único denominador. Reduzir a um denominador comum

Nesta lição, veremos como reduzir frações a um denominador comum e resolveremos problemas neste tópico. Vamos definir o conceito de denominador comum e fator adicional, lembre-se do mútuo números primos. Vamos definir o conceito de mínimo denominador comum (MDC) e resolver uma série de problemas para encontrá-lo.

Tópico: Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Lição: Reduzindo frações a um denominador comum

Repetição. Propriedade básica de uma fração.

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, então você obtém uma fração igual a ele.

Por exemplo, o numerador e o denominador de uma fração podem ser divididos por 2. Obtemos uma fração. Esta operação é chamada de redução de fração. Você também pode realizar a transformação inversa multiplicando o numerador e o denominador da fração por 2. Neste caso, dizemos que reduzimos a fração a um novo denominador. O número 2 é chamado de fator adicional.

Conclusão. Uma fração pode ser reduzida a qualquer denominador que seja múltiplo do denominador da fração dada. Para trazer uma fração para um novo denominador, seu numerador e denominador são multiplicados por um fator adicional.

1. Traga a fração para o denominador 35.

O número 35 é múltiplo de 7, ou seja, 35 é divisível por 7 sem resto. Então essa transformação é possível. Vamos encontrar um fator adicional. Para fazer isso, dividimos 35 por 7. Obtemos 5. Multiplicamos o numerador e o denominador da fração original por 5.

2. Traga a fração para o denominador 18.

Vamos encontrar um fator adicional. Para fazer isso, dividimos o novo denominador pelo original. Obtemos 3. Multiplicamos o numerador e o denominador desta fração por 3.

3. Traga a fração para o denominador 60.

Ao dividir 60 por 15, obtemos um multiplicador adicional. É igual a 4. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 4.

4. Traga a fração para o denominador 24

Em casos simples, a redução a um novo denominador é realizada mentalmente. É costume indicar apenas um fator adicional atrás do colchete um pouco à direita e acima da fração original.

Uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15 e uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15. As frações têm um denominador comum de 15.

O denominador comum das frações pode ser qualquer múltiplo comum de seus denominadores. Para simplificar, as frações são reduzidas ao menor denominador comum. É igual ao mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações fornecidas.

Exemplo. Reduza ao mínimo denominador comum da fração e .

Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações. Este número é 12. Vamos encontrar um fator adicional para a primeira e a segunda frações. Para fazer isso, dividimos 12 por 4 e por 6. Três é um fator adicional para a primeira fração e dois para a segunda. Trazemos as frações para o denominador 12.

Reduzimos as frações a um denominador comum, ou seja, encontramos frações que são iguais a elas e possuem o mesmo denominador.

Regra. Para trazer frações ao menor denominador comum,

Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações, que será o seu mínimo denominador comum;

Em segundo lugar, divida o mínimo denominador comum pelos denominadores dessas frações, ou seja, encontre um fator adicional para cada fração.

Terceiro, multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo seu fator adicional.

a) Reduza as frações e a um denominador comum.

O menor denominador comum é 12. O fator adicional para a primeira fração é 4, para a segunda - 3. Trazemos as frações para o denominador 24.

b) Reduza as frações e a um denominador comum.

O menor denominador comum é 45. Dividindo 45 por 9 por 15, obtemos respectivamente 5 e 3. Trazemos as frações para o denominador 45.

c) Reduza as frações e a um denominador comum.

O denominador comum é 24. Os fatores adicionais são 2 e 3, respectivamente.

Às vezes é difícil encontrar verbalmente o mínimo múltiplo comum para os denominadores de determinadas frações. Em seguida, o denominador comum e os fatores adicionais são encontrados expandindo-se para fatores primos.

Reduza para um denominador comum da fração e .

Vamos decompor os números 60 e 168 em fatores primos. Vamos escrever a expansão do número 60 e adicionar os fatores que faltam 2 e 7 da segunda expansão. Multiplique 60 por 14 e obtenha um denominador comum de 840. O fator adicional para a primeira fração é 14. O fator adicional para a segunda fração é 5. Vamos reduzir as frações para um denominador comum de 840.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. e outros Matemática 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Nos bastidores de um livro de matemática. - Iluminismo, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática do 5º ao 6º ano. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matemática 5-6. Manual para alunos do 6º ano do ensino por correspondência MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. etc. Matemática: livro didático do interlocutor para as séries 5 a 6 ensino médio. Biblioteca do professor de matemática. - Iluminismo, 1989.

