Tipos especiais de equações planas. Equações paramétricas de uma linha reta em um plano: descrição, exemplos, solução de problemas Prova ou alguma besteira desse tipo

– equação geral aviões no espaço

Vetor plano normal

Um vetor normal de um plano é um vetor diferente de zero ortogonal a cada vetor situado no plano.

Equação de um plano passando por um ponto com um determinado vetor normal

é a equação do plano que passa pelo ponto M0 com um determinado vetor normal

Vetores de direção plana

Dois vetores não colineares paralelos ao plano são chamados de vetores de direção do plano

Equações do plano paramétrico

– equação paramétrica do plano em forma vetorial

é a equação paramétrica do plano em coordenadas

Equação de um plano que passa por um determinado ponto e dois vetores de direção

-ponto fixo

só um ponto haha

são coplanares, então seu produto misto é 0.

Equação de um plano passando por três pontos dados

– equação plana através de três pontos

Equação de um plano em segmentos

- equação plana em segmentos

Prova

Para provar isso, usamos o fato de que nosso plano passa por A, B, C e pelo vetor normal

Vamos substituir as coordenadas do ponto e do vetor n na equação do plano com o vetor normal

Divida tudo e obtenha

Assim vai.

Equação do plano normal

é o ângulo entre boi e o vetor normal ao plano, saindo de O.

é o ângulo entre oy e o vetor normal ao plano, saindo de O.

é o ângulo entre oz e o vetor normal ao plano, saindo de O.

é a distância da origem das coordenadas ao plano.

Evidência ou alguma besteira desse tipo

O sinal está oposto a D.

Da mesma forma para outros cossenos. Fim.

Distância do ponto ao plano

Ponto S, plano

é a distância orientada do ponto S ao plano

Se , então S e O estão em lados opostos do plano

Se , então S e O estão do mesmo lado

Multiplique por n

Arranjo mútuo de duas linhas no espaço

Ângulo entre planos

Na intersecção, dois pares de ângulos diédricos verticais são formados, o menor é chamado de ângulo entre os planos

Linha reta no espaço

Uma linha no espaço pode ser dada como

Interseção de dois planos:

Equações paramétricas de uma linha reta

- equação paramétrica de uma linha reta em forma vetorial

é a equação paramétrica de uma linha reta em coordenadas

Equação Canônica

é a equação canônica de uma linha reta.

Equação de uma reta que passa por dois pontos dados

– equação canônica de uma reta em forma vetorial;

Arranjo mútuo de duas linhas no espaço

Arranjo mútuo de uma linha reta e um plano no espaço

Ângulo entre a linha e o plano

Distância de um ponto a uma linha no espaço

a é o vetor de direção da nossa linha reta.

é um ponto arbitrário pertencente a uma determinada linha

- o ponto para o qual procuramos a distância.

Distância entre duas linhas que se cruzam

Distância entre duas linhas paralelas

M1 - ponto pertencente à primeira linha

M2 é um ponto pertencente à segunda linha

Curvas e superfícies de segunda ordem

Uma elipse é um conjunto de pontos em um plano, a soma das distâncias a dois pontos dados (focos) é um valor constante.

Equação canônica de uma elipse

Vamos substituí-lo por

Dividido por

Propriedades da elipse

Interseção com eixos coordenados

Simetria sobre

Origens

Uma elipse é uma curva situada em uma parte limitada de um plano

Uma elipse pode ser obtida a partir de um círculo esticando-o ou comprimindo-o

Equação paramétrica de uma elipse:

- diretores

Hipérbole

Uma hipérbole é um conjunto de pontos em um plano para o qual o módulo da diferença nas distâncias a 2 pontos dados (focos) é um valor constante (2a)

Fazemos tudo igual à elipse, obtemos

Substituir com

Dividido por

Propriedades de uma hipérbole

;

- diretores

Assíntota

Uma assíntota é uma linha reta para a qual a curva se aproxima indefinidamente, recuando até o infinito.

Parábola

propriedades do parabô

Relação entre elipse, hipérbole e parábola.

