Equação de um plano: como compor? Tipos de equações planas. Equações do plano: geral, através de três pontos, normal Resolva você mesmo o problema nas equações do plano e depois observe a solução

Para determinar o paralelismo e a perpendicularidade dos planos, bem como para calcular as distâncias entre esses objetos geométricos, é conveniente utilizar um ou outro tipo de funções numéricas. Para quais problemas é conveniente usar a equação de um plano em segmentos? Neste artigo veremos o que é e como usá-lo em tarefas práticas.

O que é uma equação em segmentos?

Um plano pode ser definido no espaço 3D de diversas maneiras. Neste artigo, alguns deles serão apresentados durante a resolução de problemas. Vários tipos. Aqui damos uma descrição detalhada da equação em segmentos do plano. Geralmente tem próxima visualização:

Onde os símbolos p, q, r denotam alguns números específicos. Esta equação pode ser facilmente traduzida em uma expressão geral e em outras formas de funções numéricas para o plano.

A conveniência de escrever a equação em segmentos reside no fato de ela conter as coordenadas explícitas da intersecção do plano com os eixos coordenados perpendiculares. No eixo x em relação à origem, o plano corta um segmento de comprimento p, no eixo y - igual a q, em z - de comprimento r.

Se alguma das três variáveis ​​​​não estiver contida na equação, isso significa que o plano não passa pelo eixo correspondente (os matemáticos dizem que ele cruza no infinito).

Conexão entre os segmentos gerais e em segmentos de equações

Sabe-se que o plano é dado pela seguinte igualdade:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

É necessário escrever esta equação geral do plano em segmentos.

Quando surge um problema semelhante, você precisa seguir esta técnica: transferimos o termo livre para o lado direito da igualdade. A seguir dividimos toda a equação por este termo, tentando expressá-la na forma dada no parágrafo anterior. Nós temos:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Obtivemos nos segmentos a equação do plano, dada inicialmente de forma geral. É perceptível que o plano corta segmentos com comprimentos de 3, 2 e 6 para os eixos x, y e z, respectivamente. O eixo y intercepta o plano na área de coordenadas negativas.

Ao traçar uma equação em segmentos, é importante que todas as variáveis ​​​​tenham um sinal “+” na frente delas. Somente neste caso, o número pelo qual esta variável é dividida mostrará a coordenada cortada no eixo.

Vetor normal e ponto no plano

Sabe-se que algum plano possui (3; 0; -1). Sabe-se também que passa pelo ponto (1; 1; 1). É necessário escrever uma equação para este plano em segmentos.

Para resolver este problema, você deve primeiro usar a forma geral deste objeto geométrico bidimensional. A forma geral é escrita como:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Os três primeiros coeficientes são aqui as coordenadas do vetor guia, que é especificado na definição do problema, ou seja:

Resta encontrar o termo livre D. Ele pode ser determinado pela seguinte fórmula:

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1).

Onde os valores das coordenadas com índice 1 correspondem às coordenadas de um ponto pertencente ao plano. Substituímos seus valores da condição do problema, obtemos:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Agora podemos escrever a equação completa:

A técnica para converter esta expressão em uma equação em segmentos do plano já foi demonstrada acima. Vamos aplicá-lo:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

A resposta para o problema foi recebida. Observe que este plano intercepta apenas os eixos x e z. Para y é paralelo.

Duas linhas retas definindo um plano

No curso de geometria espacial, todo aluno sabe que duas linhas retas arbitrárias definem exclusivamente um plano no espaço tridimensional. Vamos resolver um problema semelhante.

Existem duas equações de retas:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

É necessário escrever em segmentos a equação do plano, passando por essas retas.

Como ambas as retas devem estar no plano, isso significa que seus vetores (guias) devem ser perpendiculares ao vetor (guia) do plano. Ao mesmo tempo, sabe-se que o produto vetorial de dois segmentos direcionados arbitrários dá o resultado na forma de coordenadas do terceiro, perpendiculares aos dois originais. Dada esta propriedade, obtemos as coordenadas de um vetor normal ao plano desejado:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Como pode ser multiplicado por um número arbitrário, neste caso forma-se um novo segmento direcionado, paralelo ao original, é possível substituir o sinal das coordenadas obtidas pelo oposto (multiplicar por -1), obtemos :

Conhecemos o vetor de direção. Resta pegar um ponto arbitrário de uma das retas e compor a equação geral do plano:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0.