Você pode baixar os livros especificados na cláusula 1.2. esta lição.

Trabalho de casa

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. e outros Matemática 6. - M.: Mnemozina, 2012. (ver link 1.2)

Lição de casa: nº 297, nº 298, nº 300.

Outras tarefas: #270, #290

Nesta lição, veremos como reduzir frações a um denominador comum e resolveremos problemas neste tópico. Vamos dar uma definição do conceito de denominador comum e de um fator adicional, lembre-se dos números coprimos. Vamos definir o conceito de mínimo denominador comum (MDC) e resolver uma série de problemas para encontrá-lo.

Tópico: Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Lição: Reduzindo frações a um denominador comum

Repetição. Propriedade básica de uma fração.

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, obter-se-á uma fração igual a ele.

1. Traga a fração para o denominador 35.

2. Traga a fração para o denominador 18.

Vamos encontrar um fator adicional. Para fazer isso, dividimos o novo denominador pelo original. Obtemos 3. Multiplicamos o numerador e o denominador desta fração por 3.

3. Traga a fração para o denominador 60.

Ao dividir 60 por 15, obtemos um multiplicador adicional. É igual a 4. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 4.

4. Traga a fração para o denominador 24

Em casos simples, a redução a um novo denominador é realizada mentalmente. É costume indicar apenas um fator adicional atrás do colchete um pouco à direita e acima da fração original.

Uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15 e uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15. As frações têm um denominador comum de 15.

Exemplo. Reduza ao mínimo denominador comum da fração e .

Reduzimos as frações a um denominador comum, ou seja, encontramos frações que são iguais a elas e possuem o mesmo denominador.

Regra. Para trazer frações ao menor denominador comum,

Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações, que será o seu mínimo denominador comum;

Em segundo lugar, divida o mínimo denominador comum pelos denominadores dessas frações, ou seja, encontre um fator adicional para cada fração.

Terceiro, multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo seu fator adicional.

a) Reduza as frações e a um denominador comum.

O menor denominador comum é 12. O fator adicional para a primeira fração é 4, para a segunda - 3. Trazemos as frações para o denominador 24.

b) Reduza as frações e a um denominador comum.

O menor denominador comum é 45. Dividindo 45 por 9 por 15, obtemos respectivamente 5 e 3. Trazemos as frações para o denominador 45.

c) Reduza as frações e a um denominador comum.

O denominador comum é 24. Os fatores adicionais são 2 e 3, respectivamente.

Reduza para um denominador comum da fração e .

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. e outros Matemática 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Nos bastidores de um livro de matemática. - Iluminismo, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática do 5º ao 6º ano. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matemática 5-6. Manual para alunos do 6º ano do ensino por correspondência MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. e outros.Matemática: um livro-interlocutor para as séries 5-6 do ensino médio. Biblioteca do professor de matemática. - Iluminismo, 1989.

Você pode baixar os livros especificados na cláusula 1.2. esta lição.

Trabalho de casa

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. e outros Matemática 6. - M.: Mnemozina, 2012. (ver link 1.2)

Lição de casa: nº 297, nº 298, nº 300.

Outras tarefas: #270, #290

Para trazer frações ao mínimo denominador comum, você deve: 1) encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações, será o mínimo denominador comum. 2) encontre um fator adicional para cada uma das frações, para o qual dividimos o novo denominador pelo denominador de cada fração. 3) multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo seu fator adicional.

Exemplos. Reduza as seguintes frações ao menor denominador comum.

Encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores: LCM(5; 4) = 20, pois 20 é o menor número divisível por 5 e 4. Encontramos para a 1ª fração um fator adicional 4 (20 : 5=4). Para a 2ª fração, o multiplicador adicional é 5 (20 : 4=5). Multiplicamos o numerador e o denominador da 1ª fração por 4, e o numerador e o denominador da 2ª fração por 5. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 20 ).

O menor denominador comum dessas frações é 8, pois 8 é divisível por 4 e por ele mesmo. Não haverá multiplicador adicional para a 1ª fração (ou podemos dizer que é igual a um), para a 2ª fração o multiplicador adicional é 2 (8 : 4=2). Multiplicamos o numerador e o denominador da 2ª fração por 2. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 8 ).