A relação entre essas curvas tem uma explicação algébrica: todas são dadas por equações de segundo grau. Em qualquer sistema de coordenadas, as equações dessas curvas têm a forma: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, onde a, b, c, d, e, f são números

Transformando Sistemas de Coordenadas Cartesianas Retangulares

Tradução paralela do sistema de coordenadas

–O’ no antigo sistema de coordenadas

– coordenadas do ponto no antigo sistema de coordenadas

-coordenadas do ponto em novo sistema coordenadas

Coordenadas de ponto no novo sistema de coordenadas.

Girar em um sistema de coordenadas cartesianas

– novo sistema de coordenadas

Matriz de transição da base antiga para a nova

- (na primeira coluna EU’ , sob o segundo j’ ) a matriz de transição da base EU,j basear EU’ ,j’

Caso Geral

1 opção

Rotação do sistema de coordenadas

opção 2

Rotação do sistema de coordenadas
Tradução paralela da origem

Equação geral das retas de segunda ordem e sua redução à forma canônica

é a forma geral das equações da curva de segunda ordem

Classificação de curvas de segunda ordem

Elipsóide

Seções transversais de um elipsóide

- elipse

Elipsóides de revolução

Os elipsóides de revolução são esferóides oblatos ou prolatos, dependendo do local em que giramos.

Hiperbolóide de uma banda

Seções de um hiperbolóide de faixa única

– hipérbole com eixo real oy

é uma hipérbole com eixo x real

Acontece uma elipse para qualquer h. Assim vai.

Hiperbolóides de revolução de faixa única

Um hiperbolóide de revolução de uma folha pode ser obtido girando uma hipérbole em torno de seu eixo imaginário.

Hiperbolóide de duas folhas

Seções de um hiperbolóide de duas folhas

- hipérbole com ação. eixooz

é uma hipérbole com eixo real oz

Cone

- um par de linhas que se cruzam

Parabolóide elíptico

- parábola

Rotações

Se, então o parabolóide elíptico é uma superfície de revolução formada pela rotação da parábola em torno do seu eixo de simetria.

Parabolóide hiperbólico

Parábola

- parábola

h>0 hipérbole com eixo real paralelo a x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Por cilindro entendemos a superfície que será obtida quando uma reta se move no espaço, que não muda sua direção, se a reta se move em relação a oz, então a equação do cilindro é a equação de uma seção pelo plano que bom.

Cilindro elíptico

cilindro hiperbólico

cilindro parabólico

Geradores retilíneos de superfícies de segunda ordem

As linhas que ficam completamente na superfície são chamadas de geradores retilíneos da superfície.

Superfícies de revolução

Foda-se haha

Mostrar

exibindo Vamos chamar a regra segundo a qual cada elemento do conjunto A está associado a um ou mais elementos do conjunto B. Se a cada um for atribuído um único elemento do conjunto B, então o mapeamento é chamado inequívoco, de outra forma ambíguo.

Transformação conjunto é chamado de mapeamento um-para-um de um conjunto sobre si mesmo

Injeção

Injeção ou mapeamento um-para-um do conjunto A para o conjunto B

(diferentes elementos de a correspondem a diferentes elementos de B) por exemplo y=x^2

sobreposição

Surjeção ou mapeamento de um conjunto A em um conjunto B

Para cada B, existe pelo menos um A (por exemplo, um seno)

Cada elemento do conjunto B corresponde a apenas um elemento do conjunto A. (por exemplo, y=x)

Equações vetoriais e paramétricas do plano. Sejam r 0 e r os vetores de raio dos pontos M 0 e M, respectivamente. Então M 0 M = r - r 0 , e a condição (5.1) de que o ponto M pertence ao plano que passa pelo ponto M 0 perpendicularmente vetor diferente de zero n (Fig. 5.2, a), pode ser escrito usando produto escalar como uma proporção

n(r - r 0) = 0, (5.4)

que é chamado equação vetorial do plano.

