Canto. Detecção de ângulo

Neste artigo, analisaremos de forma abrangente uma das principais formas geométricas - o ângulo. Vamos começar com conceitos e definições auxiliares que nos levarão à definição de um ângulo. Depois disso, damos os métodos aceitos para designar ângulos. A seguir, trataremos em detalhes do processo de medição de ângulos. Em conclusão, mostraremos como você pode marcar os cantos do desenho. Fornecemos toda a teoria com os desenhos e ilustrações gráficas necessárias para melhor memorização do material.

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Definição de ângulo.

O ângulo é uma das figuras mais importantes da geometria. A definição de um ângulo é dada através da definição de uma semi-reta. Por sua vez, a ideia de raio não pode ser obtida sem o conhecimento de figuras geométricas como um ponto, uma reta e um plano. Portanto, antes de se familiarizar com a definição do ângulo, recomendamos atualizar a teoria das seções e.

Assim, partiremos dos conceitos de ponto, reta sobre um plano e plano.

Vamos primeiro dar a definição de um raio.

Seja-nos dada alguma linha reta no plano. Vamos denotar com a letra a. Seja O algum ponto da reta a . O ponto O divide a reta a em duas partes. Cada uma dessas partes junto com o ponto O é chamado feixe, e o ponto O é chamado o início da viga. Você também pode ouvir que o feixe é chamado semidireto.

Por brevidade e conveniência, foi introduzida a seguinte notação para raios: um raio é denotado por uma pequena letra latina (por exemplo, raio p ou raio k), ou por duas letras latinas grandes, a primeira das quais corresponde ao início do raio, e o segundo denota algum ponto desse raio (por exemplo, raio OA ou feixe CD). Vamos mostrar a imagem e a designação dos raios no desenho.

Agora podemos dar a primeira definição de um ângulo.

Definição.

Canto- esta é uma figura geométrica plana (isto é, inteiramente em um determinado plano), composta por dois raios incompatíveis com uma origem comum. Cada um dos raios é chamado canto lateral, o início comum dos lados do ângulo é chamado canto superior.

É possível que os lados de um ângulo formem uma linha reta. Este ângulo tem seu próprio nome.

Definição.

Se ambos os lados de um ângulo estão na mesma linha, então o ângulo é chamado implantado.

Chamamos a atenção para uma ilustração gráfica de um ângulo desenvolvido.

Um símbolo de ângulo é usado para denotar um ângulo. Se os lados do ângulo forem indicados em letras latinas minúsculas (por exemplo, um lado do ângulo é k e o outro é h), então, para designar esse ângulo, após o sinal do ângulo, as letras correspondentes aos lados são escritas em uma linha e a ordem de gravação não importa (isto é, ou). Se os lados do ângulo são indicados por duas letras latinas grandes (por exemplo, um lado do ângulo OA e o segundo lado do ângulo OB), o ângulo é denotado da seguinte forma: após o sinal do ângulo, três letras são escritos que participam da designação dos lados do ângulo, e a letra correspondente ao vértice do ângulo, localizada no meio (no nosso caso, o ângulo será indicado como ou ). Se o vértice de um ângulo não for o vértice de algum outro ângulo, esse ângulo pode ser denotado pela letra correspondente ao vértice do ângulo (por exemplo, ). Às vezes você pode ver que os cantos dos desenhos são marcados com números (1, 2, etc.), esses cantos são indicados como e assim por diante. Para maior clareza, apresentamos uma figura na qual os cantos são mostrados e indicados.

Qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Além disso, se o ângulo não for desenvolvido, uma parte do plano é chamada área de canto interno, e o outro fora da área de canto. A imagem a seguir explica qual parte do plano corresponde ao interior do canto e qual parte ao exterior.

Qualquer uma das duas partes em que um ângulo achatado divide um plano pode ser considerada uma região interior do ângulo achatado.

A definição do interior de um ângulo nos leva à segunda definição de um ângulo.

Definição.

Canto- esta é uma figura geométrica, composta por dois raios desencontrados com uma origem comum e a correspondente região interna do ângulo.

Deve-se notar que a segunda definição do ângulo é mais rígida que a primeira, pois contém mais condições. No entanto, não se deve descartar a primeira definição do ângulo, nem se deve considerar a primeira e a segunda definições do ângulo separadamente. Vamos explicar este ponto. Quando se trata de um ângulo como figura geométrica, entende-se por ângulo uma figura composta por dois raios de origem comum. Se for necessário realizar alguma ação com este ângulo (por exemplo, medir um ângulo), então um ângulo já deve ser entendido como dois raios com uma origem comum e uma região interna (caso contrário, uma situação dupla surgiria devido à presença de uma região interna e externa do ângulo ).

