Lados opostos de um paralelogramo. Paralelogramo em problemas

E novamente a questão é: um losango é um paralelogramo ou não?

Com plena direita - um paralelogramo, porque tem e (lembre-se do nosso sinal 2).

E, novamente, como um losango é um paralelogramo, então deve ter todas as propriedades de um paralelogramo. Isso significa que um losango tem ângulos opostos iguais, lados opostos são paralelos e as diagonais são divididas ao meio pelo ponto de intersecção.

Propriedades do Losango

Olha a foto:

Tal como no caso de um retângulo, estas propriedades são distintas, ou seja, para cada uma destas propriedades, podemos concluir que não temos apenas um paralelogramo, mas sim um losango.

Sinais de um losango

E preste atenção novamente: não deve haver apenas um quadrilátero com diagonais perpendiculares, mas um paralelogramo. Certificar-se:

Não, claro que não, embora suas diagonais e sejam perpendiculares, e a diagonal seja a bissetriz dos ângulos você. Mas... as diagonais não se dividem, o ponto de intersecção ao meio, portanto - NÃO é um paralelogramo e, portanto, NÃO é um losango.

Ou seja, um quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo. Vamos ver o que resulta disso.

Está claro por quê? - losango - a bissetriz do ângulo A, que é igual a. Então ele se divide (e também) em dois ângulos.

Bem, está bem claro: as diagonais do retângulo são iguais; as diagonais do losango são perpendiculares e, em geral, as diagonais do paralelogramo são divididas ao meio pelo ponto de intersecção.

NÍVEL MÉDIO

Propriedades dos quadriláteros. Paralelogramo

Propriedades do paralelogramo

Atenção! Palavras " propriedades do paralelogramo» significa que se você tiver uma tarefa Há paralelogramo, então todos os itens a seguir podem ser usados.

Teorema sobre as propriedades de um paralelogramo.

Em qualquer paralelogramo:

Vamos ver por que isso é verdade, em outras palavras VAMOS PROVAR teorema.

Então, por que 1) é verdade?

Como é um paralelogramo, então:

• como mentir transversalmente
• como deitado.

Portanto, (na base II: e - geral.)

Bem, uma vez, então - é isso! - provou.

Mas a propósito! Também provamos 2)!

Por que? Mas afinal (veja a foto), isto é, ou seja, porque.

Só mais 3).

Para fazer isso, você ainda precisa desenhar uma segunda diagonal.

E agora vemos isso - de acordo com o sinal II (o ângulo e o lado “entre” eles).

Propriedades comprovadas! Vamos passar aos sinais.

Recursos de paralelogramo

Lembre-se de que o sinal de um paralelogramo responde à pergunta “como descobrir?” Que a figura é um paralelogramo.

Nos ícones é assim:

Por que? Seria bom entender o porquê - isso é o suficiente. Mas olhe:

Bem, descobrimos porque o sinal 1 é verdadeiro.

Bem, isso é ainda mais fácil! Vamos desenhar uma diagonal novamente.

Que significa:

E também é fácil. Mas diferente!

Significa, . Uau! Mas também - unilateral interno em uma secante!

Portanto, o fato que significa isso.

E se você olhar do outro lado, então eles são internos unilaterais em uma secante! E portanto.

Viu como é ótimo?!

E novamente simplesmente:

Exatamente o mesmo, e.

Prestar atenção: se você encontrou pelo menos um sinal de paralelogramo no seu problema, então você tem exatamente paralelogramo e você pode usar todos propriedades de um paralelogramo.

Para maior clareza, observe o diagrama:

Propriedades dos quadriláteros. Retângulo.

Propriedades do retângulo:

O ponto 1) é bastante óbvio - afinal, o sinal 3() é simplesmente cumprido

E ponto 2) - muito importante. Então vamos provar isso

Então, sobre duas pernas (e - geral).

Bem, como os triângulos são iguais, então as suas hipotenusas também são iguais.

Provou isso!

E imagine, a igualdade das diagonais é uma propriedade distintiva de um retângulo entre todos os paralelogramos. Ou seja, a seguinte afirmação é verdadeira

Vamos ver por quê?

Então, (ou seja, os ângulos do paralelogramo). Mas, mais uma vez, lembre-se disso - um paralelogramo e, portanto.

Significa, . E, claro, segue-se disso que cada um deles Afinal, na quantia que deveriam dar!

Aqui provamos que se paralelogramo de repente (!) serão diagonais iguais, então isso exatamente um retângulo.

