Construção de hexágono regular - como desenhar um hexágono. Como construir um hexágono regular Como construir um hexágono regular

Um triângulo circunscrito regular é construído da seguinte forma(Figura 38). Do centro de um determinado círculo de raio R1 desenhe um círculo com raio R2 = 2R1 e divida-o em três partes iguais. Pontos de divisão A, B, C são os vértices de um triângulo regular circunscrito a um círculo de raio R1 .

Figura 38

Quadrilátero circunscrito regular (quadrado) pode ser construído usando um compasso e uma régua (Figura 39). Em um determinado círculo, dois diâmetros perpendiculares entre si são desenhados. Tomando como centros os pontos de intersecção dos diâmetros com o círculo, o raio do círculo R descrever arcos até que eles se cruzem em pontos A, B, C, D . Pontos A , B , C , D e são os vértices de um quadrado circunscrito a um determinado círculo.

Figura 39

Para construir um hexágono circunscrito regularé necessário primeiro construir os vértices do quadrado descrito na forma indicada acima (Figura 40, a). Simultaneamente com a determinação dos vértices do quadrado, um determinado círculo de raio R dividido em seis partes iguais nos pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e desenhe os lados verticais do quadrado. Desenhando um círculo através dos pontos divisórios 2–5 E 3–6 linhas retas até se cruzarem com os lados verticais do quadrado (Figura 40, b), obtemos os vértices A, B, D, E descrito hexágono regular.

Figura 40

Outros picos C E F determinado usando um arco de círculo de raio O.A., que é realizado até cruzar com a continuação do diâmetro vertical de um determinado círculo.
3 EMPARELHAMENTOS

Os padrões geométricos têm sido bastante populares ultimamente. Na lição de hoje aprenderemos como criar um desses padrões. Usando transição, tipografia e cores da moda, criaremos um padrão que você pode usar em web design e impressão.

Resultado

Passo 2
Desenhe outro hexágono, desta vez menor - escolha um raio de 20 pontos.

2. Transição entre hexágonos

Passo 1
Selecione os dois hexágonos e alinhe-os ao centro (vertical e horizontalmente). Usando a ferramenta Mistura/Transição (W), selecione ambos os hexágonos e dê-lhes uma transição para 6 etapas. Para facilitar a visualização, altere a cor das formas antes de movê-las.

3. Divida em seções

Passo 1
Ferramenta Segmento de linha (\) desenhe uma linha cruzando os hexágonos no centro, do canto mais esquerdo ao canto mais direito. Desenhe mais duas linhas cruzando os hexágonos no centro a partir dos cantos opostos.

4. Pinte as seções

Passo 1
Antes de começarmos a pintar as seções, vamos decidir a paleta. Aqui está a paleta do exemplo:

Azul: C 65 M 23 S 35 K 0
Bege: C 13 M 13 S 30 K 0
Pêssego: C 0 M 32 S 54 K 0
Luz rosa: C 0 M 64 S 42 K 0
Rosa escuro: C 30 M 79 S 36 K 4

No exemplo, o modo CMYK foi imediatamente utilizado para que o padrão pudesse ser impresso sem alterações.

5. Toques finais e padrão

Passo 1
Grupo (Controle-G) todas as seções e hexágonos depois de colori-los. Copiar (Control-C) E Colar (Control-V) um grupo de hexágonos. Vamos nomear o grupo original Hexágono A, e uma cópia dele Hexágono B. Alinhe os grupos.

Passo 2
Aplicar Gradiente linear para o grupo Hexágono B. Na paleta Gradiente defina o preenchimento para roxo ( C60 M86 Y45 K42) até a cor creme ( C0 M13 Y57 K0).

Construção de um hexágono regular inscrito numa circunferência. Construir um pentágono regular ao longo de um determinado lado. Mova a agulha da bússola até o ponto de intersecção do arco recém-desenhado com o círculo. Esta construção pode ser feita usando um esquadro e um compasso. Um hexágono regular pode ser construído usando uma régua e um quadrado de 30X60°. Construa os vértices dos cantos de um hexágono regular.

