Equação plana. Como escrever uma equação para um plano? Arranjo mútuo de aviões

1. Equação geral do plano

Definição. Um plano é uma superfície, cujos pontos satisfazem a equação geral: Ax + By + Cz + D \u003d 0, onde A, B, C são as coordenadas do vetor

N = Ai + Bj + Ck é o vetor da normal ao plano. Os seguintes casos especiais são possíveis:

A \u003d 0 - o plano é paralelo ao eixo Ox

B = 0 - o plano é paralelo ao eixo Oy C = 0 - o plano é paralelo ao eixo Oz

D = 0 - o plano passa pela origem

A = B = 0 - o plano é paralelo ao plano xOy A = C = 0 - o plano é paralelo ao plano xOz B = C = 0 - o plano é paralelo ao plano yOz A = D = 0 - o plano passa pelo eixo Ox

B = D = 0 - o plano passa pelo eixo Oy C = D = 0 - o plano passa pelo eixo Oz

A = B = D = 0 - o plano coincide com o plano xОy A = C = D = 0 - o plano coincide com o plano xOz B = C = D = 0 - o plano coincide com o plano yOz

2. Equação de superfície no espaço

Definição. Qualquer equação relacionando as coordenadas x, y, z de qualquer ponto em uma superfície é uma equação dessa superfície.

3. Equação de um plano passando por três pontos

Para que um único plano seja traçado através de quaisquer três pontos no espaço, é necessário que esses pontos não estejam em uma linha reta.

Considere os pontos М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) no sistema cartesiano geral

4. Equação de um plano em relação a dois pontos e um vetor colinear ao plano

Sejam dados os pontos М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) e o vetor a = (a 1 , a 2 , a 3 ).

Vamos compor a equação do plano passando pelos pontos dados M1 e M2 e um arbitrário

5. Equação de um plano em relação a um ponto e dois vetores colineares ao plano

Sejam dados dois vetores a = (a 1 , a 2 , a 3 ) eb = (b 1 ,b 2 ,b 3 ), planos colineares. Então, para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, os vetores a, b, MM 1 devem ser coplanares.

6. Equação de um plano em relação a um ponto e um vetor normal

Teorema. Se um ponto M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) é dado no espaço, então a equação do plano que passa pelo ponto M 0 perpendicular ao vetor normal N (A , B ,C ) tem a forma: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .

7. Equação de um plano em segmentos

Se na equação geral Ax + By + Cz + D = 0 divida ambas as partes por (-D)

com eixos x, y, z.

8. Equação do plano em forma vetorial

r n = p , onde r = xi + yj + zk é o raio vetor do ponto atual M (x , y , z ) ,

n = i cosα + j cos β + k cosγ - vetor unitário com direção, perpendicular,

caiu no plano desde a origem. α , β e γ são os ângulos formados por este vetor com os eixos x, y, z. p é o comprimento desta perpendicular. Em coordenadas, esta equação tem a forma:

x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0

9. Distância do ponto ao plano

A distância de um ponto arbitrário M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ao plano Ax + By + Cz + D = 0 é:

d = Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2+B2+C2

Exemplo. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(2,-1,4) e B(3,2,-1) perpendiculares ao plano x + y + 2z − 3 = 0 .

A equação do plano desejada tem a forma: Ax + By + Cz + D = 0 , o vetor da normal a este plano n 1 (A,B,C). O vetor AB (1,3,-5) pertence ao plano. O avião que nos foi dado,

perpendicular ao desejado tem um vetor normal n 2 (1,1,2). Porque os pontos A e B pertencem a ambos os planos, e os planos são mutuamente perpendiculares, então

Portanto, o vetor normal é n 1 (11,-7,-2). Porque ponto A pertence ao plano desejado, então suas coordenadas devem satisfazer a equação deste plano, ou seja,

11,2 + 7,1− 2,4 + D = 0; D = − 21. No total, obtemos a equação do plano: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0

10. Equação de linha no espaço

Tanto no plano quanto no espaço, qualquer linha pode ser definida como um conjunto de pontos cujas coordenadas em algum sistema de coordenadas escolhido no espaço satisfazem a equação:

F (x , y , z ) = 0 . Essa equação é chamada de equação de uma reta no espaço.

Além disso, uma linha no espaço pode ser definida de outra maneira. Pode ser considerado como uma linha de interseção de duas superfícies, cada uma das quais é dada por alguma equação.

Seja F (x, y, z) \u003d 0 e Ф (x, y, z) \u003d 0 são as equações de superfícies que se cruzam ao longo da linha L.

F(x, y, z) = 0

Então um par de equações Ф (x, y, z) = 0 será chamado de equação de uma reta no espaço.

11. Equação de uma reta no espaço em relação a um ponto e um vetor diretor r 0 = M 0 M .

Porque vetores M 0 M e S são colineares, então a relação M 0 M = St é verdadeira, onde t é algum parâmetro. No total, podemos escrever: r = r 0 + St .

