A fórmula para o volume de uma pirâmide truncada. Pirâmide

A capacidade de calcular o volume de figuras espaciais é importante na resolução de vários problemas práticos em geometria. Uma das formas mais comuns é a pirâmide. Neste artigo, vamos considerar as pirâmides, tanto completas quanto truncadas.

Pirâmide como uma figura tridimensional

Todo mundo sabe sobre Pirâmides egípcias, portanto está bem representado sobre qual figura será discutido. No entanto, as estruturas de pedra egípcias são apenas um caso especial de uma enorme classe de pirâmides.

O objeto geométrico em consideração no caso geral é uma base poligonal, cada vértice da qual está conectada a algum ponto no espaço que não pertence ao plano base. Esta definição leva a uma figura que consiste em um n-gon e n triângulos.

Qualquer pirâmide consiste em n+1 faces, 2*n arestas e n+1 vértices. Como a figura em questão é um poliedro perfeito, os números dos elementos marcados obedecem à equação de Euler:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

O polígono localizado na base dá o nome da pirâmide, por exemplo, triangular, pentagonal e assim por diante. Um conjunto de pirâmides com diferentes bases é mostrado na foto abaixo.

O ponto em que n triângulos da figura estão conectados é chamado de topo da pirâmide. Se uma perpendicular for abaixada dela até a base e a interceptar no centro geométrico, essa figura será chamada de linha reta. Se essa condição não for atendida, haverá uma pirâmide inclinada.

Uma figura reta, cuja base é formada por um n-gon equilátero (equiangular), é chamada de regular.

Fórmula do volume da pirâmide

Para calcular o volume da pirâmide, usamos o cálculo integral. Para fazer isso, dividimos a figura por planos secantes paralelos à base em um número infinito de camadas finas. A figura abaixo mostra uma pirâmide quadrangular com altura h e comprimento de lado L, na qual uma fina camada seccional é marcada com um quadrilátero.

A área de cada uma dessas camadas pode ser calculada pela fórmula:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Aqui A 0 é a área da base, z é o valor da coordenada vertical. Pode-se ver que se z = 0, então a fórmula dá o valor A 0 .

Para obter a fórmula do volume da pirâmide, você deve calcular a integral sobre toda a altura da figura, ou seja:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Substituindo a dependência A(z) e calculando a antiderivada, chegamos à expressão:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Obtivemos a fórmula do volume de uma pirâmide. Para encontrar o valor de V, basta multiplicar a altura da figura pela área da base e depois dividir o resultado por três.

Observe que a expressão resultante é válida para calcular o volume de uma pirâmide de um tipo arbitrário. Ou seja, pode ser inclinado e sua base pode ser um n-gon arbitrário.

e seu volume

A fórmula geral do volume obtida no parágrafo anterior pode ser refinada no caso de uma pirâmide de base regular. A área dessa base é calculada pela seguinte fórmula:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Aqui L é o comprimento do lado de um polígono regular com n vértices. O símbolo pi é o número pi.

Substituindo a expressão para A 0 na fórmula geral, obtemos o volume de uma pirâmide regular:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Por exemplo, para uma pirâmide triangular, esta fórmula leva à seguinte expressão:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Para uma pirâmide quadrangular regular, a fórmula do volume assume a forma:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Determinar os volumes de pirâmides regulares requer conhecer o lado de sua base e a altura da figura.

Pirâmide truncada

Suponha que tomamos uma pirâmide arbitrária e cortamos uma parte de sua superfície lateral contendo o vértice. A figura restante é chamada de pirâmide truncada. Já consiste em duas bases n-gonais e n trapézios que as conectam. Se o plano de corte for paralelo à base da figura, forma-se uma pirâmide truncada com bases semelhantes paralelas. Ou seja, os comprimentos dos lados de um deles podem ser obtidos multiplicando-se os comprimentos do outro por algum coeficiente k.

A figura acima mostra um regular truncado, percebe-se que sua base superior, assim como a inferior, é formada por um hexágono regular.

