Números inteiros diferentes de zero. Números

As informações neste artigo fornecem uma compreensão geral do inteiros. Primeiro, é dada uma definição de inteiros e exemplos. A seguir, consideramos os inteiros na reta numérica, de onde fica claro quais números são chamados de inteiros positivos e quais são chamados de inteiros negativos. Depois disso, é mostrado como as mudanças nas quantidades são descritas usando números inteiros, e os números inteiros negativos são considerados no sentido de dívida.

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Inteiros - Definição e Exemplos

Definição.

Números inteiros– estes são números naturais, o número zero, bem como números opostos aos naturais.

A definição de inteiros afirma que qualquer um dos números 1, 2, 3,…, o número 0, bem como qualquer um dos números −1, −2, −3,… é um número inteiro. Agora podemos facilmente trazer exemplos inteiros. Por exemplo, o número 38 é um número inteiro, o número 70.040 também é um número inteiro, zero é um número inteiro (lembre-se que zero NÃO é um número natural, zero é um número inteiro), os números −999, −1, −8.934.832 também são exemplos de números inteiros.

É conveniente representar todos os inteiros como uma sequência de inteiros que tem próxima visualização: 0, ±1, ±2, ±3, … A sequência de inteiros pode ser escrita assim: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Da definição de inteiros segue-se que o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos inteiros. Portanto, todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural.

Inteiros em uma linha de coordenadas

Definição.

Números inteiros positivos são inteiros maiores que zero.

Definição.

Números inteiros negativos são números inteiros menores que zero.

Inteiros positivos e negativos também podem ser determinados pela sua posição na linha de coordenadas. Em uma linha de coordenadas horizontais, os pontos cujas coordenadas são inteiros positivos ficam à direita da origem. Por sua vez, os pontos com coordenadas inteiras negativas estão localizados à esquerda do ponto O.

É claro que o conjunto de todos os inteiros positivos é o conjunto dos números naturais. Por sua vez, o conjunto de todos os inteiros negativos é o conjunto de todos os números opostos aos números naturais.

Separadamente, chamemos sua atenção para o fato de que podemos chamar com segurança qualquer número natural de número inteiro, mas não podemos chamar qualquer número inteiro de número natural. Só podemos chamar qualquer número inteiro positivo de número natural, uma vez que inteiros negativos e zero não são números naturais.

Inteiros não positivos e não negativos

Vamos dar definições de inteiros não positivos e inteiros não negativos.

Definição.

Todos os números inteiros positivos, juntamente com o número zero, são chamados inteiros não negativos.

Definição.

Inteiros não positivos– todos esses são números inteiros negativos junto com o número 0.

Em outras palavras, um número inteiro não negativo é um número inteiro maior que zero ou igual a zero, e um número inteiro não positivo é um número inteiro menor que zero ou igual a zero.

Exemplos de inteiros não positivos são os números −511, −10.030, 0, −2, e como exemplos de inteiros não negativos damos os números 45, 506, 0, 900.321.

Na maioria das vezes, os termos “números inteiros não positivos” e “números inteiros não negativos” são usados ​​por questões de brevidade. Por exemplo, em vez da frase “o número a é um número inteiro e a é maior que zero ou igual a zero”, você pode dizer “a é um número inteiro não negativo”.

Descrevendo mudanças em quantidades usando números inteiros

É hora de falar sobre por que os números inteiros são necessários em primeiro lugar.

O principal objetivo dos números inteiros é que, com a ajuda deles, seja conveniente descrever mudanças na quantidade de quaisquer objetos. Vamos entender isso com exemplos.

Deixe que haja um certo número de peças no armazém. Se, por exemplo, mais 400 peças forem trazidas para o armazém, então o número de peças no armazém aumentará, e o número 400 expressa esta mudança na quantidade em lado positivo(na direção do aumento). Se, por exemplo, 100 peças forem retiradas do armazém, o número de peças no armazém diminuirá e o número 100 expressará uma mudança na quantidade na direção negativa (para baixo). As peças não serão trazidas para o armazém e as peças não serão retiradas do armazém, então podemos falar sobre a quantidade constante de peças (ou seja, podemos falar sobre variação zero na quantidade).