Vamos dar mais definições de ângulos adjacentes e verticais.

Definição.

cantos adjacentes- são dois ângulos em que um lado é comum e os outros dois formam um ângulo reto.

Segue-se da definição que os ângulos adjacentes se complementam até um ângulo reto.

Definição.

Ângulos verticais são dois ângulos em que os lados de um ângulo são extensões dos lados do outro.

A figura mostra ângulos verticais.

Obviamente, duas linhas que se cruzam formam quatro pares de ângulos adjacentes e dois pares de ângulos verticais.

Comparação de ângulos.

Neste parágrafo do artigo, trataremos das definições de ângulos iguais e desiguais, e também no caso de ângulos desiguais, explicaremos qual ângulo é considerado grande e qual é menor.

Lembre-se de que duas figuras geométricas são chamadas de iguais se puderem ser sobrepostas.

Sejam dados dois ângulos. Vamos dar um raciocínio que nos ajudará a obter uma resposta para a pergunta: “Esses dois ângulos são iguais ou não”?

Obviamente, sempre podemos combinar os vértices de dois cantos, bem como um lado do primeiro canto com qualquer um dos lados do segundo canto. Vamos combinar o lado do primeiro canto com aquele lado do segundo canto, de modo que os lados restantes dos cantos fiquem do mesmo lado da linha reta na qual estão os lados combinados dos cantos. Então, se os outros dois lados dos cantos estiverem alinhados, os cantos são chamados igual.

Se os outros dois lados dos ângulos não coincidem, então os ângulos são chamados desigual, e menor o ângulo é considerado parte de outro ( grandeé o ângulo que contém completamente outro ângulo).

Obviamente, os dois ângulos retos são iguais. Também é óbvio que um ângulo desenvolvido é maior do que qualquer ângulo não desenvolvido.

Medição do ângulo.

A medição do ângulo é baseada na comparação do ângulo medido com o ângulo tomado como unidade de medida. O processo de medição de ângulos é assim: a partir de um dos lados do ângulo medido, sua área interna é preenchida sequencialmente com ângulos únicos, empilhando-os firmemente um ao outro. Ao mesmo tempo, o número de cantos empilhados é lembrado, o que fornece a medida do ângulo medido.

Na verdade, qualquer ângulo pode ser tomado como unidade de medida para ângulos. No entanto, existem muitas unidades geralmente aceitas para medir ângulos relacionados a vários campos da ciência e tecnologia, elas receberam nomes especiais.

Uma das unidades para medir ângulos é grau.

Definição.

um graué um ângulo igual a cento e oitenta avos de um ângulo reto.

Um grau é denotado pelo símbolo "", portanto, um grau é denotado como.

Assim, em um ângulo desenvolvido, podemos encaixar 180 ângulos em um grau. Vai parecer meia torta redonda cortada em 180 pedaços iguais. Muito importante: os "pedaços da torta" se encaixam bem (ou seja, os lados dos cantos estão alinhados), com o lado do primeiro canto alinhado com um lado do canto achatado e o lado do último canto da unidade coincidiu com o outro lado do canto achatado.

Ao medir ângulos, descobre-se quantas vezes um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) cabe no ângulo medido até que a área interna do ângulo medido seja totalmente coberta. Como já vimos, em um ângulo desenvolvido, o grau cabe exatamente 180 vezes. Abaixo estão exemplos de ângulos nos quais um ângulo de um grau cabe exatamente 30 vezes (esse ângulo é um sexto de um ângulo reto) e exatamente 90 vezes (meio ângulo reto).

Para medir ângulos menores que um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) e nos casos em que o ângulo não pode ser medido em um número inteiro de graus (unidades tomadas), você deve usar partes de um grau (partes de unidades tomadas de medição). Certas partes do grau receberam nomes especiais. Os mais comuns são os chamados minutos e segundos.

Definição.

Minutoé um sexagésimo de grau.

Definição.

Segundoé um sexagésimo de minuto.

Em outras palavras, há sessenta segundos em um minuto e sessenta minutos (3600 segundos) em um grau. O símbolo "" é usado para denotar minutos e o símbolo "" é usado para denotar segundos (não confunda com os sinais da derivada e da segunda derivada). Então, com as definições e notações introduzidas, temos , e o ângulo no qual 17 graus 3 minutos e 59 segundos se encaixam pode ser denotado como .

Definição.