Um plano fixo no espaço corresponde a um conjunto de vetores paralelos a ele, ou seja, espaço V2. Vamos escolher neste espaço base e 1 , e 2 , ou seja um par de vetores não colineares paralelos ao plano considerado e um ponto M 0 no plano. Se o ponto M pertence ao plano, então isso equivale ao fato de que o vetor M 0 M é paralelo a ele (Fig. 5.2, b), ou seja, pertence ao espaço indicado V 2 . Isto significa que existe decomposição do vetor M 0 M na base e 1 , e 2 , ou seja existem números t 1 e t 2 para os quais M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 . Escrevendo o lado esquerdo desta equação em termos dos vetores de raio r 0 e r dos pontos M 0 e M, respectivamente, obtemos equação paramétrica vetorial do plano

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 ∈ R. (5.5)

Para passar da igualdade dos vetores em (5.5) para a sua igualdade coordenadas, denotado por (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) coordenadas do ponto M 0 , M e através de (e 1x ; e 1y ; e 1z ), (e 2x ; e 2y ; e 2z ) as coordenadas dos vetores e 1 , e 2 . Igualando as coordenadas de mesmo nome dos vetores r e r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , obtemos equações do plano paramétrico

Um avião passando por três pontos. Suponhamos que três pontos M 1 , M 2 e M 3 não estejam na mesma linha reta. Então existe um único plano π ao qual esses pontos pertencem. Vamos encontrar a equação deste plano formulando o critério para que um ponto arbitrário M pertença ao plano π dado. Então escrevemos este critério em termos das coordenadas dos pontos. O critério indicado é a descrição do plano π como o conjunto daqueles pontos M para os quais os vetores M 1 M 2 , M 1 M 3 e M 1 M coplanar. O critério para a complanaridade de três vetores é a igualdade a zero de seus produto misto(ver 3.2). O produto misto é calculado usando determinante de terceira ordem, cujas strings são as coordenadas dos vetores em base ortonormal. Portanto, se (x i; yx i; Zx i) são as coordenadas dos pontos Mx i, i = 1, 2, 3, e (x; y; z) são as coordenadas do ponto M, então M 1 M = (x-x 1; y-y 1 ; z-z 1 ), M 1 M 2 = (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1 ), M 1 M 3 = (x 3 -x 1 ; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) e a condição de igualdade a zero do produto misto desses vetores tem a forma

Calculando o determinante, obtemos linear em relação a x, y, z a equação, qual é a equação geral do plano desejado. Por exemplo, se expanda o determinante ao longo da 1ª linha, então obtemos

Essa igualdade, após calcular os determinantes e abrir os colchetes, é convertida na equação geral do plano.

Observe que os coeficientes das variáveis na última equação coincidem com as coordenadas produto vetorial M 1 M 2 × M 1 M 3 . Este produto vetorial, sendo o produto de dois vetores não colineares paralelos ao plano π, dá um vetor diferente de zero perpendicular a π, ou seja, dela vetor normal. Portanto, o aparecimento das coordenadas do produto vetorial como coeficientes da equação geral do plano é bastante natural.

Considere o seguinte caso particular de um plano passando por três pontos. Os pontos M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, não ficam em uma linha reta e definem um plano que corta segmentos nos eixos coordenados comprimento diferente de zero (Fig. 5.3). Aqui, os "comprimentos dos segmentos" significam o valor das coordenadas diferentes de zero dos vetores de raio dos pontos M i , i = 1,2,3.

Como M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), a equação (5.7) assume a forma

Tendo calculado o determinante, encontramos bc(x - a) + acy + abz = 0, dividimos a equação resultante por abc e movemos o termo livre para o lado direito,

x/a + y/b + z/c = 1.

Esta equação é chamada equação plana em segmentos.

Exemplo 5.2. Vamos encontrar a equação geral de um plano que passa por um ponto com coordenadas (1; 1; 2) e corta segmentos de mesmo comprimento dos eixos coordenados.

A equação de um plano em segmentos, desde que corte segmentos de igual comprimento dos eixos coordenados, digamos a ≠ 0, tem a forma x/a + y/b + z/c = 1. Esta equação deve satisfazer as coordenadas ( 1; 1; 2) ponto conhecido no plano, ou seja, vale a igualdade 4/a = 1. Portanto, a = 4 e a equação desejada é x + y + z - 4 = 0.

Equação normal do plano. Considere algum plano π no espaço. Nós consertamos para ela unidade normal vetor n dirigido de origem"em direção ao plano", e denotamos por p a distância da origem O do sistema de coordenadas ao plano π (Fig. 5.4). Se o plano passa pela origem do sistema de coordenadas, então p = 0, e qualquer uma das duas direções possíveis pode ser escolhida como direção do vetor normal n.