Traduzimos essa igualdade em uma expressão em segmentos, obtemos:

x + 2*y + z = 1

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Assim, o plano intercepta todos os três eixos na região positiva do sistema de coordenadas.

Assim como duas linhas retas, três pontos definem um plano exclusivamente no espaço tridimensional. Escrevemos a equação correspondente em segmentos se as seguintes coordenadas dos pontos situados no plano forem conhecidas:

Procedemos da seguinte forma: calculamos as coordenadas de dois vetores arbitrários que conectam esses pontos, depois encontramos o vetor n¯ normal ao plano calculando o produto dos segmentos direcionados encontrados. Nós temos:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Tomemos como exemplo o ponto P, componha a equação do plano:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 ou z = 0.

Temos uma expressão simples que corresponde ao plano xy em um determinado sistema de coordenadas retangulares. Não pode ser escrito em segmentos, pois os eixos xey pertencem ao plano, e o comprimento do segmento cortado no eixo z é igual a zero (o ponto (0; 0; 0) pertence ao plano).

Para que um único plano seja traçado através de três pontos quaisquer no espaço, é necessário que esses pontos não estejam em uma linha reta.

Considere os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) em um sistema de coordenadas cartesianas comum.

Para que um ponto arbitrário M(x, y, z) esteja no mesmo plano que os pontos M 1 , M 2 , M 3 , os vetores devem ser coplanares.

(
) = 0

Por isso,

Equação de um plano passando por três pontos:

Equação de um plano em relação a dois pontos e um vetor colinear ao plano.

Sejam os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) e o vetor
.

Vamos compor a equação do plano que passa pelos pontos dados M 1 e M 2 e um ponto arbitrário M (x, y, z) paralelo ao vetor .

Vetores
e vetor
deve ser coplanar, ou seja,

(
) = 0

Equação plana:

Equação de um plano em relação a um ponto e dois vetores,

plano colinear.

Sejam dados dois vetores
E
, planos colineares. Então, para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, os vetores
deve ser coplanar.

Equação plana:

Equação plana por ponto e vetor normal .

Teorema. Se um ponto M é dado no espaço 0 (X 0 , sim 0 , z 0 ), então a equação do plano que passa pelo ponto M 0 perpendicular ao vetor normal (A, B, C) parece:

A(x – x 0 ) + B(sim – sim 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Prova. Para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, compomos um vetor. Porque vetor - o vetor normal, então é perpendicular ao plano e, portanto, perpendicular ao vetor
. Então o produto escalar

= 0

Assim, obtemos a equação do plano

O teorema foi provado.

Equação de um plano em segmentos.

Se na equação geral Ax + Wu + Cz + D = 0, divida ambas as partes por (-D)

,

substituindo
, obtemos a equação do plano em segmentos:

Os números a, b, c são os pontos de intersecção do plano, respectivamente, com os eixos x, y, z.

Equação plana em forma vetorial.

Onde

- vetor raio do ponto atual M(x, y, z),

Um vetor unitário que tem a direção da perpendicular lançada ao plano a partir da origem.

,  e  são os ângulos formados por este vetor com os eixos x, y, z.

p é o comprimento desta perpendicular.

Em coordenadas, esta equação tem a forma:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

A distância de um ponto a um plano.

A distância de um ponto arbitrário M 0 (x 0, y 0, z 0) ao plano Ax + Vu + Cz + D \u003d 0 é:

Exemplo. Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P (4; -3; 12) é a base da perpendicular baixada da origem até este plano.

Então A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, use a fórmula:

UMA(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplo. Encontre a equação de um plano passando por dois pontos P(2; 0; -1) e

Q(1; -1; 3) é perpendicular ao plano 3x + 2y - z + 5 = 0.

Vetor normal ao plano 3x + 2y - z + 5 = 0
paralelo ao plano desejado.