Mas! Prestar atenção! Isso é sobre paralelogramos! Nenhum um quadrilátero com diagonais iguais é um retângulo, e apenas paralelogramo!

Propriedades dos quadriláteros. Losango

E novamente a questão é: um losango é um paralelogramo ou não?

Com plena direita - um paralelogramo, porque tem e (Lembre-se do nosso sinal 2).

E, novamente, como um losango é um paralelogramo, deve ter todas as propriedades de um paralelogramo. Isso significa que um losango tem ângulos opostos iguais, lados opostos são paralelos e as diagonais são divididas ao meio pelo ponto de intersecção.

Mas também existem propriedades especiais. Nós formulamos.

Propriedades do Losango

Por que? Bem, como um losango é um paralelogramo, suas diagonais são divididas ao meio.

Por que? Sim, é por isso!

Em outras palavras, as diagonais acabaram sendo as bissetoras dos cantos do losango.

Como no caso de um retângulo, essas propriedades são distintivo, cada um deles também é sinal de um losango.

Sinais de losango.

Por que é que? E olhe

Portanto, e ambos esses triângulos são isósceles.

Para ser um losango, um quadrilátero deve primeiro “tornar-se” um paralelogramo, e depois já demonstrar o traço 1 ou o traço 2.

Propriedades dos quadriláteros. Quadrado

Ou seja, um quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo. Vamos ver o que resulta disso.

Está claro por quê? Quadrado - losango - a bissetriz do ângulo, que é igual a. Então ele se divide (e também) em dois ângulos.

Bem, está bem claro: as diagonais do retângulo são iguais; as diagonais do losango são perpendiculares e, em geral, as diagonais do paralelogramo são divididas ao meio pelo ponto de intersecção.

Por que? Bem, basta aplicar o Teorema de Pitágoras.

RESUMO E FÓRMULA BÁSICA

Propriedades do paralelogramo:

1. Os lados opostos são iguais: , .
2. Ângulos opostos são: , .
3. Os ângulos de um lado somam: , .
4. As diagonais são divididas pelo ponto de intersecção ao meio: .

Propriedades do retângulo:

1. As diagonais de um retângulo são: .
2. Retângulo é um paralelogramo (todas as propriedades de um paralelogramo são cumpridas para um retângulo).

Propriedades do losango:

1. As diagonais do losango são perpendiculares: .
2. As diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos: ; ; ; .
3. Um losango é um paralelogramo (todas as propriedades de um paralelogramo são cumpridas para um losango).

Propriedades quadradas:

Um quadrado é um losango e um retângulo ao mesmo tempo, portanto, para um quadrado, todas as propriedades de um retângulo e de um losango são cumpridas. E.

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos, ou seja, mentir em linhas paralelas

Propriedades do paralelogramo:
Teorema 22. Os lados opostos de um paralelogramo são iguais.
Prova. Desenhe uma diagonal AC em um paralelogramo ABCD. Os triângulos ACD e ACB são congruentes porque possuem um lado comum AC e dois pares de ângulos iguais. adjacente a ele: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (como ângulos cruzados com linhas paralelas AD e BC). Então AB = CD e BC = AD como os respectivos lados triângulos iguais, etc. A igualdade desses triângulos também implica a igualdade dos ângulos correspondentes dos triângulos:
Teorema 23. Os ângulos opostos de um paralelogramo são: ∠ A=∠ C e ∠ B=∠ D.
A igualdade do primeiro par vem da igualdade dos triângulos ABD e CBD, e do segundo - ABC e ACD.
Teorema 24. Cantos vizinhos de um paralelogramo, ou seja, ângulos adjacentes a um lado somam 180 graus.
Isso ocorre porque são cantos internos unilaterais.
Teorema 25. As diagonais de um paralelogramo se dividem no ponto de sua intersecção.
Prova. Considere os triângulos BOC e AOD. De acordo com a primeira propriedade, AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV e ∠ ОDA=∠ ОВС estão cruzados com as linhas paralelas AD e BC. Portanto, os triângulos BOC e AOD são iguais em lados e ângulos adjacentes a ele. Portanto, BO=OD e AO=OC, como lados correspondentes de triângulos iguais, etc.