Porque esta equação é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto na linha, então a equação resultante é equação paramétrica direto.

x = x0 + mt

Esta equação vetorial pode ser representada na forma de coordenadas: y = y 0 + nt

z = z0 + pt

Transformando esse sistema e igualando os valores do parâmetro t, obtemos a canônica

Definição. Os cossenos diretores da reta são os cossenos diretores do vetor S, que podem ser calculados pelas fórmulas:

Daqui obtemos: m : n : p = cosα : cos β : cosγ .

Os números m, n, p são chamados de inclinação da linha. Porque S é um vetor diferente de zero, então m, n e p não podem ser zero ao mesmo tempo, mas um ou dois desses números podem ser zero. Nesse caso, na equação de uma reta, os numeradores correspondentes devem ser igualados a zero.

12. Equação de uma reta no espaço passando por dois pontos

Se em uma linha no espaço marcamos dois pontos arbitrários M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) e

M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , então as coordenadas desses pontos devem satisfazer a equação da reta obtida acima:

Equação plana. Como escrever uma equação para um plano?
Arranjo mútuo de aviões. Tarefas

A geometria espacial não é muito mais complicada do que a geometria "plana", e nossos voos no espaço começam com este artigo. Para entender o assunto, é preciso ter um bom conhecimento vetores, além disso, é desejável estar familiarizado com a geometria do plano - haverá muitas semelhanças, muitas analogias, então as informações serão digeridas muito melhor. Em uma série de minhas aulas, o mundo 2D abre com um artigo Equação de uma reta em um plano. Mas agora Batman saiu da TV de tela plana e está se lançando do Cosmódromo de Baikonur.

Vamos começar com desenhos e símbolos. Esquematicamente, o plano pode ser desenhado como um paralelogramo, o que dá a impressão de espaço:

O plano é infinito, mas temos a oportunidade de retratar apenas uma parte dele. Na prática, além do paralelogramo, também é desenhada uma oval ou mesmo uma nuvem. Por razões técnicas, é mais conveniente para mim representar o avião desta forma e nesta posição. Os planos reais, que consideraremos em exemplos práticos, podem ser organizados como você quiser - pegue mentalmente o desenho em suas mãos e gire-o no espaço, dando ao plano qualquer inclinação, qualquer ângulo.

Notação: costuma-se designar aviões em minúsculas letras gregas, aparentemente para não confundi-los com direto no avião ou com direto no espaço. Estou acostumado a usar a letra . No desenho, é a letra "sigma", e não um buraco. Embora, um avião furado, é certamente muito engraçado.

Em alguns casos, é conveniente usar as mesmas letras gregas com subscritos para designar planos, por exemplo, .

É óbvio que o plano é determinado unicamente por três pontos diferentes que não estão na mesma linha reta. Portanto, as designações de planos de três letras são bastante populares - de acordo com os pontos pertencentes a eles, por exemplo, etc. Muitas vezes, as letras são colocadas entre parênteses: , para não confundir o plano com outra figura geométrica.

Para leitores experientes, darei menu de atalho:

• Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e dois vetores?
• Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e um vetor normal?

e não definharemos em longas esperas:

Equação geral do plano

A equação geral do plano tem a forma , onde os coeficientes são simultaneamente diferentes de zero.

Vários cálculos teóricos e problemas práticos são válidos tanto para a base ortonormal usual quanto para a base afim do espaço (se óleo é óleo, retorne à lição Linear (não) dependência de vetores. base vetorial). Para simplificar, assumiremos que todos os eventos ocorrem em uma base ortonormal e um sistema cartesiano de coordenadas retangulares.

E agora vamos treinar um pouco de imaginação espacial. Tudo bem se tiver ruim, agora vamos desenvolver um pouco. Até jogar com nervosismo requer prática.

No caso mais geral, quando os números não são iguais a zero, o plano intercepta todos os três eixos coordenados. Por exemplo, assim:

Repito mais uma vez que o avião continua indefinidamente em todas as direções, e temos a oportunidade de retratar apenas parte dele.

Considere as equações mais simples de planos:

Como entender essa equação? Pense bem: “Z” SEMPRE, para quaisquer valores de “X” e “Y” é igual a zero. Esta é a equação do plano de coordenadas "nativo". De fato, formalmente a equação pode ser reescrita da seguinte forma: , de onde fica bem visível que não nos importamos, quais valores “x” e “y” levam, é importante que “z” seja igual a zero.

De forma similar:
é a equação do plano coordenado ;
é a equação do plano coordenado.

Vamos complicar um pouco o problema, considere um plano (aqui e mais adiante no parágrafo assumimos que os coeficientes numéricos não são iguais a zero). Vamos reescrever a equação na forma: . Como entendê-lo? "X" é SEMPRE, para qualquer valor de "y" e "z" é igual a um certo número. Este plano é paralelo ao plano coordenado. Por exemplo, um plano é paralelo a um plano e passa por um ponto.

De forma similar:
- a equação do plano, que é paralela ao plano coordenado;
- a equação de um plano paralelo ao plano coordenado.