Essas frações não são irredutíveis.

Reduzimos a 1ª fração em 4 e reduzimos a 2ª fração em 2. ( veja exemplos sobre a redução de frações ordinárias: Mapa do site → 5.4.2. Exemplos de redução de frações ordinárias). Encontre MMC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. O multiplicador adicional para a 1ª fração é 5 (80 : 16=5). O multiplicador adicional para a 2ª fração é 4 (80 : 20=4). Multiplicamos o numerador e o denominador da 1ª fração por 5, e o numerador e o denominador da 2ª fração por 4. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 80 ).

Encontre o mínimo denominador comum do NOC (5 ; 6 e 15) = MMC(5 ; 6 e 15)=30. O multiplicador adicional para a 1ª fração é 6 (30 : 5=6), o multiplicador adicional para a 2ª fração é 5 (30 : 6=5), o multiplicador adicional para a 3ª fração é 2 (30 : 15=2). Multiplicamos o numerador e o denominador da 1ª fração por 6, o numerador e o denominador da 2ª fração por 5, o numerador e o denominador da 3ª fração por 2. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 30 ).

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Originalmente, eu queria incluir os métodos do denominador comum no parágrafo "Adição e subtração de frações". Mas havia tanta informação, e sua importância é tão grande (afinal, não só as frações numéricas têm denominadores comuns), que é melhor estudar esse assunto separadamente.

Então digamos que temos duas frações com denominadores diferentes. E queremos ter certeza de que os denominadores se tornem iguais. A propriedade principal de uma fração vem em socorro, que, deixe-me lembrá-lo, soa assim:

Uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Assim, se você escolher os fatores corretamente, os denominadores das frações serão iguais – esse processo é chamado de redução a um denominador comum. E os números desejados, “nivelando” os denominadores, são chamados de fatores adicionais.

Por que você precisa trazer as frações para um denominador comum? Aqui estão apenas alguns motivos:

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Não há outra forma de realizar esta operação;
Comparação de frações. Às vezes, a redução a um denominador comum simplifica enormemente esta tarefa;
Resolvendo problemas de ações e porcentagens. As porcentagens são, na verdade, expressões ordinárias que contêm frações.

Existem muitas maneiras de encontrar números que tornam os denominadores iguais quando multiplicados. Consideraremos apenas três deles - em ordem crescente de complexidade e, em certo sentido, de eficiência.

Multiplicação "cruzada"

A forma mais simples e confiável, que garante a equalização dos denominadores. Agiremos "à frente": multiplicamos a primeira fração pelo denominador da segunda fração e a segunda pelo denominador da primeira. Como resultado, os denominadores de ambas as frações serão iguais ao produto dos denominadores originais. Dê uma olhada:

Como fatores adicionais, considere os denominadores das frações vizinhas. Nós temos:

Sim, é simples assim. Se você está começando a aprender frações, é melhor trabalhar com esse método - assim você se protegerá contra muitos erros e terá a garantia de obter o resultado.

A única desvantagem este método- você tem que contar muito, porque os denominadores são multiplicados “totalmente”, e o resultado pode ser números muito grandes. Esse é o preço da confiabilidade.

Método do divisor comum

Essa técnica ajuda a reduzir bastante os cálculos, mas, infelizmente, raramente é utilizada. O método é o seguinte:

Observe os denominadores antes de "passar" (ou seja, "cruzar"). Talvez um deles (o maior) seja divisível pelo outro.
O número resultante de tal divisão será um fator adicional para uma fração com denominador menor.
Ao mesmo tempo, uma fração com um denominador grande não precisa ser multiplicada por nada - isso é economia. Ao mesmo tempo, a probabilidade de erro é drasticamente reduzida.

Tarefa. Encontre valores de expressão:

Observe que 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Como em ambos os casos um denominador é divisível pelo outro sem resto, usamos o método dos fatores comuns. Nós temos:

Observe que a segunda fração não foi multiplicada por nada. Na verdade, reduzimos pela metade a quantidade de cálculos!

A propósito, peguei as frações neste exemplo por um motivo. Se estiver interessado, tente contá-los usando o método cruzado. Após a redução, as respostas serão as mesmas, mas haverá muito mais trabalho.