Nos exemplos dados, a mudança no número de peças pode ser descrita usando os inteiros 400, −100 e 0, respectivamente. Um número inteiro positivo 400 indica uma mudança na quantidade na direção positiva (aumento). Um número inteiro negativo −100 expressa uma mudança na quantidade em uma direção negativa (diminuição). O inteiro 0 indica que a quantidade permanece inalterada.

A conveniência de usar números inteiros em comparação com números naturais é que você não precisa indicar explicitamente se a quantidade está aumentando ou diminuindo - o número inteiro quantifica a mudança e o sinal do número inteiro indica a direção da mudança.

Os números inteiros também podem expressar não apenas uma mudança na quantidade, mas também uma mudança em alguma quantidade. Vamos entender isso usando o exemplo das mudanças de temperatura.

Um aumento na temperatura de, digamos, 4 graus é expresso como um número inteiro positivo 4. Uma diminuição na temperatura, por exemplo, em 12 graus pode ser descrita por um número inteiro negativo −12. E a invariância da temperatura é a sua mudança, determinada pelo número inteiro 0.

Separadamente, é necessário falar sobre a interpretação dos números inteiros negativos como o valor da dívida. Por exemplo, se tivermos 3 maçãs, o número inteiro positivo 3 representa o número de maçãs que possuímos. Por outro lado, se tivermos que dar 5 maçãs a alguém, mas não as tivermos em stock, então esta situação pode ser descrita utilizando um número inteiro negativo −5. Neste caso, “possuímos” −5 maçãs, o sinal menos indica dívida e o número 5 quantifica a dívida.

Compreender um número inteiro negativo como uma dívida permite, por exemplo, justificar a regra de adição de números inteiros negativos. Vamos dar um exemplo. Se alguém deve 2 maçãs a uma pessoa e 1 maçã a outra, então a dívida total é 2+1=3 maçãs, então −2+(−1)=−3.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino geral.

O que significa número inteiro

Então, vamos ver quais números são chamados de inteiros.

Assim, os seguintes números serão denotados por inteiros: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, etc.

O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos inteiros, ou seja, Qualquer número natural será um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural.

Inteiros positivos e inteiros negativos

Definição 2

mais.

Os números $3, 78, 569, 10450$ são inteiros positivos.

Definição 3

são inteiros assinados menos.

Os números $−3, −78, −569, -10450$ são inteiros negativos.

Nota 1

O número zero não é um número inteiro positivo nem negativo.

Inteiros positivos são inteiros maiores que zero.

Inteiros negativos são inteiros menores que zero.

O conjunto dos inteiros naturais é o conjunto de todos os inteiros positivos, e o conjunto de todos os números naturais opostos é o conjunto de todos os inteiros negativos.

Inteiros não positivos e não negativos

Todos os inteiros positivos e zero são chamados inteiros não negativos.

Inteiros não positivos são todos números inteiros negativos e o número $0$.

Nota 2

Por isso, número inteiro não negativo são inteiros maiores que zero ou iguais a zero, e número inteiro não positivo– números inteiros menores que zero ou iguais a zero.

Por exemplo, inteiros não positivos: $−32, −123, 0, −5$ e inteiros não negativos: $54, 123, 0, 856.342.$

Descrevendo mudanças em quantidades usando números inteiros

Inteiros são usados ​​para descrever mudanças no número de objetos.

Vejamos exemplos.

Exemplo 1

Deixe uma loja vender um certo número de nomes de produtos. Quando a loja recebe $520$ em itens, o número de itens na loja aumentará, e o número $520$ mostra uma mudança no número em uma direção positiva. Quando a loja vende $50$ em itens de produtos, o número de itens de produtos na loja diminuirá e o número $50$ expressará uma mudança no número na direção negativa. Se a loja não entregar nem vender mercadorias, o número de mercadorias permanecerá inalterado (ou seja, podemos falar de uma alteração zero no número).

No exemplo acima, a mudança no número de bens é descrita usando os inteiros $520$, $−50$ e $0$, respectivamente. Um valor positivo do inteiro $520$ indica uma mudança no número na direção positiva. Um valor negativo do inteiro $−50$ indica uma mudança no número na direção negativa. O inteiro $0$ indica que o número é imutável.

Números inteiros são convenientes de usar porque... não há necessidade de indicação explícita de aumento ou diminuição no número - o sinal do número inteiro indica a direção da mudança e o valor indica a mudança quantitativa.