Adicionar membros: . A equação pode ser reescrita assim: , ou seja, "Z" pode ser qualquer coisa. O que isso significa? "X" e "Y" estão conectados por uma razão que desenha uma certa linha reta no plano (você reconhecerá equação de uma reta em um plano?). Como Z pode ser qualquer coisa, essa linha é "replicada" em qualquer altura. Assim, a equação define um plano paralelo ao eixo de coordenadas

De forma similar:
- a equação do plano, que é paralela ao eixo de coordenadas;
- a equação do plano, que é paralela ao eixo de coordenadas.

Se os termos livres forem zero, os planos passarão diretamente pelos eixos correspondentes. Por exemplo, o clássico "proporcionalidade direta":. Desenhe uma linha reta no plano e multiplique-a mentalmente para cima e para baixo (já que “z” é qualquer). Conclusão: o plano dado pela equação passa pelo eixo de coordenadas.

Concluímos a revisão: a equação do plano passa pela origem. Bem, aqui é bastante óbvio que o ponto satisfaz a equação dada.

E, finalmente, o caso mostrado no desenho: - o plano é amigo de todos os eixos coordenados, embora sempre “corte” um triângulo que pode estar localizado em qualquer um dos oito octantes.

Desigualdades lineares no espaço

Para entender as informações, é preciso estudar bem desigualdades lineares no plano porque muitas coisas serão semelhantes. O parágrafo será de um breve resumo com alguns exemplos, já que o material é bastante raro na prática.

Se a equação define um plano, então as desigualdades
perguntar meios-espaços. Se a desigualdade não for estrita (as duas últimas da lista), então a solução da desigualdade, além do meio-espaço, inclui o próprio plano.

Exemplo 5

Encontre o vetor normal unitário do plano .

Solução: Um vetor unitário é um vetor cujo comprimento é um. Vamos denotar este vetor por . É bastante claro que os vetores são colineares:

Primeiro, removemos o vetor normal da equação do plano: .

Como encontrar o vetor unitário? Para encontrar o vetor unitário, você precisa todo coordenada do vetor dividida pelo comprimento do vetor.

Vamos reescrever o vetor normal na forma e encontrar seu comprimento:

De acordo com o acima:

Responder:

Check: , que era necessário verificar.

Os leitores que estudaram cuidadosamente o último parágrafo da lição provavelmente notaram que as coordenadas do vetor unitário são exatamente os cossenos diretores do vetor:

Vamos divagar do problema desmontado: quando você recebe um vetor arbitrário diferente de zero, e pela condição é necessário encontrar seus cossenos diretores (veja as últimas tarefas da lição Produto escalar de vetores), então você, de fato, também encontra um vetor unitário colinear ao dado. Na verdade, duas tarefas em uma garrafa.

A necessidade de encontrar um vetor normal unitário surge em alguns problemas de análise matemática.

Descobrimos a pesca do vetor normal, agora vamos responder à pergunta oposta:

Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e um vetor normal?

Esta construção rígida de um vetor normal e um ponto é bem conhecida por um alvo de dardos. Por favor, estique sua mão para a frente e selecione mentalmente um ponto arbitrário no espaço, por exemplo, um pequeno gato em um aparador. Obviamente, através deste ponto, você pode desenhar um único plano perpendicular à sua mão.

A equação de um plano que passa por um ponto perpendicular ao vetor é expressa pela fórmula:

Nesta lição, veremos como usar o determinante para compor equação plana. Se você não sabe o que é um determinante, vá para a primeira parte da lição - " Matrizes e determinantes». Caso contrário, você corre o risco de não entender nada do material de hoje.

Equação de um plano por três pontos

Por que precisamos da equação do plano? É simples: sabendo disso, podemos facilmente calcular ângulos, distâncias e outras porcarias no problema C2. Em geral, esta equação é indispensável. Portanto, formulamos o problema:

Tarefa. Existem três pontos no espaço que não estão na mesma linha reta. Suas coordenadas:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

É necessário escrever a equação do plano que passa por esses três pontos. E a equação deve ficar assim:

Ax + By + Cz + D = 0

onde os números A , B , C e D são os coeficientes que, de fato, você deseja encontrar.

Bem, como obter a equação do plano, se apenas as coordenadas dos pontos são conhecidas? A maneira mais fácil é substituir as coordenadas na equação Ax + By + Cz + D = 0. Você obtém um sistema de três equações que é facilmente resolvido.

Muitos estudantes acham essa solução extremamente tediosa e pouco confiável. O exame de matemática do ano passado mostrou que a probabilidade de cometer um erro computacional é muito alta.

Assim, os professores mais avançados começaram a buscar formas mais simples e soluções elegantes. E eles encontraram! É verdade que a técnica obtida tem mais probabilidade de estar relacionada à matemática superior. Pessoalmente, tive que vasculhar toda a lista federal de livros didáticos para ter certeza de que temos o direito de usar essa técnica sem qualquer justificativa e evidência.