Se o ponto M pertence ao plano π, então isso equivale ao fato de que projeção ortogonal vetorial OM para direção vetor n é igual a p, ou seja, a condição nOM = pr n OM = p é satisfeita, pois comprimento do vetor n é igual a um.

Denote as coordenadas do ponto M por (x; y; z) e seja n = (cosα; cosβ; cosγ) (lembre-se de que para o vetor unitário n é cossenos de direção cosα, cosβ, cosγ também são suas coordenadas). Escrevendo o produto escalar na igualdade nOM = p na forma de coordenadas, obtemos equação do plano normal

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

Da mesma forma que no caso de uma linha reta em um plano, a equação geral de um plano no espaço pode ser transformada em sua equação normal dividindo-se por um fator de normalização.

Para a equação plana Ax + By + Cz + D = 0, o fator de normalização é o número ±√(A 2 + B 2 + C 2), cujo sinal é escolhido oposto ao sinal de D. Em valor absoluto, o fator de normalização é o comprimento do vetor normal (A; B; C) do plano, e o sinal corresponde à direção desejada do vetor normal unitário do plano. Se o plano passa pela origem do sistema de coordenadas, ou seja, D = 0, então o sinal do fator de normalização pode ser escolhido por qualquer sinal.

Um dos subitens do tópico “A equação de uma reta em um plano” é a questão da compilação de equações paramétricas de uma reta em um plano em um sistema de coordenadas retangulares. O artigo abaixo discute o princípio de compilação de tais equações para determinados dados conhecidos. Vamos mostrar como passar de equações paramétricas para equações de forma diferente; Vamos analisar a solução de problemas típicos.

Uma linha específica pode ser definida especificando um ponto que pertence a essa linha e um vetor de direção para a linha.

Suponha que tenhamos um sistema de coordenadas retangular O x y . E também é dada a linha reta a, indicando o ponto M 1 situado sobre ela (x 1, y 1) e o vetor de direção da linha dada uma → = (uma x , uma y) . Damos uma descrição da linha dada a usando equações.

Usamos um ponto arbitrário M (x, y) e obtemos um vetor M 1 M →; calcule suas coordenadas a partir das coordenadas dos pontos inicial e final: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Vamos descrever o resultado: a reta é dada por um conjunto de pontos M (x, y), passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e possui um vetor de direção uma → = (uma x , uma y) . O conjunto especificado define uma linha reta somente quando os vetores M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) e a → = (a x , a y) são colineares.

Existe uma condição necessária e suficiente para a colinearidade dos vetores, que neste caso para os vetores M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) e a → = (a x , a y) pode ser escrita como um equação:

M 1 M → = λ · a → , onde λ é algum número real.

Definição 1

A equação M 1 M → = λ · a → é chamada de equação vetorial-paramétrica da reta.

Na forma de coordenadas, parece:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

As equações do sistema resultante x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ são chamadas de equações paramétricas de uma linha reta em um plano em um sistema de coordenadas retangulares. A essência do nome é a seguinte: as coordenadas de todos os pontos de uma linha reta podem ser determinadas por equações paramétricas em um plano da forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ao iterar sobre todos os valores reais do parâmetro λ

De acordo com o exposto, as equações paramétricas de uma reta no plano x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ determinam uma reta que é dada em um sistema de coordenadas retangular, passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e tem um vetor guia uma → = (uma x , uma y) . Portanto, se forem dadas as coordenadas de um determinado ponto da reta e as coordenadas de seu vetor diretor, então é possível escrever imediatamente as equações paramétricas da reta dada.

Exemplo 1

É necessário compor equações paramétricas de uma reta em um plano em um sistema de coordenadas retangulares, se o ponto M 1 (2, 3) pertencente a ela e seu vetor de direção forem dados uma → = (3 , 1) .