Nós temos:

Exemplo. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(2, -1, 4) e

B(3, 2, -1) perpendicular ao plano X + no + 2z – 3 = 0.

A equação do plano desejado tem a forma: A x+B sim+C z+ D = 0, o vetor normal a este plano (A, B, C). Vetor
(1, 3, -5) pertence ao plano. O plano que nos é dado, perpendicular ao desejado, tem um vetor normal (1, 1, 2). Porque os pontos A e B pertencem a ambos os planos, e os planos são mutuamente perpendiculares, então

Então o vetor normal (11, -7, -2). Porque o ponto A pertence ao plano desejado, então suas coordenadas devem satisfazer a equação deste plano, ou seja, 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

No total, obtemos a equação do plano: 11 x - 7sim – 2z – 21 = 0.

Exemplo. Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P(4, -3, 12) é a base da perpendicular baixada da origem até este plano.

Encontrando as coordenadas do vetor normal
= (4, -3, 12). A equação desejada do plano tem a forma: 4 x – 3sim + 12z+ D = 0. Para encontrar o coeficiente D, substituímos as coordenadas do ponto Р na equação:

16 + 9 + 144 + D = 0

No total, obtemos a equação desejada: 4 x – 3sim + 12z – 169 = 0

Exemplo. Dadas as coordenadas dos vértices da pirâmide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Encontre o comprimento da aresta A 1 A 2 .

Encontre o ângulo entre as arestas A 1 A 2 e A 1 A 4.

Encontre o ângulo entre a aresta A 1 A 4 e a face A 1 A 2 A 3 .

Primeiro, encontre o vetor normal à face A 1 A 2 A 3 como um produto vetorial de vetores
E
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Encontre o ângulo entre o vetor normal e o vetor
.

-4 – 4 = -8.

O ângulo desejado  entre o vetor e o plano será igual a  = 90 0 - .

Encontre a área da face A 1 A 2 A 3 .

Encontre o volume da pirâmide.

Encontre a equação do plano À 1 À 2 À 3 .

Usamos a fórmula da equação de um plano que passa por três pontos.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Ao usar a versão para PC de “ Curso de matemática superior”você pode executar um programa que resolverá o exemplo acima para quaisquer coordenadas dos vértices da pirâmide.

Clique duas vezes no ícone para iniciar o programa:

Na janela do programa que é aberta, insira as coordenadas dos vértices da pirâmide e pressione Enter. Assim, todos os pontos de decisão podem ser obtidos um por um.

Nota: Para executar o programa, você deve ter o Maple ( Waterloo Maple Inc.) instalado em seu computador, qualquer versão começando com MapleV Release 4.

Equação plana. Como escrever uma equação para um avião?
Arranjo mútuo de aviões. Tarefas

A geometria espacial não é muito mais complicada do que a geometria "plana", e nossos vôos no espaço começam com este artigo. Para entender o assunto é preciso ter um bom entendimento vetores , além disso, é desejável estar familiarizado com a geometria do plano - haverá muitas semelhanças, muitas analogias, para que a informação seja digerida muito melhor. Em uma série de minhas lições, o mundo 2D abre com um artigo Equação de uma linha reta em um plano . Mas agora Batman saiu da TV de tela plana e está sendo lançado no Cosmódromo de Baikonur.

Vamos começar com desenhos e símbolos. Esquematicamente, o plano pode ser desenhado como um paralelogramo, o que dá a impressão de espaço:

O plano é infinito, mas temos a oportunidade de retratar apenas um pedaço dele. Na prática, além do paralelogramo, também se desenha uma forma oval ou mesmo uma nuvem. Por razões técnicas, é mais conveniente para mim representar o avião desta forma e nesta posição. Os planos reais, que consideraremos em exemplos práticos, podem ser organizados como você quiser - pegue mentalmente o desenho nas mãos e gire-o no espaço, dando ao plano qualquer inclinação, qualquer ângulo.

Notação: costuma-se designar os planos em letras gregas minúsculas, aparentemente para não confundi-los com direto no avião ou com direto no espaço . Estou acostumado a usar a letra . No desenho é a letra “sigma”, e não um buraco nenhum. Embora seja um avião furado, certamente é muito engraçado.