Equação do plano através do determinante

Chega de enrolação, vamos ao que interessa. Para começar, um teorema sobre como o determinante da matriz e a equação do plano estão relacionados.

Teorema. Sejam dadas as coordenadas de três pontos pelos quais o plano deve ser traçado: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Então a equação deste plano pode ser escrita em termos do determinante:

Por exemplo, vamos tentar encontrar um par de planos que realmente ocorram em problemas C2. Dê uma olhada em como tudo conta rápido:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Nós compomos o determinante e o igualamos a zero:

Abrindo o determinante:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Como você pode ver, ao calcular o número d, ajustei um pouco a equação para que as variáveis ​​x, y e z estivessem na sequência correta. Isso é tudo! A equação do plano está pronta!

Tarefa. Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Substitua imediatamente as coordenadas dos pontos no determinante:

Expandindo o determinante novamente:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Então, a equação do plano é obtida novamente! Novamente, na última etapa, tive que alterar os sinais nela para obter uma fórmula mais “bonita”. Não é necessário fazer isso nesta solução, mas ainda é recomendado - para simplificar a solução posterior do problema.

Como você pode ver, agora é muito mais fácil escrever a equação do plano. Substituímos os pontos na matriz, calculamos o determinante - e pronto, a equação está pronta.

Este pode ser o fim da aula. No entanto, muitos alunos esquecem constantemente o que está dentro do determinante. Por exemplo, qual linha contém x 2 ou x 3 e qual linha apenas x . Para finalmente lidar com isso, vamos rastrear de onde vem cada número.

De onde vem a fórmula com o determinante?

Então, vamos descobrir de onde vem uma equação tão dura com um determinante. Isso ajudará você a se lembrar e aplicá-lo com sucesso.

Todos os planos que ocorrem no Problema C2 são definidos por três pontos. Esses pontos são sempre marcados no desenho, ou mesmo indicados diretamente no texto do problema. De qualquer forma, para compilar a equação, precisamos escrever suas coordenadas:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Considere mais um ponto em nosso plano com coordenadas arbitrárias:

T = (x, y, z)

Tomamos qualquer ponto dos três primeiros (por exemplo, ponto M ) e desenhamos vetores dele para cada um dos três pontos restantes. Obtemos três vetores:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Agora vamos fazer uma matriz quadrada a partir desses vetores e igualar seu determinante a zero. As coordenadas dos vetores se tornarão as linhas da matriz - e obteremos o mesmo determinante indicado no teorema:

Esta fórmula significa que o volume da caixa construída sobre os vetores MN , MK e MT é igual a zero. Portanto, todos os três vetores estão no mesmo plano. Em particular, um ponto arbitrário T = (x, y, z) é exatamente o que estávamos procurando.

Substituindo pontos e linhas do determinante

Determinantes têm algumas propriedades maravilhosas que tornam ainda mais fácil solução do problema C2. Por exemplo, não importa para nós de qual ponto desenhar vetores. Portanto, os seguintes determinantes fornecem a mesma equação plana que a anterior:

Você também pode trocar as linhas do determinante. A equação permanecerá inalterada. Por exemplo, muitas pessoas gostam de escrever uma linha com as coordenadas do ponto T = (x; y; z) bem no topo. Por favor, se for conveniente para você:

Alguns confundem que uma das linhas contém variáveis ​​x , y e z , que não desaparecem ao substituir pontos. Mas eles não devem desaparecer! Substituindo os números no determinante, você deve obter a seguinte construção:

Em seguida, o determinante é expandido de acordo com o esquema dado no início da lição, e a equação padrão do plano é obtida:

Ax + By + Cz + D = 0

Dê uma olhada em um exemplo. Ele é o último na lição de hoje. Vou trocar deliberadamente as linhas para ter certeza de que a resposta será a mesma equação do plano.

Tarefa. Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Assim, consideramos 4 pontos:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Primeiro, vamos fazer um determinante padrão e igualá-lo a zero:

Abrindo o determinante:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

É isso, temos a resposta: x + y + z − 2 = 0 .

Agora vamos reorganizar algumas linhas no determinante e ver o que acontece. Por exemplo, vamos escrever uma linha com as variáveis ​​x, y, z não na parte inferior, mas na parte superior:

Vamos expandir o determinante resultante novamente:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Obtivemos exatamente a mesma equação do plano: x + y + z − 2 = 0. Portanto, realmente não depende da ordem das linhas. Resta anotar a resposta.

Assim, vimos que a equação do plano não depende da sequência das retas. É possível fazer cálculos semelhantes e provar que a equação do plano não depende do ponto cujas coordenadas subtraímos dos demais pontos.

No problema considerado acima, usamos o ponto B 1 = (1, 0, 1), mas era bem possível tomar C = (1, 1, 0) ou D 1 = (0, 1, 1). Em geral, qualquer ponto com coordenadas conhecidas situadas no plano desejado.