Usando números inteiros você pode expressar não apenas uma mudança na quantidade, mas também uma mudança em qualquer quantidade.

Consideremos um exemplo de mudança no custo de um produto.

Exemplo 2

Um aumento no valor, por exemplo, de $20$ rublos é expresso usando um número inteiro positivo $20$. Uma redução no preço, por exemplo, de $5$ rublos é descrita usando um número inteiro negativo $−5$. Se não houver alteração no valor, então tal alteração é determinada usando o inteiro $0$.

Consideremos separadamente o significado de números inteiros negativos como o valor da dívida.

Exemplo 3

Por exemplo, uma pessoa tem $5.000$ rublos. Então, usando o número inteiro positivo $5.000$, você pode mostrar quantos rublos ele possui. Uma pessoa deve pagar um aluguel no valor de $7.000$ rublos, mas ela não tem esse tipo de dinheiro, caso em que tal situação é descrita por um número inteiro negativo $−7.000$. Neste caso, a pessoa tem $−7.000$ rublos, onde “-” indica dívida e o número $7.000$ indica o valor da dívida.

PARA inteiros incluem números naturais, zero e números opostos aos números naturais.

Inteiros são inteiros positivos.

Por exemplo: 1, 3, 7, 19, 23, etc. Usamos esses números para contar (há 5 maçãs na mesa, um carro tem 4 rodas, etc.)

Letra latina \mathbb(N) - denotada conjunto de números naturais.

Os números naturais não podem incluir números negativos (uma cadeira não pode ter um número negativo de pernas) e números fracionários (Ivan não poderia vender 3,5 bicicletas).

O oposto dos números naturais são inteiros negativos: −8, −148, −981,….

Operações aritméticas com inteiros

O que você pode fazer com números inteiros? Eles podem ser multiplicados, somados e subtraídos uns dos outros. Vejamos cada operação usando um exemplo específico.

Adição de inteiros

Dois inteiros com os mesmos sinais são somados da seguinte forma: os módulos desses números são somados e a soma resultante é precedida por um sinal final:

(+11) + (+9) = +20

Subtraindo números inteiros

Dois inteiros com sinais diferentes são somados da seguinte forma: o módulo do menor é subtraído do módulo do número maior e o sinal do módulo maior do número é colocado na frente da resposta resultante:

(-7) + (+8) = +1

Multiplicando números inteiros

Para multiplicar um número inteiro por outro, você precisa multiplicar os módulos desses números e colocar um sinal “+” na frente da resposta resultante se os números originais tiverem os mesmos sinais, e um sinal “-” se os números originais tiverem sinais diferentes. sinais:

(-5)\cponto (+3) = -15

(-3)\cponto (-4) = +12

O seguinte deve ser lembrado regra para multiplicar inteiros:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Existe uma regra para multiplicar vários inteiros. Vamos lembrar:

O sinal do produto será “+” se o número de fatores com sinal negativo for par e “-” se o número de fatores com sinal negativo for ímpar.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Divisão inteira

A divisão de dois inteiros é feita da seguinte forma: o módulo de um número é dividido pelo módulo do outro, e se os sinais dos números forem iguais, então o sinal “+” é colocado na frente do quociente resultante , e se os sinais dos números originais forem diferentes, então o sinal “-” é colocado.

(-25) : (+5) = -5

Propriedades de adição e multiplicação de inteiros

Vejamos as propriedades básicas de adição e multiplicação para quaisquer inteiros a, b e c:

1. a + b = b + a - propriedade comutativa de adição;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - propriedade combinativa de adição;
3. a \cdot b = b \cdot a - propriedade comutativa da multiplicação;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- propriedades associativas de multiplicação;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- propriedade distributiva da multiplicação.

Se adicionarmos o número 0 à esquerda de uma série de números naturais, obtemos série de inteiros positivos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Inteiros negativos

Vamos considerar um pequeno exemplo. A imagem à esquerda mostra um termômetro que mostra uma temperatura de 7 °C. Se a temperatura cair 4 °C, o termômetro mostrará 3 °C de calor. Uma diminuição na temperatura corresponde à ação de subtração:

Nota: todos os graus são escritos com a letra C (Celsius), o sinal de grau é separado do número por um espaço. Por exemplo, 7°C.