Grau medida de um ângulo um número positivo é chamado, o que mostra quantas vezes um grau e suas partes se encaixam em um determinado ângulo.

Por exemplo, a medida em grau de um ângulo reto é cento e oitenta, e a medida em grau de um ângulo é .

Para medir ângulos, existem instrumentos de medição especiais, sendo o mais famoso deles o transferidor.

Se a designação do ângulo (por exemplo,) e sua medida de grau (seja 110) forem conhecidas, use uma notação curta da forma e diga: "O ângulo AOB é cento e dez graus."

Das definições do ângulo e da medida de grau do ângulo, segue-se que em geometria a medida do ângulo em graus é expressa por um número real do intervalo (0, 180] (em trigonometria, ângulos com uma medida de grau arbitrária são considerados, eles são chamados). Um ângulo de noventa graus tem um nome especial, é chamado ângulo certo. Um ângulo menor que 90 graus é chamado ângulo agudo. Um ângulo maior que noventa graus é chamado ângulo obtuso. Assim, a medida de um ângulo agudo em graus é expressa por um número do intervalo (0, 90), a medida de um ângulo obtuso - por um número do intervalo (90, 180), um ângulo reto é igual a noventa graus. Damos ilustrações de um ângulo agudo, um ângulo obtuso e ângulo certo.

Segue-se do princípio de medir ângulos que as medidas de grau de ângulos iguais são as mesmas, a medida de grau de um ângulo maior é maior que a medida de grau de um menor, e a medida de grau de um ângulo que consiste em vários ângulos é igual à soma das medidas em graus dos ângulos componentes. A figura abaixo mostra o ângulo AOB, que é formado pelos ângulos AOC, COD e DOB, enquanto .

Por isso, a soma dos ângulos adjacentes é cento e oitenta graus, pois formam um ângulo reto.

Segue-se desta afirmação que . De fato, se os ângulos AOB e COD são verticais, então os ângulos AOB e BOC são adjacentes e os ângulos COD e BOC também são adjacentes, portanto, as igualdades e são válidas, das quais a igualdade segue.

Junto com o grau, uma unidade conveniente para medir ângulos é chamada radiano. A medida em radianos é amplamente utilizada em trigonometria. Vamos definir um radiano.

Definição.

Um ângulo radiano- Esse canto central, que corresponde ao comprimento do arco, igual ao comprimento do raio do círculo correspondente.

Vamos dar uma ilustração gráfica de um ângulo de um radiano. No desenho, o comprimento do raio OA (assim como o raio OB ) é igual ao comprimento do arco AB , portanto, por definição, o ângulo AOB é igual a um radiano.

A abreviação "rad" é ​​usada para denotar radianos. Por exemplo, escrever 5 rad significa 5 radianos. No entanto, por escrito, a designação "rad" é ​​frequentemente omitida. Por exemplo, quando está escrito que o ângulo é igual a pi, significa pi rad.

Deve-se notar separadamente que o valor do ângulo, expresso em radianos, não depende do comprimento do raio do círculo. Isso se deve ao fato de que as figuras limitadas por um determinado ângulo e um arco de círculo centrado no vértice de um determinado ângulo são semelhantes entre si.

A medição de ângulos em radianos pode ser feita da mesma forma que a medição de ângulos em graus: descubra quantas vezes um ângulo de um radiano (e suas partes) cabe em um determinado ângulo. E você pode calcular o comprimento do arco do ângulo central correspondente e depois dividi-lo pelo comprimento do raio.

Para as necessidades da prática, é útil saber como as medidas de graus e radianos se relacionam entre si, já que uma boa parte deve ser realizada. Neste artigo, é estabelecida uma relação entre o grau e a medida em radianos de um ângulo, e são dados exemplos de conversão de graus para radianos e vice-versa.

Designação de cantos no desenho.

Nos desenhos, por conveniência e clareza, os cantos podem ser marcados com arcos, que geralmente são desenhados na região interna do canto de um lado ao outro do canto. Ângulos iguais são marcados com o mesmo número de arcos, ângulos desiguais com um número diferente de arcos. Os ângulos retos no desenho são indicados por um símbolo da forma "", que é representado na região interna do ângulo reto de um lado do canto ao outro.

Se no desenho você precisar marcar muitos ângulos diferentes (geralmente mais de três), ao designar ângulos, além dos arcos comuns, é permitido usar arcos de alguns tipo especial. Por exemplo, você pode representar arcos irregulares ou algo semelhante.

Deve-se notar que você não deve se deixar levar pela designação dos ângulos nos desenhos e não bagunçar os desenhos. Recomendamos marcar apenas os ângulos necessários no processo de resolução ou prova.