Pode ser configurado jeitos diferentes(um ponto e um vetor, dois pontos e um vetor, três pontos, etc.). É com isso em mente que a equação do plano pode ter diferentes formas. Além disso, sob certas condições, os planos podem ser paralelos, perpendiculares, cruzados, etc. Falaremos sobre isso neste artigo. Aprenderemos a escrever a equação geral do plano e não só.

Forma normal da equação

Digamos que existe um espaço R 3 que possui um sistema de coordenadas retangular XYZ. Definimos o vetor α, que será lançado do ponto inicial O. Através da extremidade do vetor α desenhamos o plano P, que será perpendicular a ele.

Denote por P um ponto arbitrário Q=(x, y, z). Assinaremos o vetor raio do ponto Q com a letra p. O comprimento do vetor α é p=IαI e Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Este é um vetor unitário que aponta para os lados, assim como o vetor α. α, β e γ são os ângulos que se formam entre o vetor Ʋ e as direções positivas dos eixos espaciais x, y, z, respectivamente. A projeção de algum ponto QϵП sobre o vetor Ʋ é um valor constante igual a р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Esta equação faz sentido quando p=0. A única coisa é que o plano P neste caso interceptará o ponto O (α=0), que é a origem, e o vetor unitário Ʋ lançado do ponto O será perpendicular a P, independentemente de sua direção, o que significa que o vetor Ʋ é determinado com precisão de sinal. A equação anterior é a equação do nosso plano P, expressa em forma vetorial. Mas em coordenadas ficará assim:

P aqui é maior ou igual a 0. Encontramos a equação de um plano no espaço em sua forma normal.

equação geral

Se multiplicarmos a equação em coordenadas por qualquer número que não seja igual a zero, obtemos uma equação equivalente à dada, que determina esse mesmo plano. Isso parecerá assim:

Aqui A, B, C são números que são simultaneamente diferentes de zero. Essa equação é chamada de equação geral do plano.

Equações planas. Casos especiais

A equação na forma geral pode ser modificada na presença de condições adicionais. Vamos considerar alguns deles.

Assuma que o coeficiente A é 0. Isso significa que o plano dado é paralelo ao eixo dado Ox. Neste caso, a forma da equação mudará: Ву+Cz+D=0.

Da mesma forma, a forma da equação mudará nas seguintes condições:

• Primeiramente, se B = 0, então a equação mudará para Ax + Cz + D = 0, o que indicará paralelismo com o eixo Oy.
• Em segundo lugar, se С=0, a equação é transformada em Ах+Ву+D=0, o que indicará o paralelismo com o eixo dado Oz.
• Em terceiro lugar, se D=0, a equação se parecerá com Ax+By+Cz=0, o que significará que o plano intercepta O (a origem).
• Quarto, se A=B=0, a equação mudará para Cz+D=0, que se mostrará paralela a Oxy.
• Quinto, se B=C=0, então a equação se torna Ax+D=0, o que significa que o plano para Oyz é paralelo.
• Sexto, se A=C=0, então a equação assumirá a forma Ву+D=0, ou seja, reportará o paralelismo a Oxz.

Tipo de equação em segmentos

No caso em que os números A, B, C, D são diferentes de zero, a forma da equação (0) pode ser a seguinte:

x/a + y/b + z/c = 1,

em que a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Obtemos como resultado Vale a pena notar que este plano interceptará o eixo Ox em um ponto com coordenadas (a,0,0), Oy - (0,b,0) e Oz - (0,0,c) .

Levando em consideração a equação x/a + y/b + z/c = 1, é fácil representar visualmente a colocação do plano em relação a um determinado sistema de coordenadas.

Coordenadas vetoriais normais

O vetor normal n ao plano P tem coordenadas que são os coeficientes equação geral dado plano, isto é, n (A, B, C).

Para determinar as coordenadas da normal n, basta conhecer a equação geral de um determinado plano.

Ao usar a equação em segmentos, que tem a forma x/a + y/b + z/c = 1, bem como ao usar a equação geral, pode-se escrever as coordenadas de qualquer vetor normal de um determinado plano: (1 /a + 1/b + 1/ Com).

Vale a pena notar que o vetor normal ajuda a resolver vários problemas. As mais comuns são tarefas que consistem em provar a perpendicularidade ou paralelismo de planos, problemas em encontrar ângulos entre planos ou ângulos entre planos e retas.

Visão da equação do plano segundo as coordenadas do ponto e do vetor normal

Um vetor diferente de zero n perpendicular a um determinado plano é chamado normal (normal) para um determinado plano.

Suponha que no espaço de coordenadas (sistema de coordenadas retangulares) Oxyz sejam dados:

• ponto Mₒ com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ);
• vetor zero n=A*i+B*j+C*k.

É necessário compor uma equação para um plano que passará pelo ponto Mₒ perpendicular à normal n.

