais baixas que a força natural, o deslocamento fica ligeiramente atrás da força motriz em fase. À medida que a frequência da força externa aumenta, este atraso de fase aumenta. Na ressonância (se pequena), a mudança de fase torna-se igual a. Quando >> o deslocamento e as oscilações de força ocorrem em antifase. Esta dependência pode parecer estranha à primeira vista. Para compreender este fato, voltemos às transformações de energia no processo de oscilações forçadas.

§ 2 Transformações energéticas

Como já sabemos, a amplitude das oscilações é determinada pela energia total do sistema oscilatório. Foi demonstrado anteriormente que a amplitude das oscilações forçadas permanece inalterada ao longo do tempo. Isto significa que a energia mecânica total do sistema oscilatório não muda com o tempo. Por que? Afinal, o sistema não está fechado! Duas forças - uma força externa que muda periodicamente e uma força de resistência - realizam um trabalho que deveria alterar a energia total do sistema.

Vamos tentar descobrir o que está acontecendo. A potência da força motriz externa pode ser encontrada da seguinte forma:

Vemos que a potência da força externa que alimenta o sistema oscilatório com energia é proporcional à amplitude de oscilação.

Devido ao trabalho da força de resistência, a energia do sistema oscilatório deve diminuir, passando para interna. Potência da força de resistência:

Obviamente, a potência da força de resistência é proporcional ao quadrado da amplitude. Vamos representar graficamente ambas as dependências em um gráfico.

Para que as oscilações sejam constantes (a amplitude não muda com o tempo), o trabalho da força externa durante o período deve compensar a perda de energia do sistema devido ao trabalho da força de resistência. O ponto de intersecção dos gráficos de potência corresponde exatamente a este regime. Vamos imaginar que por algum motivo a amplitude das oscilações forçadas tenha diminuído. Isso levará ao fato de que a potência instantânea da força externa será maior que a potência das perdas. Isso levará a um aumento na energia do sistema oscilatório, e a amplitude das oscilações restaurará seu valor anterior.

Da mesma forma, pode-se ter certeza de que com um aumento aleatório na amplitude das oscilações, as perdas de potência excederão a potência da força externa, o que levará a uma diminuição da energia do sistema e, conseqüentemente, a uma diminuição na amplitude.

Voltemos à questão da mudança de fase entre o deslocamento e a força motriz na ressonância. Já mostramos que o deslocamento está atrasado e, portanto, a força está adiantada em relação ao deslocamento. Por outro lado, a projeção da velocidade no processo de oscilações harmônicas está sempre à frente da coordenada por . Isto significa que durante a ressonância, a força motriz externa e a velocidade oscilam na mesma fase. Isso significa que eles são codirigidos a qualquer momento! O trabalho da força externa neste caso é sempre positivo, é todos vai reabastecer o sistema oscilatório com energia.

§ 3 Influência periódica não senoidal

Oscilações forçadas do oscilador são possíveis sob qualquer influência externa periódica, não apenas sinusoidal. Neste caso, as oscilações estabelecidas, de modo geral, não serão senoidais, mas representarão um movimento periódico com período igual ao período da influência externa.

Uma influência externa pode ser, por exemplo, choques sucessivos (lembre-se de como um adulto “embala” uma criança sentada num balanço). Se o período de choques externos coincidir com o período de oscilações naturais, então poderá ocorrer ressonância no sistema. As oscilações serão quase sinusoidais. A energia transmitida ao sistema a cada empurrão repõe a energia total do sistema perdida devido ao atrito. É claro que, neste caso, as opções são possíveis: se a energia transmitida durante um empurrão for igual ou superior às perdas por atrito por período, então as oscilações serão constantes ou seu alcance aumentará. Isso é claramente visível no diagrama de fases.

É óbvio que a ressonância também é possível no caso em que o período de repetição dos choques é um múltiplo do período das oscilações naturais. Isto é impossível devido à natureza sinusoidal da influência externa.