A fórmula que pode ser derivada usando um cálculo integral semelhante ao acima é:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Onde A 0 e A 1 são as áreas das bases inferior (grande) e superior (pequena), respectivamente. A variável h denota a altura da pirâmide truncada.

O volume da pirâmide de Quéops

É curioso resolver o problema de determinar o volume que contém a maior pirâmide egípcia.

Em 1984, os egiptólogos britânicos Mark Lehner e Jon Goodman estabeleceram as dimensões exatas da pirâmide de Quéops. Sua altura original era de 146,50 metros (atualmente cerca de 137 metros). comprimento médio cada um dos quatro lados da estrutura tinha 230,363 metros. A base da pirâmide é quadrada com alta precisão.

Vamos usar os números fornecidos para determinar o volume desse gigante de pedra. Como a pirâmide é um quadrangular regular, a fórmula é válida para ela:

Substituindo os números, obtemos:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

O volume da pirâmide de Quéops é de quase 2,6 milhões de m3. Para comparação, notamos que a piscina olímpica tem um volume de 2,5 mil m3. Ou seja, para preencher toda a pirâmide de Quéops, serão necessários mais de 1.000 dessas piscinas!

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pirâmide truncadaé chamado de poliedro cujos vértices são os vértices da base e os vértices de sua seção por um plano paralelo à base.

Propriedades da pirâmide truncada:

• As bases de uma pirâmide truncada são polígonos semelhantes.
• As faces laterais de uma pirâmide truncada são trapézios.
• As arestas laterais de uma pirâmide truncada regular são iguais e igualmente inclinadas em direção à base da pirâmide.
• As faces laterais de uma pirâmide truncada regular são trapézios isósceles iguais entre si e igualmente inclinados em direção à base da pirâmide.
• Os ângulos diedros nas bordas laterais de uma pirâmide truncada regular são iguais.

Área de superfície e volume de uma pirâmide truncada

Deixe - a altura da pirâmide truncada, e - os perímetros das bases da pirâmide truncada, e - as áreas das bases da pirâmide truncada, - a área da superfície lateral da pirâmide truncada, - a área da superfície total da pirâmide truncada, - o volume da pirâmide truncada. Então valem as seguintes relações:

.

Se todos os ângulos diedros na base de uma pirâmide truncada são iguais e as alturas de todas as faces laterais da pirâmide são iguais, então

Pirâmideé chamado de poliedro, uma de cujas faces é um polígono ( base ), e todas as outras faces são triângulos com um vértice comum ( rostos laterais ) (Fig. 15). A pirâmide é chamada correto , se sua base for um polígono regular e o topo da pirâmide se projetar no centro da base (Fig. 16). Uma pirâmide triangular em que todas as arestas são iguais é chamada tetraedro .

costela lateral pirâmide é chamado o lado da face lateral que não pertence à base Altura pirâmide é a distância de seu topo ao plano da base. Todas as arestas laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si, todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir do vértice é chamada apotema . seção diagonal Uma seção de uma pirâmide é chamada de plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Área de superfície lateral pirâmide é chamado a soma das áreas de todas as faces laterais. Área de superfície total é a soma das áreas de todas as faces laterais e da base.

teoremas

1. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais são igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

2. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais tiverem comprimentos iguais, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito perto da base.

3. Se na pirâmide todas as faces são igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo inscrito na base.

Para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária, a fórmula está correta:

Onde V- volumes;

S principal- área de base;

Hé a altura da pirâmide.

Para uma pirâmide regular, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Onde p- o perímetro da base;

h a- apótema;

H- altura;

S cheio

lado S

S principal- área de base;

Vé o volume de uma pirâmide regular.

pirâmide truncada chamada de parte da pirâmide encerrada entre a base e o plano de corte paralelo à base da pirâmide (Fig. 17). Pirâmide truncada correta chamada de parte de uma pirâmide regular, encerrada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide.