Solução

Com base nos dados iniciais, obtemos: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. As equações paramétricas ficarão assim:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Vamos ilustrar claramente:

Resposta: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Deve-se notar: se o vetor a → = (a x , a y) serve como vetor diretor da reta a, e os pontos M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) pertencem a esta reta, então ela pode ser determinada definindo equações paramétricas da forma : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , bem como esta opção: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Por exemplo, recebemos um vetor diretor de uma linha reta a → = (2, - 1), bem como os pontos M 1 (1, - 2) e M 2 (3, - 3) pertencentes a esta reta. Então a reta é determinada por equações paramétricas: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ou x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Deve-se atentar também para o seguinte fato: se uma → = (uma x , uma y) é o vetor diretor da linha reta a , então qualquer um dos vetores também será seu vetor diretor μ a → = (μ a x , μ a y) , onde μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Assim, uma linha reta a em um plano em um sistema de coordenadas retangular pode ser definida por equações paramétricas: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ para qualquer valor de μ diferente de zero.

Suponha que a reta a seja dada pelas equações paramétricas x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Então uma → = (2 , - 5) - vetor de direção desta linha. E também qualquer um dos vetores μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 se tornará o vetor de direção para a linha reta dada. Para maior clareza, considere um vetor específico - 2 · a → = (- 4 , 10) , que corresponde ao valor μ = - 2 . Neste caso, a reta dada também pode ser determinada pelas equações paramétricas x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Transição de equações paramétricas de uma reta em um plano para outras equações de uma dada reta e vice-versa

Na resolução de alguns problemas, o uso de equações paramétricas não é a opção mais ideal, então torna-se necessário traduzir as equações paramétricas de uma reta em equações de uma reta de outro tipo. Vamos ver como fazer isso.

As equações paramétricas da reta x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ corresponderão à equação canônica da reta no plano x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Resolvemos cada uma das equações paramétricas em relação ao parâmetro λ, igualamos as partes corretas das igualdades obtidas e obtemos a equação canônica da reta dada:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Nesse caso, não deveria ser constrangedor se x ou y fosse igual a zero.

Exemplo 2

É necessário fazer a transição das equações paramétricas da reta x = 3 y = - 2 - 4 · λ para a equação canônica.

Solução

Escrevemos as equações paramétricas fornecidas na seguinte forma: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Expressamos o parâmetro λ em cada uma das equações: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Igualamos as partes corretas do sistema de equações e obtemos a equação canônica necessária de uma linha reta no plano:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Responder: x - 3 0 = y + 2 - 4

No caso em que é necessário escrever a equação da reta da forma A x + B y + C = 0 , enquanto são dadas as equações paramétricas da reta no plano, é necessário primeiro fazer o transição para a equação canônica e depois para a equação geral da linha reta. Vamos anotar toda a sequência de ações:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplo 3

É necessário escrever a equação geral de uma linha reta se as equações paramétricas que a definem forem dadas: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Solução

Primeiro, vamos fazer a transição para a equação canônica:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

A proporção resultante é idêntica à igualdade - 3 · (x + 1) = 2 · y. Vamos abrir os colchetes e obter a equação geral da reta: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Resposta: 3x + 2y + 3 = 0

Seguindo a lógica de ações acima, para obter uma equação de uma reta com inclinação, uma equação de uma reta em segmentos ou uma equação normal de uma reta, é necessário obter a equação geral de uma reta , e a partir dele para realizar uma nova transição.

Agora considere a ação inversa: escrever as equações paramétricas de uma linha reta para uma forma dada diferente das equações desta linha reta.

A transição mais fácil: da equação canônica para as paramétricas. Seja dada a equação canônica da forma: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Tomamos cada uma das relações desta igualdade igual ao parâmetro λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Vamos resolver as equações resultantes para as variáveis x e y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Exemplo 4

É necessário escrever as equações paramétricas da reta se a equação canônica da reta no plano for conhecida: x - 2 5 = y - 2 2

Solução

Vamos igualar as partes da equação conhecida ao parâmetro λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . A partir da igualdade resultante, obtemos as equações paramétricas da reta: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2λ

Resposta: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Quando for necessário fazer uma transição para equações paramétricas de uma dada equação geral de uma reta, uma equação de uma reta com inclinação ou uma equação de uma reta em segmentos, é necessário trazer a equação original para o canônico e, em seguida, faça a transição para equações paramétricas.