Por outro lado, mesmo que a frequência do choque coincida com a frequência natural, a ressonância pode não ser observada. Se apenas as perdas por atrito durante o período excederem a energia recebida pelo sistema durante o empurrão, então a energia total do sistema diminuirá e as oscilações serão amortecidas.

§ 4 Ressonância paramétrica

A influência externa no sistema oscilatório pode ser reduzida a mudanças periódicas nos parâmetros do próprio sistema oscilatório. As oscilações excitadas desta forma são chamadas paramétricas, e o próprio mecanismo é chamado ressonância paramétrica .

Em primeiro lugar, tentaremos responder à questão: é possível abalar as pequenas oscilações já existentes no sistema alterando periodicamente alguns dos seus parâmetros de uma determinada forma.

Por exemplo, considere uma pessoa balançando em um balanço. Ao dobrar e esticar as pernas nos momentos “certos”, ele realmente altera o comprimento do pêndulo. Nas posições extremas, a pessoa agacha-se, baixando ligeiramente o centro de gravidade do sistema oscilatório; na posição intermediária, a pessoa se endireita, elevando o centro de gravidade do sistema;

Para entender por que uma pessoa balança ao mesmo tempo, considere um modelo extremamente simplificado de uma pessoa em um balanço - um pequeno pêndulo comum, ou seja, um pequeno peso em um fio leve e longo. Para simular a subida e descida do centro de gravidade, passaremos a extremidade superior do fio por um pequeno orifício e puxaremos o fio nos momentos em que o pêndulo passar da posição de equilíbrio, e abaixaremos o fio na mesma medida quando o pêndulo passa pela posição extrema.

O trabalho da força de tensão da linha por período (levando em consideração que a carga é levantada e abaixada duas vezes por período e que D eu << eu):

Curiosamente, a mudança relativa na energia durante um período não depende de o pêndulo oscilar fraca ou fortemente. Isso é muito importante e aqui está o porquê. Se o pêndulo não for “bombeado” com energia, então, a cada período, ele perderá uma certa parte de sua energia devido à força de atrito e as oscilações desaparecerão. E para que a amplitude das oscilações aumente, é necessário que a energia ganha supere a perdida para superar o atrito. E essa condição é a mesma - tanto para uma amplitude pequena quanto para uma amplitude grande.

Por exemplo, se em um período a energia das oscilações livres diminui em 6%, então para que as oscilações de um pêndulo de 1 m de comprimento não amortecem, basta reduzir seu comprimento em 1 cm na posição intermediária, e aumentar na mesma quantidade na posição extrema.

Voltando ao balanço: se você começar a balançar, não há necessidade de agachar cada vez mais fundo - agache-se da mesma maneira o tempo todo e você voará cada vez mais alto!

*** Qualidade novamente!

Como já dissemos, para o acúmulo paramétrico de oscilações, deve ser atendida a condição DE > A de atrito por período.

Vamos encontrar o trabalho realizado pela força de atrito durante o período

Pode-se observar que a quantidade relativa de levantamento do pêndulo para balançá-lo é determinada pelo fator de qualidade do sistema.

§ 5 O significado da ressonância

Oscilações forçadas e ressonância são amplamente utilizadas em tecnologia, especialmente em acústica, engenharia elétrica e engenharia de rádio. A ressonância é utilizada principalmente quando, a partir de um grande conjunto de oscilações de diferentes frequências, se deseja isolar oscilações de uma determinada frequência. A ressonância também é usada no estudo de quantidades muito fracas que se repetem periodicamente.

Porém, em alguns casos, a ressonância é um fenômeno indesejável, pois pode levar a grandes deformações e destruição de estruturas.

§ 6 Exemplos de resolução de problemas

Problema 1 Oscilações forçadas de um pêndulo de mola sob a ação de uma força senoidal externa.

Uma carga de massa m = 10 g foi suspensa por uma mola com rigidez k = 10 N/m e o sistema foi colocado em um meio viscoso com coeficiente de resistência r = 0,1 kg/s. Compare as frequências naturais e ressonantes do sistema. Determine a amplitude das oscilações do pêndulo em ressonância sob a ação de uma força senoidal com amplitude F 0 = 20 mN.