Fundações pirâmide truncada - polígonos semelhantes. Faces laterais - trapézio. Altura pirâmide truncada é chamado a distância entre suas bases. Diagonal Uma pirâmide truncada é um segmento conectando seus vértices que não estão na mesma face. seção diagonal Uma seção de uma pirâmide truncada é chamada de plano passando por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Para uma pirâmide truncada, as fórmulas são válidas:

(4)

Onde S 1 , S 2 - áreas das bases superiores e inferiores;

S cheioé a área total da superfície;

lado Sé a área da superfície lateral;

H- altura;

Vé o volume da pirâmide truncada.

Para uma pirâmide regular truncada, a seguinte fórmula é verdadeira:

Onde p 1 , p 2 - perímetros de base;

h a- o apótema de uma pirâmide truncada regular.

Exemplo 1 Em uma pirâmide triangular regular, o ângulo diedro na base é de 60º. Encontre a tangente do ângulo de inclinação da aresta lateral ao plano da base.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 18).

A pirâmide é regular, o que significa que a base é um triângulo equilátero e todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. O ângulo diedro na base é o ângulo de inclinação da face lateral da pirâmide em relação ao plano da base. O ângulo linear será o ângulo a entre duas perpendiculares: ou seja O topo da pirâmide é projetado no centro do triângulo (o centro do círculo circunscrito e o círculo inscrito no triângulo abc). O ângulo de inclinação da nervura lateral (por exemplo SB) é o ângulo entre a própria borda e sua projeção no plano base. para costela SB este ângulo será o ângulo SBD. Para encontrar a tangente você precisa conhecer as pernas ENTÃO E obstetra. Seja o comprimento do segmento BDé 3 A. ponto SOBRE segmento de linha BDé dividido em partes: e De encontramos ENTÃO: De encontramos:

Responder:

Exemplo 2 Encontre o volume de uma pirâmide quadrangular truncada regular se as diagonais de suas bases são cm e cm e a altura é 4 cm.

Solução. Para encontrar o volume de uma pirâmide truncada, usamos a fórmula (4). Para encontrar as áreas das bases, você precisa encontrar os lados dos quadrados das bases, conhecendo suas diagonais. Os lados das bases são 2 cm e 8 cm, respectivamente. Isso significa as áreas das bases e Substituindo todos os dados na fórmula, calculamos o volume da pirâmide truncada:

Responder: 112 cm3.

Exemplo 3 Encontre a área da face lateral de uma pirâmide truncada triangular regular cujos lados das bases são 10 cm e 4 cm, e a altura da pirâmide é 2 cm.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 19).

A face lateral desta pirâmide é um trapézio isósceles. Para calcular a área de um trapézio, você precisa conhecer as bases e a altura. As bases são dadas por condição, apenas a altura permanece desconhecida. Encontre de onde A 1 E perpendicular a um ponto A 1 no plano da base inferior, A 1 D- perpendicular de A 1 em AC. A 1 E\u003d 2 cm, pois esta é a altura da pirâmide. Para encontrar DE faremos um desenho adicional, no qual representaremos uma vista superior (Fig. 20). Ponto SOBRE- projeção dos centros das bases superiores e inferiores. desde (ver Fig. 20) e Por outro lado OKé o raio do círculo inscrito e OMé o raio do círculo inscrito:

MK=DE.

De acordo com o teorema de Pitágoras de

Área lateral da face:

Responder:

Exemplo 4 Na base da pirâmide encontra-se um trapézio isósceles, cujas bases A E b (a> b). Cada face lateral forma um ângulo igual ao plano da base da pirâmide j. Encontre a área total da superfície da pirâmide.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 21). Área total da superfície da pirâmide SABCDé igual à soma das áreas e a área do trapézio ABCD.

Usamos a afirmação de que se todas as faces da pirâmide são igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o vértice é projetado no centro do círculo inscrito na base. Ponto SOBRE- projeção do vértice S na base da pirâmide. Triângulo SODé a projeção ortogonal do triângulo refrigerante ao plano base. De acordo com o teorema da área da projeção ortogonal de uma figura plana, obtemos:

Da mesma forma, significa Assim, o problema foi reduzido a encontrar a área do trapézio ABCD. Desenhe um trapézio ABCD separadamente (Fig. 22). Ponto SOBREé o centro de um círculo inscrito em um trapézio.

Como um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então ou Pelo teorema de Pitágoras temos