Em alguns casos, é conveniente usar as mesmas letras gregas com subscritos para designar planos, por exemplo, .

É óbvio que o plano é determinado exclusivamente por três pontos diferentes que não estão na mesma linha reta. Portanto, designações de aviões de três letras são bastante populares - de acordo com os pontos pertencentes a eles, por exemplo, etc. Muitas vezes as letras ficam entre parênteses: para não confundir o plano com outra figura geométrica.

Para leitores experientes, darei menu de atalho:

• Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e dois vetores?
• Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e um vetor normal?

e não definharemos em longas esperas:

Equação geral do plano

Equação Geral plano tem a forma , onde os coeficientes são simultaneamente diferentes de zero.

Uma série de cálculos teóricos e problemas práticos são válidos tanto para a base ortonormal usual quanto para a base afim do espaço (se petróleo é petróleo, volte à lição (não) dependência linear de vetores. Base vetorial ). Para simplificar, assumiremos que todos os eventos ocorrem em uma base ortonormal e em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas.

E agora vamos treinar um pouco de imaginação espacial. Tudo bem se você estiver mal, agora vamos desenvolver um pouco. Até brincar com os nervos requer prática.

No caso mais geral, quando os números não são iguais a zero, o plano intercepta todos os três eixos coordenados. Por exemplo, assim:

Repito mais uma vez que o avião continua indefinidamente em todas as direções e temos a oportunidade de representar apenas parte dele.

Considere as equações mais simples de planos:

Como entender essa equação? Pense nisso: “Z” SEMPRE, para qualquer valor de “X” e “Y” é igual a zero. Esta é a equação do plano coordenado "nativo". Na verdade, formalmente a equação pode ser reescrita da seguinte forma: , de onde é claramente visível que não nos importamos com quais valores “x” e “y” assumem, é importante que “z” seja igual a zero.

De forma similar:
é a equação do plano coordenado;
é a equação do plano coordenado.

Vamos complicar um pouco o problema, considere um plano (aqui e mais adiante no parágrafo assumimos que os coeficientes numéricos não são iguais a zero). Vamos reescrever a equação na forma: . Como entender isso? “X” é SEMPRE, pois qualquer valor de “y” e “z” é igual a um determinado número. Este plano é paralelo ao plano coordenado. Por exemplo, um plano é paralelo a um plano e passa por um ponto.

De forma similar:
- a equação do plano paralelo ao plano coordenado;
- a equação de um plano paralelo ao plano coordenado.

Adicionar membros: . A equação pode ser reescrita assim: , ou seja, “Z” pode ser qualquer coisa. O que isso significa? "X" e "Y" estão conectados por uma relação que desenha uma certa linha reta no plano (você reconhecerá equação de uma reta em um plano ?). Como Z pode ser qualquer coisa, esta linha é “replicada” em qualquer altura. Assim, a equação define um plano paralelo ao eixo de coordenadas

De forma similar:
- a equação do plano paralelo ao eixo coordenado;
- a equação do plano, que é paralelo ao eixo coordenado.

Se os termos livres forem zero, os planos passarão diretamente pelos eixos correspondentes. Por exemplo, a clássica “proporcionalidade direta”:. Desenhe uma linha reta no plano e multiplique-a mentalmente para cima e para baixo (já que “z” é qualquer). Conclusão: o plano dado pela equação passa pelo eixo coordenado.

Concluímos a revisão: a equação do plano passa pela origem. Bem, aqui é bastante óbvio que o ponto satisfaz a equação dada.

E, por fim, o caso que aparece no desenho: - o plano é amigo de todos os eixos coordenados, embora sempre “corte” um triângulo que pode estar localizado em qualquer um dos oito octantes.

Desigualdades lineares no espaço

Para entender as informações é preciso estudar bem desigualdades lineares no plano porque muitas coisas serão semelhantes. O parágrafo será uma breve visão geral com alguns exemplos, uma vez que o material é bastante raro na prática.

Se a equação define um plano, então as desigualdades
perguntar meios-espaços. Se a desigualdade não for estrita (as duas últimas da lista), então a solução da desigualdade, além do meio espaço, inclui o próprio plano.