Exemplo 5

É necessário anotar as equações paramétricas da reta com a equação geral conhecida desta reta: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Solução

Transformamos a equação geral dada em uma equação da forma canônica:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Igualamos ambas as partes da igualdade ao parâmetro λ e obtemos as equações paramétricas necessárias da linha reta:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Responder: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Exemplos e problemas com equações paramétricas de uma reta em um plano

Consideremos os tipos mais comuns de problemas usando equações paramétricas de uma linha reta em um plano em um sistema de coordenadas retangulares.

Nos problemas do primeiro tipo são dadas as coordenadas dos pontos, pertencentes ou não a uma reta descrita por equações paramétricas.

A solução de tais problemas é baseada no seguinte fato: os números (x, y) determinados a partir das equações paramétricas x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ para algum valor real λ são as coordenadas de a ponto pertencente à reta, que é descrito nessas equações paramétricas.

Exemplo 6

É necessário determinar as coordenadas de um ponto que está sobre uma reta dada pelas equações paramétricas x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ para λ = 3 .

Solução

Substituímos o valor conhecido λ = 3 nas equações paramétricas fornecidas e calculamos as coordenadas desejadas: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Responder: 1 1 2 , 5

O seguinte problema também é possível: seja dado algum ponto M 0 (x 0, y 0) no plano em um sistema de coordenadas retangulares e é necessário determinar se este ponto pertence à reta descrita pelas equações paramétricas x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Para resolver tal problema, é necessário substituir as coordenadas de um determinado ponto nas equações paramétricas conhecidas de uma reta. Se for determinado que tal valor do parâmetro λ = λ 0 é possível, em que ambas as equações paramétricas são verdadeiras, então o ponto dado pertence à linha reta dada.

Exemplo 7

Os pontos M 0 (4, - 2) e N 0 (- 2, 1) são dados. É necessário determinar se pertencem à reta definida pelas equações paramétricas x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Solução

Substituímos as coordenadas do ponto M 0 (4, - 2) nas equações paramétricas fornecidas:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Concluímos que o ponto M 0 pertence a uma determinada reta, pois corresponde ao valor λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

É óbvio que não existe tal parâmetro λ ao qual o ponto N 0 corresponderá. Em outras palavras, a reta dada não passa pelo ponto N 0 (- 2 , 1) .

Responder: o ponto M 0 pertence a uma determinada linha; o ponto N 0 não pertence à reta dada.

Nos problemas do segundo tipo, é necessário compor equações paramétricas de uma reta em um plano em um sistema de coordenadas retangulares. O exemplo mais simples de tal problema (com coordenadas conhecidas do ponto da linha e do vetor de direção) foi considerado acima. Agora vejamos exemplos em que primeiro você precisa encontrar as coordenadas do vetor de direção e depois escrever as equações paramétricas.

Exemplo 8

O ponto M 1 1 2 , 2 3 é dado. É necessário compor equações paramétricas de uma reta que passa por este ponto e uma reta paralela x 2 \u003d y - 3 - 1.

Solução

De acordo com a condição do problema, a reta, cuja equação devemos avançar, é paralela à reta x 2 \u003d y - 3 - 1. Então, como vetor diretor de uma linha reta que passa por um determinado ponto, é possível usar o vetor diretor de uma linha reta x 2 = y - 3 - 1, que escrevemos na forma: a → = (2, - 1) . Agora todos os dados necessários são conhecidos para compor as equações paramétricas desejadas:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Responder: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Exemplo 9

O ponto M 1 (0, - 7) é dado. É necessário escrever as equações paramétricas de uma reta que passa por este ponto perpendicular à reta 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Solução

Como vetor diretor da reta, cuja equação deve ser composta, pode-se tomar o vetor normal da reta 3 x - 2 y - 5 = 0 . Suas coordenadas são (3 , - 2) . Escrevemos as equações paramétricas necessárias da linha reta:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Responder: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Nos problemas do terceiro tipo, é necessário fazer uma transição das equações paramétricas de uma determinada reta para outros tipos de equações que a determinam. Consideramos a solução de tais exemplos acima, daremos mais um.

Exemplo 10

Dada uma linha reta em um plano em um sistema de coordenadas retangulares, definido pelas equações paramétricas x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . É necessário encontrar as coordenadas de algum vetor normal desta reta.