Esta é a força do método dos divisores comuns, mas, novamente, só pode ser aplicado quando um dos denominadores é dividido pelo outro sem resto. O que acontece muito raramente.

Método múltiplo menos comum

Quando reduzimos as frações a um denominador comum, estamos essencialmente tentando encontrar um número que seja divisível por cada um dos denominadores. Em seguida, trazemos os denominadores de ambas as frações para este número.

Existem muitos desses números, e o menor deles não será necessariamente igual ao produto direto dos denominadores das frações originais, como é assumido no método "cruzado".

Por exemplo, para denominadores 8 e 12, o número 24 é bastante adequado, pois 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Este número é muito menor que o produto 8 12 = 96 .

O menor número divisível por cada um dos denominadores é chamado de mínimo múltiplo comum (LCM).

Notação: O mínimo múltiplo comum de aeb é denotado por LCM(a ; b ) . Por exemplo, LCM(16; 24) = 48; MMC(8; 12) = 24 .

Se você conseguir encontrar esse número, o valor total dos cálculos será mínimo. Olhe para os exemplos:

Tarefa. Encontre valores de expressão:

Observe que 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Os fatores 2 e 3 são primos (não têm divisores comuns, exceto 1), e o fator 117 é comum. Portanto MMC(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Da mesma forma, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Os fatores 3 e 4 são relativamente primos e o fator 5 é comum. Portanto LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Agora vamos trazer as frações para denominadores comuns:

Observe como a fatoração dos denominadores originais acabou sendo útil:

Encontrados os mesmos fatores, chegamos imediatamente ao mínimo múltiplo comum, o que, de modo geral, é um problema não trivial;
A partir da expansão resultante, você pode descobrir quais fatores estão “faltando” para cada uma das frações. Por exemplo, 234 3 = 702, portanto, para a primeira fração, o fator adicional é 3.

Para avaliar o quanto de vitória o método do múltiplo mínimo comum oferece, tente calcular os mesmos exemplos usando o método “cruzado”. Claro, sem calculadora. Acho que depois disso os comentários serão redundantes.

Não pense que tais frações complexas não estarão em exemplos reais. Eles se encontram o tempo todo e as tarefas acima não são o limite!

O único problema é como encontrar este NOC. Às vezes, tudo é encontrado em poucos segundos, literalmente “a olho nu”, mas em geral este é um problema computacional complexo que requer consideração separada. Aqui não tocaremos neste assunto.

Este artigo explica como reduzir frações a um denominador comum e como encontrar o menor denominador comum. São fornecidas definições, uma regra para reduzir frações a um denominador comum e exemplos práticos são considerados.

O que é reduzir uma fração a um denominador comum?

As frações ordinárias consistem em um numerador - a parte superior e um denominador - a parte inferior. Se as frações tiverem o mesmo denominador, dizemos que elas têm um denominador comum. Por exemplo, as frações 11 14 , 17 14 , 9 14 têm o mesmo denominador 14 . Em outras palavras, eles são reduzidos a um denominador comum.

Se as frações tiverem denominadores diferentes, elas sempre poderão ser reduzidas a um denominador comum com a ajuda de ações simples. Para fazer isso, multiplique o numerador e o denominador por alguns fatores adicionais.

Obviamente, as frações 4 5 e 3 4 não se reduzem a um denominador comum. Para fazer isso, você precisa usar os fatores adicionais 5 e 4 para trazê-los a um denominador 20. Como exatamente fazer isso? Multiplique o numerador e o denominador da fração 4 5 por 4 e multiplique o numerador e o denominador da fração 3 4 por 5. Em vez das frações 4 5 e 3 4 obtemos 16 20 e 15 20 respectivamente.

Trazendo frações para um denominador comum

Reduzir frações a um denominador comum é a multiplicação dos numeradores e denominadores das frações por fatores tais que o resultado sejam frações idênticas com o mesmo denominador.

Denominador comum: definição, exemplos

O que é um denominador comum?

Denominador comum

O denominador comum de uma fração é qualquer número positivo que seja um múltiplo comum de todas as frações fornecidas.

Em outras palavras, o denominador comum de algum conjunto de frações será um número natural que é divisível sem resto por todos os denominadores dessas frações.