Construção de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência. Os vértices de tal triângulo podem ser construídos usando um compasso e um esquadro com ângulos de 30 e 60° ou apenas um compasso. Para construir o lado 2-3, coloque a barra transversal na posição mostrada pelas linhas tracejadas e desenhe uma linha reta passando pelo ponto 2, que determinará o terceiro vértice do triângulo.

Método 1 de 3: desenhe um hexágono perfeito usando um compasso

Marcamos o ponto 1 do círculo e o tomamos como um dos vértices do pentágono. Seja dado um círculo de diâmetro D; você precisa encaixar um heptágono regular nele (Fig. 65). Divida o diâmetro vertical do círculo em sete partes iguais. A partir do ponto 7 com raio igual ao diâmetro do círculo D, descrevemos um arco até cruzar com a continuação do diâmetro horizontal no ponto F. Chamamos o ponto F de pólo do polígono.

A técnica de construção de polígonos regulares é baseada na capacidade de construir bissetrizes de ângulos e bissetoras perpendiculares de segmentos.

A primeira coluna desta tabela mostra o número de lados de um polígono regular inscrito e a segunda coluna mostra os coeficientes. O comprimento lateral de um determinado polígono é obtido multiplicando o raio de um determinado círculo por um coeficiente correspondente ao número de lados deste polígono.

O tema desta videoaula é “Construção de polígonos regulares”. Também definiremos mais uma vez um polígono regular, representaremos graficamente e depois nos certificaremos mais uma vez de que os centros dos círculos inscritos e circunscritos em torno de tal figura coincidirão. Um círculo sempre pode ser inscrito neste polígono, e um círculo sempre pode ser descrito em torno dele. No decorrer das lições anteriores, descobrimos que as bissetoras dos seus ângulos e as bissetoras das perpendiculares aos seus lados desempenham um papel básico na descrição das propriedades dos polígonos.

4. Obtivemos o triângulo regular ABC necessário. O problema está resolvido. 3. Tendo colocado uma perna da bússola em um ponto arbitrário A1 do círculo, usando a segunda perna marcamos o ponto A2 no mesmo círculo e o conectamos ao ponto A1. Obtemos o primeiro lado do hexágono. 3. Usando as bissetrizes perpendiculares aos lados do polígono retirado do ponto O, dividimos todos os seus lados e todos os arcos do círculo encerrados entre seus vértices adjacentes pela metade.

As construções geométricas são uma das partes importantes do aprendizado. A agulha deve perfurar a linha desenhada. Quanto mais precisa a bússola for instalada, mais precisa será a construção. Desenhe outro arco cruzando o círculo. Conecte consistentemente todos os seis pontos de intersecção dos arcos com o círculo originalmente desenhado. Neste caso, o hexágono pode ficar incorreto.

Para obter vértices / - // - /// dos pontos IV, V e VI, desenhe linhas horizontais até que se cruzem com o círculo

Conectamos os vértices encontrados sequencialmente entre si. Um heptágono pode ser construído desenhando raios do pólo F e através de divisões ímpares do diâmetro vertical. Os centros de ambos os círculos coincidem (ponto O na Fig. 1). A figura também mostra os raios dos círculos circunscritos (R) e inscritos (r).

A construção de um hexágono baseia-se no fato de seu lado ser igual ao raio do círculo circunscrito. Nesta lição, veremos maneiras de construir polígonos regulares usando um compasso e uma régua. O segundo método é baseado no fato de que se você construir um hexágono regular inscrito em um círculo e depois conectar seus vértices por meio de um, obterá um triângulo equilátero. O método acima é adequado para construir polígonos regulares com qualquer número de lados.

Vamos aprender como desenhar um prisma hexagonal em diferentes posições.

Aprenda diferentes maneiras de construir um hexágono regular, faça desenhos de hexágonos, verifique a exatidão de sua construção. Construa prismas hexagonais com base nos hexágonos.