Exemplo 5

Encontre o vetor normal unitário do plano .

Solução: Um vetor unitário é um vetor cujo comprimento é um. Vamos denotar esse vetor por . É bastante claro que os vetores são colineares:

Primeiro, removemos o vetor normal da equação do plano: .

Como encontrar o vetor unitário? Para encontrar o vetor unitário, você precisa todo coordenada vetorial dividida pelo comprimento do vetor.

Vamos reescrever o vetor normal na forma e encontrar seu comprimento:

De acordo com o acima:

Responder:

Check: , que era necessário verificar.

Os leitores que estudaram cuidadosamente o último parágrafo da lição provavelmente notaram que as coordenadas do vetor unitário são exatamente os cossenos de direção do vetor:

Vamos desviar do problema desmontado: quando você recebe um vetor arbitrário diferente de zero, e por condição é necessário encontrar seus cossenos de direção (veja as últimas tarefas da lição Produto escalar de vetores ), então você, de fato, também encontra um vetor unitário colinear ao dado. Na verdade, duas tarefas em uma garrafa.

A necessidade de encontrar um vetor normal unitário surge em alguns problemas de análise matemática.

Descobrimos a pesca do vetor normal, agora responderemos à pergunta oposta:

Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e um vetor normal?

Esta construção rígida de um vetor normal e um ponto é bem conhecida por um alvo de dardos. Por favor, estique a mão para a frente e selecione mentalmente um ponto arbitrário no espaço, por exemplo, um pequeno gato em um aparador. Obviamente, através deste ponto, você pode desenhar um único plano perpendicular à sua mão.

A equação de um plano que passa por um ponto perpendicular ao vetor é expressa pela fórmula:

Nesta lição, veremos como usar o determinante para compor equação plana. Se você não sabe o que é um determinante, vá para a primeira parte da lição - " Matrizes e determinantes». Caso contrário, você corre o risco de não entender nada do material de hoje.

Equação de um plano por três pontos

Por que precisamos da equação do plano? É simples: sabendo disso, podemos calcular facilmente ângulos, distâncias e outras porcarias no problema C2. Em geral, esta equação é indispensável. Portanto, formulamos o problema:

Tarefa. Existem três pontos no espaço que não estão na mesma linha reta. Suas coordenadas:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

É necessário escrever a equação do plano que passa por esses três pontos. E a equação deve ficar assim:

Machado + Por + Cz + D = 0

onde os números A , B , C e D são os coeficientes que, de fato, você deseja encontrar.

Bem, como obter a equação do plano se apenas as coordenadas dos pontos são conhecidas? A maneira mais fácil é substituir as coordenadas na equação Ax + By + Cz + D = 0. Você obtém um sistema de três equações que é facilmente resolvido.

Muitos estudantes consideram esta solução extremamente tediosa e pouco confiável. O exame de matemática do ano passado mostrou que a probabilidade de cometer um erro computacional é muito alta.

Portanto, os professores mais avançados começaram a procurar formas mais simples e soluções elegantes. E eles encontraram! É verdade que a técnica obtida tem maior probabilidade de estar relacionada à matemática superior. Pessoalmente, tive que vasculhar toda a lista federal de livros didáticos para ter certeza de que temos o direito de usar essa técnica sem qualquer justificativa e evidência.

Equação do plano através do determinante

Chega de reclamar, vamos ao que interessa. Para começar, um teorema sobre como o determinante da matriz e a equação do plano estão relacionados.

Teorema. Sejam dadas as coordenadas de três pontos através dos quais o plano deve ser traçado: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Então a equação deste plano pode ser escrita em termos do determinante:

Por exemplo, vamos tentar encontrar um par de planos que realmente ocorra em problemas C2. Dê uma olhada em como tudo conta rápido:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Compomos o determinante e o igualamos a zero:

Abrindo o determinante:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Como você pode ver, ao calcular o número d, ajustei um pouco a equação para que as variáveis ​​​​x, y e z estivessem na sequência correta. Isso é tudo! A equação do avião está pronta!