No espaço, escolhemos qualquer ponto arbitrário e o denotamos por M (x y, z). Seja o raio vetor de qualquer ponto M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, e o raio vetor do ponto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. O ponto M pertencerá ao plano dado se o vetor MₒM for perpendicular ao vetor n. Escrevemos a condição de ortogonalidade usando o produto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Como MₒM \u003d r-rₒ, a equação vetorial do plano ficará assim:

Esta equação pode assumir outra forma. Para fazer isso, as propriedades do produto escalar são usadas e o lado esquerdo da equação é transformado. = - . Se denotado como c, então a seguinte equação será obtida: - c \u003d 0 ou \u003d c, que expressa a constância das projeções no vetor normal dos vetores de raio dos pontos dados que pertencem ao plano.

Agora você pode obter a forma coordenada de escrever a equação vetorial de nosso plano = 0. Como r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, e n = A*i+B *j+C*k, temos:

Acontece que temos uma equação para um plano que passa por um ponto perpendicular à normal n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Visão da equação do plano de acordo com as coordenadas de dois pontos e um vetor colinear ao plano

Definimos dois pontos arbitrários M′ (x′,y′,z′) e M″ (x″,y″,z″), bem como o vetor a (a′,a″,a‴).

Agora podemos compor uma equação para um determinado plano, que passará pelos pontos disponíveis M′ e M″, bem como qualquer ponto M com coordenadas (x, y, z) paralelas ao vetor dado a.

Neste caso, os vetores M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) e M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) devem ser coplanares com o vetor a=(a′,a″,a‴), o que significa que (M′M, M″M, a)=0.

Então, nossa equação de um plano no espaço ficará assim:

Tipo da equação de um plano que intercepta três pontos

Suponha que temos três pontos: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), que não pertencem à mesma reta. É necessário escrever a equação do plano que passa pelos três pontos dados. A teoria da geometria afirma que esse tipo de plano realmente existe, só que é o único e inimitável. Como esse plano intercepta o ponto (x′, y′, z′), a forma de sua equação será a seguinte:

Aqui A, B, C são diferentes de zero ao mesmo tempo. Além disso, o plano dado intercepta mais dois pontos: (x″,y″,z″) e (x‴,y‴,z‴). Nesse sentido, as seguintes condições devem ser atendidas:

Agora podemos compor um sistema homogêneo com incógnitas u, v, w:

Na nossa caso x,y ou z é um ponto arbitrário que satisfaz a equação (1). Levando em conta a equação (1) e o sistema de equações (2) e (3), o sistema de equações indicado na figura acima satisfaz o vetor N (A, B, C), que não é trivial. É por isso que o determinante desse sistema é igual a zero.

A equação (1), que obtivemos, é a equação do plano. Ele passa exatamente por 3 pontos, e isso é fácil de verificar. Para fazer isso, precisamos decompor nosso determinante sobre os elementos da primeira linha. De propriedades existentes do determinante, segue-se que nosso plano intercepta simultaneamente três pontos inicialmente dados (x ′, y ′, z ′), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴). Ou seja, resolvemos a tarefa que nos foi proposta.

Ângulo diedro entre planos

Um ângulo diedro é um espaço figura geométrica, formado por dois semiplanos que emanam de uma reta. Em outras palavras, essa é a parte do espaço limitada por esses semiplanos.

Digamos que temos dois planos com as seguintes equações:

Sabemos que os vetores N=(A,B,C) e N¹=(A¹,B¹,C¹) são perpendiculares segundo os planos dados. Nesse sentido, o ângulo φ entre os vetores N e N¹ é igual ao ângulo (diédrico) que está entre esses planos. O produto escalar tem a forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

precisamente porque

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Basta levar em conta que 0≤φ≤π.

De fato, dois planos que se interceptam formam dois ângulos (diédricos): φ 1 e φ 2 . Sua soma é igual a π (φ 1 + φ 2 = π). Quanto aos seus cossenos, seus valores absolutos são iguais, mas diferem em sinais, ou seja, cos φ 1 = -cos φ 2. Se na equação (0) substituirmos A, B e C pelos números -A, -B e -C, respectivamente, então a equação que obtemos determinará o mesmo plano, o único ângulo φ na equação cos φ= NN 1 /|N||N 1 | será substituído por π-φ.

Equação do plano perpendicular

Os planos são chamados perpendiculares se o ângulo entre eles é de 90 graus. Usando o material descrito acima, podemos encontrar a equação de um plano perpendicular a outro. Digamos que temos dois planos: Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Podemos afirmar que serão perpendiculares se cosφ=0. Isso significa que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Equação de planos paralelos

Paralelos são dois planos que não possuem pontos comuns.

A condição (suas equações são as mesmas do parágrafo anterior) é que os vetores N e N¹, que são perpendiculares a eles, sejam colineares. Isso significa que as seguintes condições de proporcionalidade são satisfeitas:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Se as condições de proporcionalidade forem estendidas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

isso indica que esses planos coincidem. Isso significa que as equações Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descrevem um plano.

Distância ao plano a partir do ponto

Digamos que temos um plano P, que é dado pela equação (0). É necessário encontrar a distância a partir do ponto com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Para fazer isso, você precisa trazer a equação do plano P para a forma normal:

(ρ,v)=p (p≥0).