Considere o prisma hexagonal da Fig. 3.52 e suas projeções ortogonais na Fig. 3,53. Na base de um prisma hexagonal (hexágono) existem hexágonos regulares, as faces laterais são retângulos idênticos. Para representar corretamente um hexágono em perspectiva, você deve primeiro aprender como representar corretamente sua base em perspectiva (Fig. 3.54). No hexágono da Fig. 3,55 vértices são designados por números de um a seis. Se você conectar os pontos 1 e 3, 4 e 6 com retas verticais, notará que essas retas, juntamente com o ponto central do círculo, dividem o diâmetro 5 - 2 em quatro segmentos iguais (esses segmentos são indicados por arcos ). Os lados opostos de um hexágono são paralelos entre si e a uma linha que passa pelo seu centro e conecta dois vértices (por exemplo, os lados 6 - 1 e 4 - 3 são paralelos à linha 5 - 2). Essas observações o ajudarão a construir um hexágono em perspectiva, bem como a verificar a exatidão dessa construção. Existem duas maneiras de construir um hexágono regular a partir de uma representação: com base em um círculo circunscrito e com base em um quadrado.

Baseado em um círculo circunscrito. Veja a Fig. 3,56. Todos os vértices de um hexágono regular pertencem a uma circunferência cujo raio é igual ao lado do hexágono.

Hexágono horizontal. Desenhe uma elipse horizontal de abertura arbitrária, ou seja, um círculo circunscrito em perspectiva. Agora você precisa encontrar seis pontos nele, que são os vértices do hexágono. Desenhe qualquer diâmetro de um determinado círculo através de seu centro (Fig. 3.57). Os pontos extremos do diâmetro - 5 e 2, situados na elipse, são os vértices do hexágono. Para encontrar os vértices restantes, é necessário dividir esse diâmetro em quatro segmentos iguais. O diâmetro já foi dividido pelo ponto central do círculo em dois raios, resta apenas dividir cada raio ao meio. Num desenho em perspectiva, todos os quatro segmentos se contraem uniformemente à medida que se afastam do observador (Fig. 3.58). Agora desenhe através dos pontos médios dos raios - pontos A e B - linhas retas perpendiculares à linha reta 5 - 2. Você pode encontrar sua direção usando tangentes à elipse nos pontos 5 e 2 (Fig. 3.59). Essas tangentes serão perpendiculares ao diâmetro 5 - 2, e as retas traçadas através dos pontos A e B paralelas a essas tangentes também serão perpendiculares à reta 5 - 2. Designe os pontos obtidos na intersecção dessas retas com a elipse como 1, 3, 4, 6 (Fig. 3.60). Conecte todos os seis vértices com linhas retas (Fig. 3.61).

Verifique a exatidão de sua construção de diferentes maneiras. Se a construção estiver correta, então as linhas que conectam os vértices opostos do hexágono se cruzam no centro do círculo (Fig. 3.62), e os lados opostos do hexágono são paralelos aos diâmetros correspondentes (Fig. 3.63). Outro método de verificação é mostrado na Fig. 3,64.

Hexágono vertical. Nesse hexágono, as retas que conectam os pontos 7 e 3, b e 4, bem como as tangentes ao círculo circunscrito nos pontos 5 e 2, têm direção vertical e a mantêm no desenho em perspectiva. Assim, traçando duas tangentes verticais à elipse, encontramos os pontos 5 e 2 (pontos de tangência). Conecte-os com uma linha reta e depois divida o diâmetro resultante 5 - 2 em 4 segmentos iguais, levando em consideração suas reduções de perspectiva (Fig. 3.65). Desenhe linhas verticais através dos pontos A e B e, em sua interseção com a elipse, encontre os pontos 1,3,6l4. Em seguida, conecte os pontos 1 - 6 sequencialmente com linhas retas (Fig. 3.66). Verifique a exatidão da construção do hexágono da mesma forma que no exemplo anterior.

O método descrito de construção de um hexágono permite obter esta figura com base em um círculo, que é mais fácil de representar em perspectiva do que um quadrado de determinadas proporções. Portanto, este método de construção de um hexágono parece ser o mais preciso e universal. O método de construção quadrado facilita a representação de um hexágono no caso em que já exista um cubo no desenho, ou seja, quando são determinadas as proporções do quadrado e a direção de seus lados.

Baseado em um quadrado. Veja a Fig. 3,67. Um hexágono inscrito em um quadrado é igual ao lado do quadrado na direção horizontal 5 - 2 e menor que seu comprimento na direção vertical.