O conjunto dos números naturais é infinito e, portanto, por definição, todo conjunto de frações comuns possui um número infinito de denominadores comuns. Em outras palavras, existem infinitos múltiplos comuns para todos os denominadores do conjunto original de frações.

O denominador comum para várias frações é fácil de encontrar usando a definição. Sejam frações 1 6 e 3 5 . O denominador comum das frações será qualquer múltiplo comum positivo dos números 6 e 5. Esses múltiplos comuns positivos são 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 e assim por diante.

Considere um exemplo.

Exemplo 1. Denominador comum

As di frações 1 3, 21 6, 5 12 podem ser reduzidas a um denominador comum, que é igual a 150?

Para saber se é esse o caso, é preciso verificar se 150 é um múltiplo comum dos denominadores das frações, ou seja, para os números 3, 6, 12. Em outras palavras, o número 150 deve ser divisível por 3, 6, 12 sem resto. Vamos checar:

150 ÷ 3 = 50, 150 ÷ 6 = 25, 150 ÷ 12 = 12, 5

Isso significa que 150 não é um denominador comum das frações indicadas.

Menor denominador comum

O menor número natural do conjunto de denominadores comuns de algum conjunto de frações é chamado de mínimo denominador comum.

Menor denominador comum

O mínimo denominador comum de frações é o menor número entre todos os denominadores comuns dessas frações.

O mínimo divisor comum de um determinado conjunto de números é o mínimo múltiplo comum (LCM). O MMC de todos os denominadores de frações é o mínimo denominador comum dessas frações.

Como encontrar o menor denominador comum? Encontrá-lo se resume a encontrar o mínimo múltiplo comum de frações. Vejamos um exemplo:

Exemplo 2: Encontre o menor denominador comum

Precisamos encontrar o menor denominador comum para as frações 1 10 e 127 28 .

Estamos procurando o MMC dos números 10 e 28. Nós os decompomos em fatores simples e obtemos:

10 \u003d 2 5 28 \u003d 2 2 7 N O K (15, 28) \u003d 2 2 5 7 \u003d 140

Como trazer frações para o menor denominador comum

Existe uma regra que explica como reduzir frações a um denominador comum. A regra consiste em três pontos.

A regra para reduzir frações a um denominador comum

Encontre o menor denominador comum das frações.
Para cada fração, encontre um fator adicional. Para encontrar o multiplicador, você precisa dividir o mínimo denominador comum pelo denominador de cada fração.
Multiplique o numerador e o denominador pelo fator adicional encontrado.

Considere a aplicação desta regra em um exemplo específico.

Exemplo 3. Reduzindo frações a um denominador comum

Existem frações 3 14 e 5 18. Vamos trazê-los ao menor denominador comum.

Via de regra, primeiro encontramos o MMC dos denominadores das frações.

14 \u003d 2 7 18 \u003d 2 3 3 N O K (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126

Calculamos fatores adicionais para cada fração. Para 3 14 o fator adicional é 126 ÷ 14 = 9 , e para a fração 5 18 o fator adicional é 126 ÷ 18 = 7 .

Multiplicamos o numerador e o denominador das frações por fatores adicionais e obtemos:

3 9 14 9 = 27 126, 5 7 18 7 = 35 126.

Trazendo múltiplas frações para o mínimo denominador comum

De acordo com a regra considerada, não apenas pares de frações, mas também um número maior delas podem ser reduzidos a um denominador comum.

Vejamos outro exemplo.

Exemplo 4. Reduzindo frações a um denominador comum

Traga as frações 3 2 , 5 6 , 3 8 e 17 18 para o menor denominador comum.

Calcule o MMC dos denominadores. Encontramos o MMC de três e mais números:

N O C (2, 6) = 6 N O C (6, 8) = 24 N O C (24, 18) = 72 N O C (2, 6, 8, 18) = 72

Para 3 2 o fator adicional é 72 ÷ 2 = 36 , para 5 6 o fator adicional é 72 ÷ 6 = 12 , para 3 8 o fator adicional é 72 ÷ 8 = 9 , finalmente, para 17 18 o fator adicional é 72 ÷ 18 = 4 .

Multiplicamos as frações por fatores adicionais e vamos para o menor denominador comum:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

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