Tarefa. Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos:

UMA = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Substitua imediatamente as coordenadas dos pontos no determinante:

Expandindo o determinante novamente:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a - b = z - (x + y) = z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Então, a equação do plano é obtida novamente! Novamente, na última etapa, tive que alterar os sinais para obter uma fórmula mais “bonita”. Não é necessário fazer isso nesta solução, mas ainda é recomendado - para simplificar a solução posterior do problema.

Como você pode ver, agora é muito mais fácil escrever a equação do plano. Substituímos os pontos na matriz, calculamos o determinante - e pronto, a equação está pronta.

Este pode ser o fim da lição. No entanto, muitos estudantes esquecem constantemente o que está dentro do determinante. Por exemplo, qual linha contém x 2 ou x 3 e qual linha contém apenas x . Para finalmente lidar com isso, vamos rastrear de onde vem cada número.

De onde vem a fórmula com o determinante?

Então, vamos descobrir de onde vem essa equação tão dura com um determinante. Isso o ajudará a lembrá-lo e aplicá-lo com sucesso.

Todos os planos que ocorrem no Problema C2 são definidos por três pontos. Esses pontos estão sempre marcados no desenho, ou mesmo indicados diretamente no texto do problema. De qualquer forma, para compilar a equação, precisamos escrever suas coordenadas:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Considere mais um ponto em nosso plano com coordenadas arbitrárias:

T = (x, y, z)

Pegamos qualquer ponto dos três primeiros (por exemplo, ponto M ) e desenhamos vetores dele para cada um dos três pontos restantes. Obtemos três vetores:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Agora vamos fazer uma matriz quadrada a partir desses vetores e igualar seu determinante a zero. As coordenadas dos vetores se tornarão as linhas da matriz - e obteremos o mesmo determinante indicado no teorema:

Esta fórmula significa que o volume da caixa construída sobre os vetores MN , MK e MT é igual a zero. Portanto, todos os três vetores estão no mesmo plano. Em particular, um ponto arbitrário T = (x, y, z) é exatamente o que procurávamos.

Substituindo pontos e linhas do determinante

Os determinantes têm algumas propriedades maravilhosas que tornam ainda mais fácil solução do problema C2. Por exemplo, não nos importa de que ponto desenhar vetores. Portanto, os seguintes determinantes fornecem a mesma equação plana acima:

Você também pode trocar as linhas do determinante. A equação permanecerá inalterada. Por exemplo, muitas pessoas gostam de escrever uma linha com as coordenadas do ponto T = (x; y; z) bem no topo. Por favor, se for conveniente para você:

Confunde alguns que uma das linhas contenha variáveis ​​x , y e z , que não desaparecem ao substituir pontos. Mas eles não deveriam desaparecer! Ao substituir os números no determinante, você deve obter a seguinte construção:

Em seguida, o determinante é expandido de acordo com o esquema dado no início da lição, e a equação padrão do plano é obtida:

Machado + Por + Cz + D = 0

Dê uma olhada em um exemplo. Ele é o último da lição de hoje. Trocarei deliberadamente as retas para ter certeza de que a resposta será a mesma equação do plano.

Tarefa. Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Então, consideramos 4 pontos:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Primeiro, vamos fazer um determinante padrão e igualá-lo a zero:

Abrindo o determinante:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

É isso, obtivemos a resposta: x + y + z − 2 = 0 .

Agora vamos reorganizar algumas linhas no determinante e ver o que acontece. Por exemplo, vamos escrever uma linha com variáveis ​​​​x, y, z não na parte inferior, mas na parte superior:

Vamos expandir o determinante resultante novamente:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Obtivemos exatamente a mesma equação plana: x + y + z − 2 = 0. Então, realmente não depende da ordem das linhas. Resta anotar a resposta.

Então, vimos que a equação do plano não depende da sequência de retas. É possível fazer cálculos semelhantes e provar que a equação do plano não depende do ponto cujas coordenadas subtraímos dos demais pontos.

No problema considerado acima, usamos o ponto B 1 = (1, 0, 1), mas era bem possível tomar C = (1, 1, 0) ou D 1 = (0, 1, 1). Em geral, qualquer ponto com coordenadas conhecidas situado no plano desejado.