EM este casoρ (x, y, z) é o raio vetor do nosso ponto Q localizado em P, p é o comprimento da perpendicular a P que foi lançada a partir do ponto zero, v é o vetor unitário que está localizado na direção a.

A diferença ρ-ρº do raio vetor de algum ponto Q \u003d (x, y, z) pertencente a P, bem como o raio vetor de um determinado ponto Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) é tal vetor, cujo valor absoluto da projeção em v é igual à distância d, que deve ser encontrada de Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) a P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mas

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Acontece que

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Assim, encontraremos o valor absoluto da expressão resultante, ou seja, o d desejado.

Usando a linguagem dos parâmetros, obtemos o óbvio:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Se o ponto dado Q 0 está do outro lado do plano P, assim como a origem, então entre o vetor ρ-ρ 0 e v está, portanto:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

No caso em que o ponto Q 0, juntamente com a origem, está localizado no mesmo lado de P, então o ângulo criado é agudo, ou seja:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Como resultado, verifica-se que no primeiro caso (ρ 0 ,v)> р, no segundo (ρ 0 ,v)<р.

Plano tangente e sua equação

O plano tangente à superfície no ponto de contato Mº é o plano que contém todas as possíveis tangentes às curvas traçadas neste ponto da superfície.

Com esta forma da equação de superfície F (x, y, z) \u003d 0, a equação do plano tangente no ponto tangente Mº (xº, yº, zº) ficará assim:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Se você especificar a superfície na forma explícita z=f (x, y), o plano tangente será descrito pela equação:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersecção de dois planos

No sistema de coordenadas (retangular) Oxyz está localizado, são dados dois planos П′ e П″, que se cruzam e não coincidem. Como qualquer plano localizado em um sistema de coordenadas retangulares é determinado pela equação geral, assumiremos que P′ e P″ são dados pelas equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x +B″y+ С″z+D″=0. Neste caso, temos a normal n' (A', B', C') do plano P' e a normal n' (A', B', C') do plano P'. Como nossos planos não são paralelos e não coincidem, esses vetores não são colineares. Usando a linguagem da matemática, podemos escrever esta condição da seguinte forma: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Seja a reta que passa pela intersecção de P′ e P″ indicada pela letra a, neste caso a = P′ ∩ P″.

a é uma reta que consiste no conjunto de todos os pontos dos planos (comuns) П′ e П″. Isso significa que as coordenadas de qualquer ponto pertencente à linha a devem satisfazer simultaneamente as equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x+B″y+C″z+D″= 0. Isso significa que as coordenadas do ponto serão uma solução particular do seguinte sistema de equações:

Como resultado, verifica-se que a solução (geral) desse sistema de equações determinará as coordenadas de cada um dos pontos da reta, que atuará como o ponto de interseção de П′ e П″, e determinará a reta linha a no sistema de coordenadas Oxyz (retangular) no espaço.

Para obter a equação geral do plano, analisamos o plano que passa por um determinado ponto.

Que haja três eixos coordenados já conhecidos por nós no espaço - Boi, oi E oz. Segure a folha de papel de forma que ela fique plana. O plano será a própria folha e sua continuação em todas as direções.

Deixar P plano arbitrário no espaço. Qualquer vetor perpendicular a ele é chamado vetor normal a este avião. Naturalmente, estamos falando de um vetor diferente de zero.

Se qualquer ponto do plano é conhecido P e algum vetor da normal a ele, então por essas duas condições o plano no espaço é completamente determinado(através de um determinado ponto, existe apenas um plano perpendicular a um determinado vetor). A equação geral do plano ficará assim:

Então, existem condições que definem a equação do plano. Para obtê-lo sozinho equação plana, que tem a forma acima, tomamos o plano P arbitrário apontar M com coordenadas variáveis x, y, z. Este ponto pertence ao plano somente se vetor perpendicular ao vetor(Figura 1). Para isso, segundo a condição de perpendicularidade dos vetores, é necessário e suficiente que o produto escalar desses vetores seja igual a zero, ou seja

O vetor é dado por condição. Encontramos as coordenadas do vetor pela fórmula :

.

Agora, usando a fórmula do produto escalar de vetores , expressamos o produto escalar na forma de coordenadas:

Desde o ponto M(x; y; z)é escolhido arbitrariamente no plano, então a última equação é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto situado no plano P. Por ponto N, não estando em um determinado plano, , ou seja, a igualdade (1) é violada.

Exemplo 1 Escreva uma equação para um plano passando por um ponto e perpendicular a um vetor.

Solução. Usamos a fórmula (1), veja novamente:

Nesta fórmula, os números A , B E C coordenadas vetoriais e números x0 , y0 E z0 - coordenadas do ponto.

Os cálculos são muito simples: substituímos esses números na fórmula e obtemos

Multiplicamos tudo o que precisa ser multiplicado e somamos apenas números (que são sem letras). Resultado:

.