Recursos de paralelogramo
Teorema 26. Se os lados opostos de um quadrilátero são iguais aos pares, então é um paralelogramo.
Prova. Deixe o quadrilátero ABCD ter lados AD e BC, AB e CD, respectivamente, iguais (Fig. 2). Vamos desenhar a diagonal AC. O triângulo ABC e ACD têm três lados iguais. Então os ângulos BAC e DCA são iguais e, portanto, AB é paralelo a CD. O paralelismo dos lados BC e AD decorre da igualdade dos ângulos CAD e DIA.
Teorema 27. Se os ângulos opostos de um quadrilátero são iguais aos pares, então é um paralelogramo.
Seja ∠ A=∠ C e ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, então ∠ A+∠ B=180 o e os lados AD e BC são paralelos (com base em linhas paralelas). Provamos também o paralelismo dos lados AB e CD e concluímos que ABCD é um paralelogramo por definição.
Teorema 28. Se os cantos adjacentes do quadrilátero, ou seja, ângulos adjacentes a um lado somam 180 graus, então é um paralelogramo.
Se os ângulos unilaterais internos somarem 180 graus, então as linhas serão paralelas. Isso significa que AB é um par de CD e BC é um par de AD. Um quadrilátero acaba sendo um paralelogramo por definição.
Teorema 29. Se as diagonais de um quadrilátero são divididas mutuamente no ponto de intersecção ao meio, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Prova. Se AO=OC, BO=OD, então os triângulos AOD e BOC são iguais, pois possuem ângulos iguais (verticais) no vértice O, encerrados entre pares de lados iguais. Da igualdade dos triângulos concluímos que AD e BC são iguais. Os lados AB e CD também são iguais, e o quadrilátero acaba sendo um paralelogramo de acordo com o recurso 1.
Teorema 30. Se um quadrilátero tem dois lados iguais e paralelos, então é um paralelogramo.
Sejam os lados AB e CD paralelos e iguais no quadrilátero ABCD. Desenhe as diagonais AC e BD. Do paralelismo dessas linhas segue a igualdade dos ângulos cruzados ABO=CDO e BAO=OCD. Os triângulos ABO e CDO são iguais em ângulos laterais e adjacentes. Portanto, AO=OC, BO=OD, ou seja, as diagonais do ponto de intersecção são divididas ao meio e o quadrilátero acaba sendo um paralelogramo de acordo com o recurso 4.

Na geometria, são considerados casos especiais de paralelogramo.

Prova

Vamos desenhar primeiro a diagonal AC. Dois triângulos são obtidos: ABC e ADC.

Como ABCD é um paralelogramo, o seguinte é verdadeiro:

ANÚNCIO || BC \Rightarrow \ângulo 1 = \ângulo 2 como mentir.

AB || CD \Rightarrow \ângulo3 = \ângulo 4 como mentir.

Portanto, \triangle ABC = \triangle ADC (pela segunda característica: e AC é comum).

E, portanto, \triangle ABC = \triangle ADC , então AB = CD e AD = BC .

Comprovado!

2. Os ângulos opostos são idênticos.

Prova

De acordo com a prova propriedades 1 Nós sabemos isso \ângulo 1 = \ângulo 2, \ângulo 3 = \ângulo 4. Então a soma dos ângulos opostos é: \ângulo 1 + \ângulo 3 = \ângulo 2 + \ângulo 4. Considerando que \triangle ABC = \triangle ADC obtemos \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Comprovado!

3. As diagonais são divididas ao meio pelo ponto de intersecção.

Prova

Vamos desenhar outra diagonal.

Por propriedade 1 sabemos que os lados opostos são idênticos: AB = CD . Mais uma vez notamos os ângulos iguais cruzados.

Assim, pode-se observar que \triangle AOB = \triangle COD pelo segundo sinal de igualdade dos triângulos (dois ângulos e um lado entre eles). Ou seja, BO = OD (oposto a \angle 2 e \angle 1 ) e AO = OC (oposto a \angle 3 e \angle 4 respectivamente).

Comprovado!

Recursos de paralelogramo

Se apenas um sinal estiver presente no seu problema, então a figura é um paralelogramo e você pode usar todas as propriedades desta figura.

Para melhor memorização, observe que o sinal do paralelogramo responderá à seguinte questão - "como descobrir?". Ou seja, como descobrir que uma determinada figura é um paralelogramo.

1. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos dois lados são iguais e paralelos.

AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD é um paralelogramo.

Prova

Vamos considerar com mais detalhes. Por que AD || AC?

\triângulo ABC = \triângulo ADC por propriedade 1: AB = CD , AC é comum e \angle 1 = \angle 2 transversalmente com AB e CD paralelos e secantes AC .