Se a temperatura cair 7 °C, o termômetro mostrará 0 °C. Uma diminuição na temperatura corresponde à ação de subtração:

Se a temperatura cair 8 °C, o termômetro mostrará -1 °C (1 °C abaixo de zero). Mas o resultado da subtração de 7 a 8 não pode ser escrito usando números naturais e zero.

Vamos ilustrar a subtração usando uma série de números inteiros positivos:

1) A partir do número 7, conte 4 números à esquerda e obtenha 3:

2) A partir do número 7, conte 7 números à esquerda e obtenha 0:

É impossível contar 8 números do número 7 à esquerda em uma série de inteiros positivos. Para tornar as ações 7 a 8 viáveis, expandimos o intervalo de inteiros positivos. Para isso, à esquerda do zero, escrevemos (da direita para a esquerda) em ordem todos os números naturais, somando a cada um deles o sinal - , indicando que este número está à esquerda do zero.

As entradas -1, -2, -3, ... lêem menos 1, menos 2, menos 3, etc.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

A série de números resultante é chamada série de inteiros. Os pontos à esquerda e à direita nesta entrada significam que a série pode continuar indefinidamente para a direita e para a esquerda.

À direita do número 0 nesta linha estão os números chamados natural ou inteiros positivos(brevemente - positivo).

À esquerda do número 0 nesta linha estão os números chamados inteiro negativo(brevemente - negativo).

O número 0 é um número inteiro, mas não é um número positivo nem negativo. Ele separa números positivos e negativos.

Por isso, a série de inteiros consiste em inteiros negativos, zero e inteiros positivos.

Comparação inteira

Compare dois números inteiros- significa descobrir qual é maior, qual é menor ou determinar se os números são iguais.

Você pode comparar números inteiros usando uma linha de números inteiros, pois os números nela são organizados do menor para o maior se você mover a linha da esquerda para a direita. Portanto, em uma série de números inteiros, você pode substituir vírgulas por um sinal de menor que:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Por isso, de dois inteiros, maior é o número que está à direita da série e menor é o que está à esquerda, Significa:

1) Qualquer número positivo é maior que zero e maior que qualquer número negativo:

1 > 0; 15 > -16

2) Qualquer número negativo menor que zero:

7 < 0; -357 < 0

3) De dois números negativos, aquele que está à direita na série de inteiros é maior.

Professor da categoria mais alta

Quais números são chamados de inteiros?

Lições objetivas:

-Expandir o conceito de número introduzindo números negativos:

-Desenvolver a habilidade de escrever números positivos e negativos.

Lições objetivas.

Educacional – promover o desenvolvimento da capacidade de generalizar e sistematizar, promover o desenvolvimento dos horizontes matemáticos, do pensamento e da fala, da atenção e da memória.

Educacional – fomentar uma atitude voltada para a autoeducação, autoeducação, desempenho preciso, uma atitude criativa em relação à atividade, pensamento crítico.

Desenvolvimento – desenvolver nos alunos a capacidade de comparar e generalizar, expressar pensamentos logicamente, desenvolver horizontes matemáticos, pensamento e fala, atenção e memória.

Durante as aulas:

1. Conversa introdutória.

Até agora, nas aulas de matemática, analisamos quais números?

-Natural e fracionário.

Quais números são chamados de números naturais?

- Estes são números usados ​​na contagem de objetos.

Quantos você pode dizer?

- infinitamente muitos.

Zero é um número natural? Por que?

-Para que servem os números fracionários?

-Não contamos apenas objetos, mas partes de certas quantidades.

Que frações você conhece?

- Ordinário e decimal.

Tarefa nº 1.

Entre os números, quais são os números naturais? Frações comuns? Decimais?

10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" largura="16" altura="35 src="> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" width="24" height="35 src="> .

2. Explicação do novo material:

Porém, em sua vida você provavelmente já encontrou outros números, quais? Onde?

-Negativo. Por exemplo, no boletim meteorológico.

Antes de começar a estudar novo topico, vamos discutir sinais que ajudarão na expansão do conjunto de números. Estes são sinais de mais e menos. Pense no que esses sinais estão associados na vida. Pode ser qualquer coisa: branco - preto, bom - ruim. Escreveremos seus exemplos em forma de tabela.