Solução:

1 A frequência natural de um sistema oscilatório é a frequência das vibrações livres na ausência de atrito. A frequência cíclica natural é igual à frequência de oscilação.

2 Frequência de ressonância é a frequência de uma força motriz externa na qual a amplitude das oscilações forçadas aumenta acentuadamente. A frequência cíclica ressonante é igual a , onde é o coeficiente de amortecimento, igual a .

Assim, a frequência de ressonância é . É fácil ver que a frequência de ressonância é menor que a frequência natural! Também está claro que quanto menor o atrito no sistema (r), mais próxima a frequência de ressonância está da frequência natural.

3 A amplitude ressonante é

Tarefa 2 Amplitude ressonante e fator de qualidade do sistema oscilatório

Uma carga de massa m = 100 g foi suspensa por uma mola com rigidez k = 10 N/m e o sistema foi colocado em um meio viscoso com coeficiente de resistência

r = 0,02 kg/s. Determine o fator de qualidade do sistema oscilatório e a amplitude das oscilações do pêndulo em ressonância sob a ação de uma força senoidal com amplitude F 0 = 10 mN. Encontre a razão entre a amplitude de ressonância e o deslocamento estático sob a influência de uma força constante F 0 = 20 mN e compare esta relação com o fator de qualidade.

Solução:

1 O fator de qualidade do sistema oscilatório é igual a , onde é o decremento logarítmico do amortecimento.

O decremento logarítmico do amortecimento é igual a.

Encontrando o fator de qualidade do sistema oscilatório.

2 A amplitude ressonante é

3 O deslocamento estático sob a ação de uma força constante F 0 = 10 mN é igual a .

4 A razão entre a amplitude ressonante e o deslocamento estático sob a ação de uma força constante F 0 é igual a

É fácil perceber que esta relação coincide com o fator de qualidade do sistema oscilatório

Problema 3 Vibrações ressonantes de uma viga

Sob a influência do peso do motor elétrico, o tanque cantilever no qual está instalado dobrou-se. A que velocidade da armadura do motor pode haver perigo de ressonância?

Solução:

1 A carcaça do motor e a viga na qual está instalada sofrem choques periódicos da armadura rotativa do motor e, portanto, realizam oscilações forçadas na frequência dos choques.

A ressonância será observada quando a frequência dos choques coincidir com a frequência natural de vibração da viga com o motor. É necessário encontrar a frequência natural de vibração do sistema feixe-motor.

2 Um análogo do sistema oscilatório do motor de feixe pode ser um pêndulo de mola vertical, cuja massa é igual à massa do motor. A frequência natural de oscilação de um pêndulo de mola é igual a. Mas a rigidez da mola e a massa do motor não são conhecidas! O que devo fazer?

3 Na posição de equilíbrio do pêndulo da mola, a força gravitacional da carga é equilibrada pela força elástica da mola

4 Encontre a rotação da armadura do motor, ou seja, frequência de choque

Problema 4 Oscilações forçadas de um pêndulo de mola sob a influência de choques periódicos.

Um peso de massa m = 0,5 kg está suspenso por uma mola espiral com rigidez k = 20 N/m. O decremento logarítmico do amortecimento do sistema oscilatório é igual a. Eles querem balançar o peso com empurrões curtos, agindo sobre o peso com uma força F = 100 mN por um tempo τ = 0,01 s. Qual deve ser a frequência dos golpes para que a amplitude do peso seja maior? Em que pontos e em que direção você deve empurrar o kettlebell? Até que amplitude você consegue balançar um kettlebell dessa maneira?

Solução:

1 Vibrações forçadas podem ocorrer sob qualquer influência periódica. Neste caso, a oscilação em estado estacionário ocorrerá com a frequência da influência externa. Se o período de choques externos coincide com a frequência das oscilações naturais, então ocorre ressonância no sistema - a amplitude das oscilações torna-se maior. No nosso caso, para que ocorra ressonância, o período dos choques deve coincidir com o período de oscilação do pêndulo da mola.