Solução

Para determinar as coordenadas desejadas do vetor normal, faremos a transição das equações paramétricas para a equação geral:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Os coeficientes das variáveis x e y nos fornecem as coordenadas necessárias do vetor normal. Assim, o vetor normal da reta x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ tem coordenadas 1 , 3 4 .

Responder: 1 , 3 4 .

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Qualquer equação do primeiro grau em relação às coordenadas x, y, z

Machado + Por + Cz +D = 0 (3.1)

define um plano e vice-versa: qualquer plano pode ser representado pela equação (3.1), que é chamada equação plana.

Vetor n(A, B, C) ortogonal ao plano é chamado vetor normal aviões. Na equação (3.1), os coeficientes A, B, C não são iguais a 0 ao mesmo tempo.

Casos especiais da equação (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - o plano passa pela origem.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - o plano é paralelo ao eixo Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - o avião passa pelo eixo Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - o plano é paralelo ao plano Oyz.

Equações do plano coordenado: x = 0, y = 0, z = 0.

Uma linha reta no espaço pode ser dada:

1) como uma linha de intersecção de dois planos, ou seja, sistema de equações:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) seus dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), então a reta que passa por eles é dada pelas equações:

3) o ponto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) pertencente a ele, e o vetor a(m, n, p), s colinear. Então a linha reta é determinada pelas equações:

As equações (3.4) são chamadas equações canônicas da reta.

Vetor a chamado vetor de guia reto.

Equações paramétricas de uma linha reta obtemos igualando cada uma das relações (3.4) com o parâmetro t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t. (3.5)

Resolvendo o sistema (3.2) como um sistema de equações lineares em incógnitas x E sim, chegamos às equações da reta em projeções ou para equações de linha reta reduzidas :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Das equações (3.6) pode-se passar para as equações canônicas, encontrando z de cada equação e igualando os valores resultantes:

Pode-se passar das equações gerais (3.2) para as equações canônicas de outra forma, se encontrar algum ponto desta reta e seu vetor diretor n= [n 1 , n 2], onde n 1 (A 1 , B 1 , C 1) e n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - vetores normais dos planos dados. Se um dos denominadores m,n ou R nas equações (3.4) for igual a zero, então o numerador da fração correspondente deve ser igual a zero, ou seja, sistema

é equivalente ao sistema; tal linha é perpendicular ao eixo x.

O sistema é equivalente ao sistema x = x 1 , y = y 1 ; a linha reta é paralela ao eixo Oz.

Exemplo 1.15. Escreva a equação do plano, sabendo que o ponto A (1, -1,3) serve como base da perpendicular traçada da origem a este plano.

Solução. Pela condição do problema, o vetor OA(1,-1,3) é um vetor normal do plano, então sua equação pode ser escrita como
x-y+3z+D=0. Substituindo as coordenadas do ponto A(1,-1,3) pertencente ao plano, encontramos D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Então x-y+3z-11=0.

Exemplo 1.16. Escreva uma equação para um plano que passa pelo eixo Oz e forma um ângulo de 60 graus com o plano 2x+y-z-7=0.

Solução. O plano que passa pelo eixo Oz é dado pela equação Ax+By=0, onde A e B não desaparecem ao mesmo tempo. Deixe B não
é 0, A/Bx+y=0. De acordo com a fórmula do cosseno do ângulo entre dois planos

Resolvendo a equação quadrática 3m 2 + 8m - 3 = 0, encontramos suas raízes
m 1 = 1/3, m 2 = -3, dos quais obtemos dois planos 1/3x+y = 0 e -3x+y = 0.

Exemplo 1.17. Escreva as equações canônicas da reta:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Solução. As equações canônicas da reta têm a forma:

Onde m, n, p- coordenadas do vetor diretor da linha reta, x1, y1, z1- coordenadas de qualquer ponto pertencente à linha. A linha reta é definida como a linha de intersecção de dois planos. Para encontrar um ponto pertencente a uma reta, fixa-se uma das coordenadas (a maneira mais fácil é colocar, por exemplo, x=0) e o sistema resultante é resolvido como um sistema de equações lineares com duas incógnitas. Então, seja x=0, então y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, de onde y=-1, z=1. Encontramos as coordenadas do ponto M (x 1, y 1, z 1) pertencente a esta reta: M (0,-1,1). O vetor diretor de uma linha reta é fácil de encontrar, conhecendo os vetores normais dos planos originais n 1 (5,1,1) e n 2(2,3,-2). Então