A equação necessária do plano neste exemplo acabou sendo expressa pela equação geral do primeiro grau em relação às coordenadas variáveis x, y, z ponto arbitrário do plano.

Assim, uma equação da forma

chamado a equação geral do plano .

Exemplo 2 Construa em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares o plano dado pela equação .

Solução. Para construir um plano, é necessário e suficiente conhecer quaisquer três de seus pontos que não estejam em uma linha reta, por exemplo, os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.

Como encontrar esses pontos? Para encontrar o ponto de interseção com o eixo oz, você precisa substituir zeros em vez de x e y na equação fornecida na declaração do problema: x = y= 0 . Portanto, obtemos z= 6 . Assim, o plano dado intercepta o eixo oz no ponto A(0; 0; 6) .

Da mesma forma, encontramos o ponto de interseção do plano com o eixo oi. No x = z= 0 temos y= −3 , ou seja, um ponto B(0; −3; 0) .

E, finalmente, encontramos o ponto de intersecção do nosso plano com o eixo Boi. No y = z= 0 temos x= 2 , ou seja, um ponto C(2; 0; 0) . De acordo com os três pontos obtidos em nossa solução A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) e C(2; 0; 0) construímos o plano dado.

Considere agora casos especiais da equação geral do plano. São casos em que certos coeficientes da equação (2) desaparecem.

1. Quando D= 0 equação define um plano passando pela origem, pois as coordenadas de um ponto 0 (0; 0; 0) satisfazem esta equação.

2. Quando A= 0 equação define um plano paralelo ao eixo Boi, já que o vetor normal deste plano é perpendicular ao eixo Boi(sua projeção no eixo Boi igual a zero). Da mesma forma, quando B= 0 avião eixo paralelo oi, e quando C= 0 avião paralelo ao eixo oz.

3. Quando A=D= 0 equação define um plano passando pelo eixo Boi porque é paralelo ao eixo Boi (A=D= 0). Da mesma forma, o plano passa pelo eixo oi, e o plano através do eixo oz.

4. Quando A=B= 0 equação define um plano paralelo ao plano coordenado xOy porque é paralelo aos eixos Boi (A= 0) e oi (B= 0). Da mesma forma, o plano é paralelo ao plano yOz, e o avião - o avião xOz.

5. Quando A=B=D= 0 equação (ou z= 0) define o plano de coordenadas xOy, pois é paralelo ao plano xOy (A=B= 0) e passa pela origem ( D= 0). Da mesma forma, a equação y= 0 no espaço define o plano de coordenadas xOz, e a equação x= 0 - plano de coordenadas yOz.

Exemplo 3 Componha a equação do plano P passando pelo eixo oi e ponto.

Solução. Então o plano passa pelo eixo oi. Então na equação dela y= 0 e esta equação tem a forma . Para determinar os coeficientes A E C usamos o fato de que o ponto pertence ao plano P .

Portanto, entre suas coordenadas existem aquelas que podem ser substituídas na equação do plano, que já derivamos (). Vejamos novamente as coordenadas do ponto:

M0 (2; −4; 3) .

Entre eles x = 2 , z= 3 . Nós os substituímos na equação geral e obtemos a equação para o nosso caso particular:

2A + 3C = 0 .

deixamos 2 A no lado esquerdo da equação, transferimos 3 C para o lado direito e pegue

A = −1,5C .

Substituindo o valor encontrado A na equação, obtemos

ou .

Esta é a equação necessária na condição de exemplo.

Resolva você mesmo o problema nas equações do plano e depois veja a solução

Exemplo 4 Determine o plano (ou planos, se houver mais de um) em relação aos eixos coordenados ou planos coordenados se o(s) plano(s) for(em) dado(s) pela equação .

Soluções para problemas típicos que ocorrem em testes - no manual "Problemas em um plano: paralelismo, perpendicularidade, interseção de três planos em um ponto" .

Equação de um plano que passa por três pontos

Como já mencionado, uma condição necessária e suficiente para a construção de um plano, além de um ponto e um vetor normal, também são três pontos que não estão em uma linha reta.

Sejam dados três pontos diferentes , e , não estando na mesma linha reta. Como esses três pontos não estão em uma linha reta, os vetores e não são colineares e, portanto, qualquer ponto do plano está no mesmo plano com os pontos , e se e somente se os vetores , e coplanar, ou seja se e apenas se o produto misto desses vetores igual a zero.

Usando a expressão do produto misto em coordenadas, obtemos a equação do plano

(3)

Depois de expandir o determinante, esta equação se torna uma equação da forma (2), ou seja, a equação geral do plano.

Exemplo 5 Escreva uma equação para um plano que passa por três pontos dados que não pertencem a uma linha reta:

e determinar um caso particular da equação geral da reta, se houver.

Solução. Pela fórmula (3) temos:

Equação normal do plano. Distância do ponto ao plano

A equação normal de um plano é a sua equação, escrita na forma