O decréscimo logarítmico do amortecimento é pequeno, portanto, há pouco atrito no sistema, e o período de oscilação de um pêndulo em meio viscoso praticamente coincide com o período de oscilação de um pêndulo no vácuo:

2 Obviamente, a direção dos empurrões deve coincidir com a velocidade do peso. Nesse caso, o trabalho da força externa que reabastece o sistema com energia será positivo. E as vibrações irão balançar. Energia recebida pelo sistema durante o processo de impacto

será maior quando a carga ultrapassar a posição de equilíbrio, pois nesta posição a velocidade do pêndulo é máxima.

Assim, o sistema oscilará mais rapidamente sob a ação de choques na direção do movimento da carga à medida que ela passa pela posição de equilíbrio.

3 A amplitude das oscilações para de crescer quando a energia transmitida ao sistema durante o processo de impacto é igual à perda de energia devido ao atrito durante o período: .

Encontraremos a perda de energia ao longo de um período através do fator de qualidade do sistema oscilatório

onde E é a energia total do sistema oscilatório, que pode ser calculada como.

Em vez da energia perdida, substituímos a energia recebida pelo sistema durante o impacto:

A velocidade máxima durante o processo de oscilação é . Levando isso em consideração, obtemos.

§7 Tarefas para solução independente

Teste "vibrações forçadas"

1 Quais oscilações são chamadas de forçadas?

A) Oscilações que ocorrem sob a influência de forças externas que mudam periodicamente;

B) Oscilações que ocorrem no sistema após um choque externo;

2 Qual das seguintes oscilações é forçada?

A) Oscilação de uma carga suspensa por uma mola após seu único desvio da posição de equilíbrio;

B) Oscilação do cone do alto-falante durante a operação do receptor;

B) Oscilação de uma carga suspensa por uma mola após um único impacto sobre a carga na posição de equilíbrio;

D) Vibração da carcaça do motor elétrico durante o seu funcionamento;

D) Vibrações do tímpano de uma pessoa ouvindo música.

3 Um sistema oscilatório com frequência própria é acionado por uma força motriz externa que varia de acordo com a lei. O coeficiente de amortecimento no sistema oscilatório é igual a . De acordo com que lei a coordenada de um corpo muda ao longo do tempo?

C) A amplitude das oscilações forçadas permanecerá inalterada, pois a energia perdida pelo sistema devido ao atrito será compensada pelo ganho de energia devido ao trabalho da força motriz externa.

5 O sistema realiza oscilações forçadas sob a ação de uma força senoidal. Especificamos Todos fatores dos quais depende a amplitude dessas oscilações.

A) Da amplitude da força motriz externa;

B) A presença de energia no sistema oscilatório no momento em que a força externa começa a atuar;

C) Parâmetros do próprio sistema oscilatório;

D) Atrito no sistema oscilatório;

D) A existência de oscilações naturais no sistema no momento em que a força externa começa a atuar;

E) Tempo de estabelecimento das oscilações;

G) Frequências de força motriz externa.

6 Um bloco de massa m realiza oscilações harmônicas forçadas ao longo de um plano horizontal com período T e amplitude A. Coeficiente de atrito μ. Que trabalho é realizado pela força motriz externa em um tempo igual ao período T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;

D) Não é possível responder, pois a magnitude da força motriz externa não é conhecida.

7 Faça uma afirmação correta

A ressonância é um fenômeno...

A) Coincidência da frequência da força externa com a frequência natural do sistema oscilatório;

B) Um aumento acentuado na amplitude das oscilações forçadas.

A ressonância é observada sob a condição

A) Redução do atrito no sistema oscilatório;

B) Aumentar a amplitude da força motriz externa;

C) A coincidência da frequência da força externa com a frequência natural do sistema oscilatório;

D) Quando a frequência da força externa coincide com a frequência de ressonância.

8 O fenômeno da ressonância pode ser observado em...

A) Em qualquer sistema oscilatório;

B) Num sistema que realiza oscilações livres;

B) Em sistema autooscilante;

D) Num sistema submetido a oscilações forçadas.