As equações canônicas da reta são: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Até agora, consideramos a equação de uma superfície no espaço com eixos coordenados X, Y, Z de forma explícita ou implícita

Pode-se escrever as equações da superfície na forma paramétrica expressando as coordenadas de seus pontos como funções de dois parâmetros variáveis independentes e

Assumiremos que essas funções são de valor único, contínuas e possuem derivadas contínuas até a segunda ordem em um determinado intervalo de parâmetros

Se substituirmos essas expressões de coordenadas em termos de u e v no lado esquerdo da equação (37), então devemos obter uma identidade em relação a u e V. Diferenciando esta identidade em relação às variáveis independentes u e v, temos

Considerando essas equações como duas equações homogêneas em relação e aplicando o lema algébrico mencionado em, obtemos

onde k é algum coeficiente de proporcionalidade.

Assumimos que o fator k e pelo menos uma das diferenças no lado direito das últimas fórmulas são diferentes de zero.

Vamos denotar, para abreviar, as três diferenças escritas da seguinte forma:

Como você sabe, a equação do plano tangente à nossa superfície em algum ponto (x, y, z) pode ser escrita como

ou, substituindo por quantidades proporcionais, podemos reescrever a equação do plano tangente da seguinte forma:

Os coeficientes nesta equação são conhecidos por serem proporcionais aos cossenos de direção da normal à superfície.

A posição do ponto variável M na superfície é caracterizada pelos valores dos parâmetros u e v, e esses parâmetros são geralmente chamados de coordenadas dos pontos da superfície ou parâmetros de coordenadas.

Dando aos parâmetros u e v valores constantes, obtemos duas famílias de linhas na superfície, que chamaremos de linhas coordenadas da superfície: linhas coordenadas ao longo das quais apenas v muda, e linhas coordenadas ao longo das quais apenas u muda. Estas duas famílias de linhas coordenadas fornecem uma grade de coordenadas na superfície.

Como exemplo, considere uma esfera centrada na origem e com raio R. As equações paramétricas de tal esfera podem ser escritas como

As linhas coordenadas neste caso são, obviamente, os paralelos e meridianos da nossa esfera.

Abstraindo dos eixos coordenados, podemos caracterizar a superfície por um vetor de raio variável que vai de um ponto constante O a um ponto variável M de nossa superfície. As derivadas parciais deste vetor raio em relação aos parâmetros darão obviamente vetores direcionados ao longo das tangentes às linhas coordenadas. Os componentes desses vetores ao longo dos eixos

será, conforme e portanto, que os coeficientes da equação do plano tangente (39) são os componentes do produto vetorial. Este produto vetorial é um vetor perpendicular às tangentes, ou seja, um vetor direcionado ao longo da normal de a superfície. O quadrado do comprimento deste vetor é obviamente expresso pelo produto escalar do vetor e ele mesmo, ou seja, pelo quadrado deste vetor 1). A seguir, um papel significativo será desempenhado pelo vetor normal unitário à superfície, que podemos obviamente escrever na forma

Ao alterar a ordem dos fatores no produto vetorial escrito, obtemos a direção oposta do vetor (40). A seguir, fixaremos a ordem dos fatores de uma certa maneira, ou seja, fixaremos a direção da normal à superfície de uma certa maneira.

Tomemos algum ponto M na superfície e desenhemos através deste ponto alguma curva (L) situada na superfície. Esta curva, de um modo geral, não é uma linha de coordenadas, e tanto H como v irão variar ao longo dela. A direção da tangente a esta curva será determinada pelo vetor se assumirmos que ao longo de (L) nas proximidades do ponto, o parâmetro v é uma função do qual tem uma derivada. A partir disso pode-se ver que a direção da tangente a uma curva desenhada em uma superfície em algum ponto M desta curva é totalmente caracterizada pelo valor naquele ponto. Ao definir o Plano Tangente e derivar sua equação (39), assumimos que as funções (38) no ponto considerado e sua vizinhança possuem derivadas parciais contínuas e que pelo menos um dos coeficientes da equação (39) é diferente de zero no ponto considerado.