Hexágono vertical. Desenhe um quadrado vertical em perspectiva. Desenhe uma linha reta através da intersecção das diagonais paralelas aos seus lados horizontais. Divida o segmento resultante 5 - 2 em quatro partes iguais e desenhe linhas verticais através dos pontos A e B (Fig. 3.68). As linhas que delimitam o hexágono na parte superior e inferior não coincidem com os lados do quadrado. Desenhe-os a uma certa distância (1114 a) dos lados horizontais do quadrado e paralelos a eles. Conectando os pontos 1 e 3 assim encontrados com o ponto 2, e os pontos 6 e 4 com o ponto 5, obtemos um hexágono (Fig. 3.69).

Um hexágono horizontal é construído na mesma sequência (Fig. 3.70 e 3.71).

Este método de construção só é adequado para hexágonos com abertura suficiente. Se a abertura do hexágono for insignificante, é melhor usar o método baseado no círculo circunscrito. Para verificar um hexágono construído através de um quadrado, você pode usar métodos já conhecidos.

Além disso, há outra maneira - descrever um círculo ao redor do hexágono resultante (no seu desenho - uma elipse). Todos os vértices do hexágono devem pertencer a esta elipse.

Depois de dominar as habilidades de desenho de um hexágono, você estará livre para desenhar um prisma hexagonal. Observe atentamente o diagrama da Fig. 3.72, bem como diagramas para construção de prismas hexagonais baseados em um círculo circunscrito (Fig. 3.73; 3.74 e 3.75) e baseados em um quadrado (Fig. 3.76; 3.77 e 3.78). Desenhe hexágonos verticais e horizontais de maneiras diferentes. No desenho de um hexágono vertical, os lados longos das faces laterais serão linhas retas verticais paralelas entre si, e o hexágono da base será mais aberto quanto mais longe estiver da linha do horizonte. No desenho de um hexágono horizontal, os lados longos das faces laterais convergirão no ponto de fuga no horizonte, e a abertura do hexágono base será maior quanto mais longe estiver do observador. Ao representar um hexágono, certifique-se também de que as arestas paralelas de ambas as bases convergem em perspectiva (Fig. 3.79; 3.80).

Construção de um hexágono regular inscrito numa circunferência. A construção de um hexágono baseia-se no fato de seu lado ser igual ao raio do círculo circunscrito. Portanto, para construí-lo, basta dividir o círculo em seis partes iguais e conectar os pontos encontrados entre si (Fig. 60, a).

Um hexágono regular pode ser construído usando uma régua e um quadrado de 30X60°. Para realizar esta construção, tomamos o diâmetro horizontal do círculo como a bissetriz dos ângulos 1 e 4 (Fig. 60, b), construímos os lados 1 -6, 4-3, 4-5 e 7-2, após o que desenhamos os lados 5-6 e 3-2.

Construindo um triângulo equilátero inscrito em um círculo. Os vértices de tal triângulo podem ser construídos usando um compasso e um esquadro com ângulos de 30 e 60° ou apenas um compasso.

Consideremos duas maneiras de construir um triângulo equilátero inscrito em um círculo.

Primeira maneira(Fig. 61,a) baseia-se no fato de que todos os três ângulos do triângulo 7, 2, 3 contêm 60°, e a linha vertical traçada através do ponto 7 é a altura e a bissetriz do ângulo 1. Como o ângulo é 0-1- 2 é igual a 30°, então para encontrar o lado

1-2, basta construir um ângulo de 30° a partir do ponto 1 e do lado 0-1. Para isso, instale a barra transversal e o quadrado conforme mostrado na figura, desenhe a linha 1-2, que será um dos lados do triângulo desejado. Para construir o lado 2-3, coloque a barra transversal na posição mostrada pelas linhas tracejadas e desenhe uma linha reta passando pelo ponto 2, que determinará o terceiro vértice do triângulo.

Segunda via baseia-se no fato de que se você construir um hexágono regular inscrito em um círculo e depois conectar seus vértices por meio de um, obterá um triângulo equilátero.

Para construir um triângulo (Fig. 61, b), marque o ponto vértice 1 no diâmetro e desenhe uma linha diametral 1-4. A seguir, a partir do ponto 4 com raio igual a D/2, descrevemos um arco até cruzar com o círculo nos pontos 3 e 2. Os pontos resultantes serão os outros dois vértices do triângulo desejado.

Construindo um quadrado inscrito em um círculo. Esta construção pode ser feita usando um esquadro e um compasso.