Apenas dois sinais evocam tantos pensamentos. Na verdade, esses dois sinais oferecem a oportunidade de seguir em direções diferentes. Tais números, “semelhantes” aos números naturais, mas com sinal de menos, são necessários nos casos em que uma quantidade pode mudar em duas direções opostas. Para expressar um valor como um número negativo, alguma marca zero inicial é introduzida. Vejamos os exemplos que outros fizeram, e em casa você pode pensar e fazer sua própria apresentação. Slide nº 2-7.

Usar o sinal é muito conveniente. Seu uso é aceito em todo o mundo. Mas nem sempre foi assim. Deslize número 8.

Então, junto com os números naturais

1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …

Consideraremos números negativos, cada um dos quais obtido adicionando um sinal de menos ao número natural correspondente:

-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …

Um número natural e seu número negativo correspondente são chamados de opostos. Por exemplo, os números 15 e -15. Você pode usar -15 e 15. O é o oposto de si mesmo.

Regra: Os números naturais, seus opostos negativos e o número 0 são chamados números inteiros. Todos esses números juntos formam o conjunto dos inteiros.

Abra o livro, página 159, encontre a regra, leia-a novamente e memorize-a em casa.

Um número natural também é comumente chamado de número inteiro positivo, ou seja, é a mesma coisa. Para enfatizar a diferença externa do negativo, às vezes é colocado um sinal de mais na frente dele. +5=5.

3. Formação de competências e habilidades:

1) № 000.

2) Escreva esses números em dois grupos: positivos e negativos:

-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.

3) Jogo “meu humor”.

Agora você avaliará seu humor no momento na seguinte escala:

Bom humor: +1, +2, +3, +4, +5.

Mau humor: -1, -2, -3, -4, -5.

Uma pessoa escreverá os resultados no quadro e todos os outros se revezarão dizendo em voz alta: “Eu tenho bom humor por 4 pontos"

4) Jogo de claquete

Vou nomear pares de números, se o par for oposto, então você bate palmas, se não, deve haver silêncio na aula:

5 e -5; 6 e 0,6; -300 e 300; 3 e 1/3; 8 e 80; 14 e -14; 5/7 e 7/5; -1 e 1.

5) Propedêutica para aprender a somar números inteiros:

Nº 000(a).

Vemos a solução usando a apresentação. Deslize número 8.

4. Resumo da lição:

-Quais números são chamados de positivos? Negativo?

-O que você descobriu?

- Para que servem os números negativos?

-Como são escritos os números positivos e negativos?

5. D/Z: cláusula 8.1, nº 000, 721(b), 715(b). Tarefa criativa: escrever um poema sobre números inteiros, um desenho, uma apresentação, um conto de fadas.

Subtrairemos outro do número,
Colocamos uma linha reta.
Nós reconhecemos este sinal
“Menos” nós o chamamos.
1.
Vale um
Parece uma partida.
Ela é apenas um demônio
Com um pequeno estrondo.

2.
Mal desliza pela água,
Como um cisne, número dois.
Ela arqueou o pescoço,
Dirige as ondas atrás dele.

3.
Dois ganchos, olha
O resultado foi o número três.
Mas esses dois ganchos
Você não pode pegar um verme.

4.
De alguma forma, o garfo caiu
Um dente foi quebrado.
Este garfo está no mundo inteiro
É chamado de "quatro".

5.
Número cinco - com uma barriga grande
Usa boné com viseira.
Na escola esse número é cinco
As crianças adoram receber.

6.
Que cereja, meu amigo,
A haste está dobrada para cima?
Tente comê-lo
Esta cereja é a número seis.

7.
Eu sou um pôquer
Não posso colocar no forno.
Todo mundo sabe sobre ela
Que é chamado de "sete".

8.
A corda estava torcendo, torcendo,
Trançado em dois laços.
"Qual é esse número?" - Vamos perguntar à mãe.
Mamãe vai nos responder: “Oito”.

9.
O vento soprou e soprou forte,
Ele virou a cereja.
Número seis, por favor me diga
Tornou-se o número nove.

10.
Como uma irmã mais velha
O zero é liderado por um.
Nós apenas caminhamos juntos
Eles imediatamente se tornaram o número dez.

Poemas sobre matemática

· Grande parte da matemática não permanece na memória, mas quando você a entende, é fácil lembrar o que você esqueceu de vez em quando.