Mas se \triangle ABC = \triangle ADC , então \angle 3 = \angle 4 (eles ficam opostos a AB e CD respectivamente). E, portanto, AD || BC (\angle 3 e \angle 4 - transversalmente também são iguais).

O primeiro sinal está correto.

2. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são iguais.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD é um paralelogramo.

Prova

Vamos considerar esse recurso. Vamos desenhar a diagonal AC novamente.

Por propriedade 1\triângulo ABC = \triângulo ACD .

Segue que: \ângulo 1 = \ângulo 2 \Rightarrow AD || AC E \ângulo 3 = \ângulo 4 \Rightarrow AB || CD, ou seja, ABCD é um paralelogramo.

O segundo sinal está correto.

3. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos ângulos opostos são iguais.

\ângulo A = \ângulo C , \ângulo B = \ângulo D \Rightarrow ABCD- paralelogramo.

Prova

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(porque ABCD é um quadrilátero e \angle A = \angle C , \angle B = \angle D por convenção).

Então \alpha + \beta = 180^(\circ) . Mas \alpha e \beta são unilaterais internos na secante AB .

E o fato de \alpha + \beta = 180^(\circ) também significa que AD || AC.

Ao mesmo tempo, \alpha e \beta são unilaterais internos com uma secante AD . E isso significa AB || CD.

O terceiro sinal está correto.

4. Um paralelogramo é um quadrilátero cujas diagonais são divididas ao meio pelo ponto de intersecção.

AO=OC; BO = OD \ Paralelogramo Rightarrow.

Prova

BO=OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 como vertical \Rightarrow \triângulo AOB = \triângulo COD, \Rightarrow \ângulo 3 = \ângulo 4 e \Rightarrow AB || CD.

Da mesma forma BO = OD; AO=OC, \ângulo 5 = \ângulo 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \ângulo 8 e \Rightarrow AD || AC.

O quarto sinal está correto.

Assim como na geometria euclidiana, o ponto e a reta são os principais elementos da teoria dos planos, o paralelogramo é uma das figuras-chave dos quadriláteros convexos. Dele, como os fios de uma bola, fluem os conceitos de “retângulo”, “quadrado”, “losango” e outras grandezas geométricas.

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Definição de um paralelogramo

quadrilátero convexo, consistindo em segmentos, cada par dos quais é paralelo, é conhecido em geometria como paralelogramo.

A aparência de um paralelogramo clássico é um quadrilátero ABCD. Os lados são chamados de bases (AB, BC, CD e AD), a perpendicular traçada de qualquer vértice ao lado oposto deste vértice é chamada de altura (BE e BF), as retas AC e BD são as diagonais.

Atenção! Quadrado, losango e retângulo são casos especiais de paralelogramo.

Lados e ângulos: recursos de proporção

As principais propriedades, em geral, predeterminado pela própria designação, eles são provados pelo teorema. Essas características são as seguintes:

1. Os lados opostos são idênticos aos pares.
2. Ângulos opostos entre si são iguais aos pares.

Prova: considere ∆ABC e ∆ADC, que são obtidos dividindo o quadrilátero ABCD pela reta AC. ∠BCA=∠CAD e ∠BAC=∠ACD, já que AC é comum a eles (ângulos verticais para BC||AD e AB||CD, respectivamente). Segue-se disso: ∆ABC = ∆ADC (o segundo critério para a igualdade dos triângulos).

Os segmentos AB e BC em ∆ABC correspondem aos pares às linhas CD e AD em ∆ADC, o que significa que são idênticos: AB = CD, BC = AD. Assim, ∠B corresponde a ∠D e eles são iguais. Como ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, que também são idênticos em pares, então ∠A = ∠C. A propriedade foi comprovada.

Características das diagonais da figura

Característica principal essas linhas de paralelogramo: o ponto de intersecção as divide ao meio.

Prova: seja M.E o ponto de intersecção das diagonais AC e BD da figura ABCD. Eles formam dois triângulos proporcionais - ∆ABE e ∆CDE.

AB = CD, pois são opostos. De acordo com retas e secantes, ∠ABE = ∠CDE e ∠BAE = ∠DCE.

De acordo com o segundo sinal de igualdade, ∆ABE = ∆CDE. Isso significa que os elementos ∆ABE e ∆CDE são: AE = CE, BE = DE e, além disso, são partes comensuráveis ​​de AC e BD. A propriedade foi comprovada.