O primeiro método baseia-se no fato de que as diagonais do quadrado se cruzam no centro do círculo circunscrito e estão inclinadas em relação aos seus eixos em um ângulo de 45°. Com base nisso, instalamos a barra transversal e o esquadro com ângulos de 45° conforme mostrado na Fig. 62, a, e marque os pontos 1 e 3. A seguir, através desses pontos, desenhamos os lados horizontais do quadrado 4-1 e 3-2 usando uma barra transversal. Em seguida, usando uma régua, desenhamos os lados verticais do quadrado 1-2 e 4-3 ao longo da perna do quadrado.

O segundo método baseia-se no fato de que os vértices do quadrado dividem ao meio os arcos do círculo encerrados entre as extremidades do diâmetro (Fig. 62, b). Marcamos os pontos A, B e C nas extremidades de dois diâmetros perpendiculares entre si e a partir deles com raio y descrevemos arcos até que se cruzem.

A seguir, através dos pontos de intersecção dos arcos traçamos retas auxiliares, marcadas na figura com linhas sólidas. Os pontos de sua intersecção com o círculo determinarão os vértices 1 e 3; 4 e 2. Conectamos os vértices do quadrado desejado assim obtido em série entre si.

Construção de um pentágono regular inscrito numa circunferência.

Para encaixar um pentágono regular em um círculo (Fig. 63), fazemos as seguintes construções.

Marcamos o ponto 1 do círculo e o tomamos como um dos vértices do pentágono. Dividimos o segmento AO ao meio. Para fazer isso, descrevemos um arco do ponto A com raio AO até cruzar com o círculo nos pontos M e B. Conectando esses pontos com uma linha reta, obtemos o ponto K, que então conectamos ao ponto 1. Com com raio igual ao segmento A7, descrevemos um arco do ponto K até cruzar com a linha diametral AO no ponto H. Conectando o ponto 1 ao ponto H, obtemos o lado do pentágono. Então, usando uma solução de bússola igual ao segmento 1H, descrevendo um arco do vértice 1 até a intersecção com o círculo, encontramos os vértices 2 e 5. Tendo feito entalhes dos vértices 2 e 5 com a mesma solução de bússola, obtemos o restante vértices 3 e 4. Conectamos os pontos encontrados sequencialmente entre si.

Construir um pentágono regular ao longo de um determinado lado.

Para construir um pentágono regular ao longo de um determinado lado (Fig. 64), dividimos o segmento AB em seis partes iguais. A partir dos pontos A e B com raio AB descrevemos arcos, cuja intersecção dará o ponto K. Através deste ponto e da divisão 3 da linha AB traçamos uma linha vertical.

Obtemos o vértice do ponto 1 do pentágono. Então, com raio igual a AB, do ponto 1 descrevemos um arco até que ele cruze com os arcos previamente traçados dos pontos A e B. Os pontos de intersecção dos arcos determinam os vértices 2 e 5 do pentágono. Conectamos os vértices encontrados em série entre si.

Construção de um heptágono regular inscrito numa circunferência.

Seja dado um círculo de diâmetro D; você precisa encaixar um heptágono regular nele (Fig. 65). Divida o diâmetro vertical do círculo em sete partes iguais. A partir do ponto 7 com raio igual ao diâmetro do círculo D, descrevemos um arco até cruzar com a continuação do diâmetro horizontal no ponto F. Chamamos o ponto F de pólo do polígono. Tomando o ponto VII como um dos vértices do heptágono, traçamos raios do pólo F através de divisões pares do diâmetro vertical, cuja intersecção com o círculo determinará os vértices VI, V e IV do heptágono. Para obter vértices / - // - /// dos pontos IV, V e VI, desenhe linhas horizontais até que se cruzem com o círculo. Conectamos os vértices encontrados sequencialmente entre si. Um heptágono pode ser construído desenhando raios do pólo F e através de divisões ímpares do diâmetro vertical.

O método acima é adequado para construir polígonos regulares com qualquer número de lados.

A divisão de um círculo em qualquer número de partes iguais também pode ser feita utilizando os dados da Tabela. 2, que fornece coeficientes que permitem determinar as dimensões dos lados de polígonos regulares inscritos.