Bibliografia.

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• Pogorelov A.V., Geometria. Livro didático para as séries 7-11 de instituições educacionais.

Muitas vezes ouço a pergunta "Como obter um símbolo de escala no Word?" As respostas são uma mais inteligente que a outra! A maneira mais fácil é pressionar a tecla Alt e, sem soltá-la, digitar no teclado numérico lateral o número 10003. Você também pode digitar o número 2713 e depois pressionar Alt X. É que esses dois números são iguais entre si: 10003 ( decimal) = 2713 ( hexadecimais).

Quando você trabalha muito nos programas Word e Excel, começa a entender que jogar o teclado, pegar o mouse e depois voltar para a "clave" é inconveniente, pouco ergonômico, não ... - continue por você. Provavelmente projetado para isso. diferentes combinações botões, teclas de atalho, etc. A esse respeito, gosto muito da tecla de função F4, pressionando que repete qualquer ação que acabou de ser executada. Por exemplo, você precisa de 8 palavras em lugares diferentes do texto para ficar em negrito. Você pode fazer a primeira palavra "negrito" clicando na letra "e" no menu ou pressionando simultaneamente duas teclas Ctrl e b (letra russa e). Em outras palavras, basta mão direita clique em qualquer lugar na palavra desejada com o mouse e pressione a tecla F4 com a mão esquerda. "E então Sam de novo."

Muitos estremecem com a palavra "macro", mas enquanto isso não há nada de terrível ou perigoso neles. Em geral, as macros são muito coisa útil! Criar uma macro no Word é tão fácil quanto descascar peras. Digamos que você frequentemente precise inserir o nome de uma organização ao digitar: LLC "Chifres e Cascos". Ou imprima no final do documento: Artista - Vasya Pupkin. Vamos considerar como digitar o primeiro texto com apenas dois toques de tecla e o segundo - com um clique no botão com qualquer imagem criada na barra de ferramentas de acesso rápido.

Então, vamos tentar: abra o Word e selecione "Service-Macros" ou "View-Macros" (dependendo se é 2003 ou 2007) e clique em "Gravar macro ...". Na janela que aparece, você pode criar um nome para a macro e fazer sua descrição, mas pode deixar o nome padrão "Macro1" e não descrever nada - como quiser. Mas você deve clicar no ícone com a imagem de um teclado ou martelo. No primeiro caso, você será solicitado a criar qualquer atalho de teclado e, no segundo, um botão no painel. Para o primeiro texto, selecione a combinação Ctrl + P (para facilitar a lembrança, pegamos a primeira letra dos chifres), depois clique em "Atribuir" e "Fechar". Ao mesmo tempo, a janela desaparece e um ícone de fita cassete aparece ao lado do cursor, o que significa que "todos os movimentos são gravados". No Word 2003, ainda aparece um pequeno painel flutuante. Pela primeira e última vez (então o computador fará isso por você), digitamos o texto necessário com o nome da empresa e paramos de gravar. No Word antigo - apenas clicando no quadrado no painel flutuante e no novo - acessando o menu "Exibir-Macros-Parar gravação". Agora e sempre (antes de reinstalar o Office ou excluir uma macro), pressionar o atalho de teclado escolhido fornecerá o que você digitou durante a gravação da macro.

Se em Estado inicial você clica no martelo, então em 2003 a janela Configurações aparecerá com um ícone de macro padrão, que você precisa pegar com o mouse, arraste-o para qualquer lugar na barra de menu superior e, em seguida, clicando no botão "Alterar selecionado objeto" e na linha "Selecione um ícone para os botões" para selecionar um smiley ou qualquer imagem que desejar. Se você clicar na linha "Alterar o ícone no botão ...", será aberto um editor gráfico simples, no qual você mesmo poderá desenhar o ícone ao seu gosto.

Em 2007, um caminho semelhante: ao selecionar um martelo, as configurações da barra de ferramentas de acesso rápido aparecem, quando necessário, selecionando uma macro na janela à esquerda e clicando no botão "Adicionar". Depois disso, o ícone de macro padrão com seu nome será adicionado à janela certa, onde você poderá selecioná-lo novamente e clicar no botão "Editar". A escolha de imagens será maior do que no antigo Word, mas a capacidade de desenhar seu próprio ícone foi removida e você só pode colocá-lo no painel de acesso rápido.

Outras ações são as mesmas de 2003: digitar o texto desejado e interromper a gravação. Essas macros podem ser feitas quantas você quiser, como resultado, você poderá obter o texto desejado ou qualquer sequência de operações com um clique no seu ícone (que, lembre-se, nenhum de seus colegas tem!)