9 A figura mostra um gráfico da dependência da amplitude das oscilações forçadas com a frequência da força motriz. A ressonância ocorre em uma frequência...

10 Três pêndulos idênticos localizados em diferentes meios viscosos realizam oscilações forçadas. A figura mostra as curvas de ressonância desses pêndulos. Qual pêndulo experimenta a maior resistência do meio viscoso durante a oscilação?

A) 1; B) 2; ÀS 3;

D) É impossível dar uma resposta, pois a amplitude das oscilações forçadas, além da frequência da força externa, também depende da sua amplitude. A condição não diz nada sobre a amplitude da força motriz externa.

11 O período de oscilações naturais do sistema oscilatório é igual a T 0. Qual pode ser o período dos choques para que a amplitude das oscilações aumente acentuadamente, ou seja, surja uma ressonância no sistema?

A)T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) O balanço pode ser balançado com impulsos de qualquer frequência.

12 Seu irmão mais novo está sentado em um balanço, você o balança com empurrões curtos. Qual deve ser o período de sucessão de choques para que o processo ocorra de forma mais eficiente? O período de oscilações naturais do balanço T 0.

D) O balanço pode ser balançado com impulsos de qualquer frequência.

13 Seu irmão mais novo está sentado em um balanço, você o balança com empurrões curtos. Em que posição do balanço o empurrão deve ser feito e em que direção o empurrão deve ser feito para que o processo ocorra de forma mais eficiente?

A) Empurre a posição mais alta do balanço em direção à posição de equilíbrio;

B) Empurre na posição mais alta do balanço na direção da posição de equilíbrio;

B) Empurre em posição equilibrada no sentido do movimento do balanço;

D) Você pode empurrar em qualquer posição, mas sempre na direção do movimento do balanço.

14 Parece que atirando de um estilingue na ponte no ritmo de suas próprias vibrações e dando muitos tiros, você pode balançá-lo com força, mas é improvável que isso funcione. Por que?

A) A massa da ponte (sua inércia) é grande comparada à massa da “bala” de um estilingue, a ponte não conseguirá se mover sob a influência de tais impactos;

B) A força de impacto de uma “bala” de um estilingue é tão pequena que a ponte não será capaz de se mover sob a influência de tais impactos;

C) A energia transmitida à ponte em um golpe é muito menor que a perda de energia devido ao atrito durante o período.

15 Você está carregando um balde de água. A água no balde balança e espirra. O que pode ser feito para evitar que isso aconteça?

A) Balançar a mão onde está o balde em ritmo de caminhada;

B) Alterar a velocidade do movimento, deixando inalterada a duração dos passos;

C) Pare periodicamente e espere que as vibrações da água se acalmem;

D) Certifique-se de que durante o movimento a mão com a caçamba esteja posicionada estritamente na vertical.

Tarefas

1 O sistema realiza oscilações amortecidas com frequência de 1000 Hz. Determinar frequência v 0 vibrações naturais, se a frequência de ressonância

2 Determine por qual valor D v frequência ressonante difere da frequência natural v 0= 1000 Hz sistema oscilatório, caracterizado por um coeficiente de amortecimento d = 400s -1.

3 Uma carga de massa 100 g, suspensa por uma mola de rigidez 10 N/m, realiza oscilações forçadas em um meio viscoso com coeficiente de resistência r = 0,02 kg/s. Determine o coeficiente de amortecimento, frequência de ressonância e amplitude. O valor da amplitude da força motriz é 10 mN.

4 As amplitudes das oscilações harmônicas forçadas nas frequências w 1 = 400 s -1 e w 2 = 600 s -1 são iguais. Determine a frequência de ressonância.

5 Os caminhões entram em um armazém de grãos por uma estrada de terra de um lado, descarregam e saem do armazém na mesma velocidade, mas do outro lado. Qual lado do armazém tem mais buracos na estrada do que o outro? Como determinar de que lado do armazém a entrada e qual saída se baseiam nas condições da estrada? Justifique a resposta