Características de cantos adjacentes

Nos lados adjacentes, a soma dos ângulos é 180°, uma vez que estão do mesmo lado das retas paralelas e da secante. Para quadrilátero ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propriedades da bissetriz:

1. , caídos para um lado, são perpendiculares;
2. vértices opostos têm bissetoras paralelas;
3. o triângulo obtido desenhando a bissetriz será isósceles.

Determinando os traços característicos de um paralelogramo pelo teorema

As características desta figura decorrem de seu teorema principal, que é o seguinte: quadrilátero é considerado um paralelogramo caso suas diagonais se cruzem e este ponto as divida em segmentos iguais.

Prova: Deixemos que as linhas AC e BD do quadrilátero ABCD se cruzem em t. E. Como ∠AED = ∠BEC, e AE+CE=AC BE+DE=BD, então ∆AED = ∆BEC (pelo primeiro sinal de igualdade dos triângulos). Ou seja, ∠EAD = ∠ECB. Eles também são os ângulos de cruzamento internos da secante AC para as linhas AD e BC. Assim, por definição de paralelismo - AD || AC. Uma propriedade semelhante das linhas BC e CD também é derivada. O teorema foi provado.

Calculando a área de uma figura

A área desta figura encontrado de várias maneiras um dos mais simples: multiplicar a altura e a base sobre a qual é desenhado.

Prova: Desenhe perpendiculares BE e CF a partir dos vértices B e C. ∆ABE e ∆DCF são iguais, pois AB = CD e BE = CF. ABCD é igual ao retângulo EBCF, pois também são compostos por figuras proporcionais: S ABE e S EBCD, além de S DCF e S EBCD. Segue-se disso que a área deste figura geométrica está localizado da mesma forma que um retângulo:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Para determinar a fórmula geral da área de um paralelogramo, denotamos a altura como hb, e o lado b. Respectivamente:

Outras maneiras de encontrar a área

Cálculos de área pelos lados do paralelogramo e pelo ângulo, que eles formam, é o segundo método conhecido.

,

Spr-ma - área;

a e b são seus lados

α - ângulo entre os segmentos a e b.

Este método é praticamente baseado no primeiro, mas caso seja desconhecido. sempre corta triângulo retângulo, cujos parâmetros são identidades trigonométricas, aquilo é . Transformando a proporção, obtemos . Na equação do primeiro método, substituímos a altura por este produto e obtemos uma prova da validade desta fórmula.

Através das diagonais de um paralelogramo e de um ângulo, que eles criam quando se cruzam, você também pode encontrar a área.

Prova: AC e BD se cruzando formam quatro triângulos: ABE, BEC, CDE e AED. A soma deles é igual à área deste quadrilátero.

A área de cada um desses ∆ pode ser encontrada na expressão , onde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Desde então, um único valor do seno é usado nos cálculos. Aquilo é . Como AE+CE=AC= d 1 e BE+DE=BD= d 2 , a fórmula da área se reduz a:

.

Aplicação em álgebra vetorial

As características das partes constituintes deste quadrilátero encontraram aplicação na álgebra vetorial, a saber: a adição de dois vetores. A regra do paralelogramo afirma que se dados vetoresENãosão colineares, então sua soma será igual à diagonal desta figura, cujas bases correspondem a esses vetores.

Prova: de um começo escolhido arbitrariamente - isto é, aproximadamente. - construímos vetores e . A seguir construímos um paralelogramo OASV, onde os segmentos OA e OB são lados. Assim, o sistema operacional está no vetor ou soma.

Fórmulas para calcular os parâmetros de um paralelogramo

As identidades são fornecidas nas seguintes condições:

1. a e b, α - lados e o ângulo entre eles;
2. d 1 e d 2 , γ - diagonais e no ponto de sua intersecção;
3. ha e h b - alturas rebaixadas para os lados a e b;

Parâmetro	Fórmula
Encontrando lados
ao longo das diagonais e o cosseno do ângulo entre elas
diagonalmente e lateralmente
através da altura e do vértice oposto
Encontrando o comprimento das diagonais
nas laterais e o tamanho do topo entre eles
ao longo dos lados e uma das diagonais	 Conclusão O paralelogramo, como uma das figuras-chave da geometria, é utilizado na vida, por exemplo, na construção, no cálculo da área do local ou em outras medidas. Portanto, o conhecimento sobre as características e métodos distintivos de cálculo de seus diversos parâmetros pode ser útil em qualquer momento da vida.