Como e o que deve ser digitado no teclado para obter a imagem de um coração em um documento de texto? A maneira mais fácil é pressionar a tecla Alt e, sem soltá-la, pressionar o número 3 no lado direito do teclado. Outra maneira é digitar o número 2665 e pressionar Alt+x. Além disso, para obter corações, você pode discar os números 2765, 2764 ou 2661. Uma das letras do alfabeto georgiano ღ é muito semelhante a um coração, que você pode obter digitando o código 10E5 (E - latim) e pressionando Alt + x.

Em geral, para obter qualquer caractere, basta digitá-lo código ASCII e pressione Alt+x. Por exemplo, para imprimir o cifrão "$", é mais fácil e rápido digitar o número 24 sem mudar para a fonte em inglês e, em seguida, pressionar Alt+x. Você pode obter rapidamente o sinal da soma "∑" (código - 2211), o símbolo do ângulo "∠" (código - 2220), igualdade aproximada« ≈ » (código - 2248), várias setas, etc. É por isso que às vezes, em vez da palavra "cachorro", eles dizem "quarenta alt x" que significa @.

Aqui está uma tabela de códigos para alguns caracteres:

Dois raios que emanam do mesmo ponto limitam a parte do plano que está localizada entre os raios. A forma resultante é chamada de ângulo. Raios com um vértice comum no ponto de origem dos raios são chamados de lados do ângulo. O vértice do canto está localizado no ponto de origem dos raios.

Canto - uma parte do plano limitada por dois raios que emanam de um ponto.

Canto - Esta é uma figura geométrica que possui um vértice, lados e sua própria medida de grau.

O plano é dividido pelos lados do ângulo em duas partes. O menor dos ângulos é chamado interno, o maior - externo. Para não ser interpretações diferentes, qual dos cantos em questão, seus lados no desenho são conectados por um arco. (Ver foto)

Medida do ângulo

• ângulos iguais correspondem a medidas angulares iguais;
• um ângulo menor corresponde a uma medida angular menor;
• em um ângulo cujos lados coincidem (ângulo zero), a medida angular é zero (o mesmo vale para o ângulo entre linhas paralelas);
• cada ângulo diferente de zero tem uma certa medida angular maior que zero;
• (aditividade) a medida angular de um ângulo é igual à soma das medidas angulares dos ângulos nos quais ele é dividido por qualquer raio que passe entre seus lados (veja o axioma dos ângulos medidos).

1 revolução = 360 graus = 2π radianos = 400 graus

Considere um ângulo cujos lados são iguais ( ∠ WAB 1 ). Sua medida de grau é 0°

Se um lado do canto ( AB ) aperte e o segundo lado ( AB 1 ) gire no sentido anti-horário até que coincida com o primeiro lado (AB), então o plano de tal ângulo será ângulo total(Fig.5). Portanto, o ângulo A (denotado ∠ A ) é um ângulo completo.

Designação de ângulo

Um ângulo pode ser denotado como uma combinação do sinal do ângulo e seu vértice, por exemplo ∠ A ; (Figura 1)

Além disso, o ângulo pode ser indicado usando letras maiúsculas latinas. Por exemplo ∠ABC- este é o ângulo com o vértice B, cujos lados são os raios BA e BC (Fig. 2)

Pode haver uma designação como um ícone de ângulo indicando os lados do ângulo (por exemplo ∠ ab ). (fig.3)

Ângulo pode ser denotado por letras gregas α, β, γ e assim por diante. (fig.4) A única exceção é a letra "π". Não é usado para indicar ângulos.

Grau medida de um ângulo

Se pegarmos um ângulo completo e o dividirmos em 360 partes (ângulos), então cada parte que compõe 1/360 parte de um ângulo completo é chamada de raio de canto (indicado 1°).

Portanto, o ângulo total é 1 ° *360=360°.

Metade do ângulo completo formará um ângulo reto, que é 360°:2=180°.

Ângulo central e inscrito

Ângulo inscrito- este é o ângulo cujo vértice está no círculo e os lados o interceptam (Figura 1). O valor de tal ângulo é igual à metade da medida angular do arco de um círculo, que está encerrado entre seus lados.

Propriedades dos ângulos inscritos em um círculo:

• Ângulos inscritos baseados no mesmo arco de um círculo são iguais.
• O valor de um ângulo inscrito baseado no mesmo arco circular como o ângulo central é igual à metade do valor desse ângulo central.