Como encontrar a área de um triângulo retângulo. Como encontrar a área de um triângulo retângulo de uma forma incomum

Um triângulo retângulo é encontrado na realidade em quase todos os cantos. O conhecimento das propriedades desta figura, bem como a capacidade de calcular a sua área, ser-lhe-ão sem dúvida úteis não só na resolução de problemas de geometria, mas também em situações da vida.

geometria do triângulo

Na geometria elementar, um triângulo retângulo é uma figura que consiste em três segmentos conectados formando três ângulos (dois agudos e um reto). Um triângulo retângulo é uma figura original, caracterizada por uma série de propriedades importantes que constituem a base da trigonometria. Ao contrário de um triângulo comum, os lados de uma figura retangular têm seus próprios nomes:

• A hipotenusa é o lado mais longo de um triângulo oposto ao ângulo reto.
• Pernas - segmentos que formam um ângulo reto. Dependendo do ângulo considerado, a perna pode ser adjacente a ele (formando este ângulo com a hipotenusa) ou oposta (oposta ao ângulo). Não há pernas para triângulos não retangulares.

É a proporção entre os catetos e a hipotenusa que forma a base da trigonometria: senos, tangentes e secantes são definidos como a proporção dos lados triângulo retângulo.

Triângulo retângulo na realidade

Este número é amplamente utilizado na realidade. Os triângulos são utilizados em design e tecnologia, por isso o cálculo da área da figura deve ser feito por engenheiros, arquitetos e designers. As bases dos tetraedros ou prismas têm o formato de um triângulo - figuras tridimensionais fáceis de encontrar no dia a dia. Além disso, um quadrado é a representação mais simples de um triângulo retângulo “plano” na realidade. O esquadro é uma ferramenta de serralharia, desenho, construção e carpintaria que é utilizada para construir cantos tanto por alunos como por engenheiros.

Área de um triângulo

A área de uma figura geométrica é uma estimativa quantitativa de quanto do plano é delimitado pelos lados de um triângulo. A área de um triângulo comum pode ser encontrada de cinco maneiras, usando a fórmula de Heron ou operando em cálculos com variáveis ​​​​como base, lado, ângulo e raio do círculo inscrito ou circunscrito. A fórmula de área mais simples é expressa como:

onde a é o lado do triângulo, h é sua altura.

A fórmula para calcular a área de um triângulo retângulo é ainda mais simples:

onde a e b são pernas.

Trabalhando com nossa calculadora online, você pode calcular a área de um triângulo usando três pares de parâmetros:

• duas pernas;
• perna e ângulo adjacente;
• perna e ângulo oposto.

Em tarefas ou situações cotidianas, você receberá diferentes combinações de variáveis, portanto esta forma de calculadora permite calcular a área de um triângulo de diversas maneiras. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos da vida real

Azulejo de cerâmica

Digamos que você queira revestir as paredes da cozinha com ladrilhos cerâmicos, que têm o formato de um triângulo retângulo. Para determinar o consumo de ladrilhos, é necessário conhecer a área de um elemento do revestimento e a área total da superfície a ser tratada. Suponha que você precise processar 7 metros quadrados. O comprimento das pernas de um elemento é de 19 cm cada, então a área do ladrilho será igual a:

Isso significa que a área de um elemento é de 24,5 centímetros quadrados ou 0,01805 metros quadrados. Conhecendo esses parâmetros, você pode calcular que para terminar 7 metros quadrados de parede serão necessários 7/0,01805 = 387 ladrilhos de revestimento.

tarefa escolar

Suponha que em um problema de geometria escolar seja necessário encontrar a área de um triângulo retângulo, sabendo apenas que o lado de uma perna mede 5 cm e o valor do ângulo oposto é 30 graus. Nossa calculadora online é acompanhada por uma ilustração que mostra os lados e ângulos de um triângulo retângulo. Se o lado a = 5 cm, então seu ângulo oposto é o ângulo alfa, igual a 30 graus. Insira esses dados no formulário da calculadora e obtenha o resultado:

Assim, a calculadora não apenas calcula a área de um determinado triângulo, mas também determina o comprimento da perna adjacente e da hipotenusa, bem como o valor do segundo ângulo.

Conclusão

Triângulos retangulares são encontrados em nossas vidas literalmente em todos os cantos. Determinar a área de tais figuras será útil para você não apenas ao resolver atribuições escolares geometria, mas também todos os dias e atividade profissional.

Um triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos mede 90°. Sua área pode ser encontrada se forem conhecidas duas pernas. Você pode, é claro, ir longo caminho- encontre a hipotenusa e calcule a área a partir de , mas na maioria dos casos isso levará apenas mais tempo. É por isso que a fórmula para a área de um triângulo retângulo é assim:

A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos.

Um exemplo de cálculo da área de um triângulo retângulo.
Dado um triângulo retângulo com pernas a= 8 cm, b= 6 cm.
Calculamos a área:
A área é: 24 cm 2

Também em um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras é aplicado. - a soma dos quadrados dos dois catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
A fórmula para a área de um triângulo retângulo isósceles é calculada da mesma forma que para um triângulo retângulo regular.

Um exemplo de cálculo da área de um triângulo retângulo isósceles:
Dado um triângulo com pernas a= 4 centímetros, b\u003d 4 cm Calcule a área:
Calculamos a área: = 8 cm 2

A fórmula para a área de um triângulo retângulo em relação à hipotenusa pode ser usada se uma perna for dada na condição. A partir do teorema de Pitágoras encontramos o comprimento da perna desconhecida. Por exemplo, dada a hipotenusa c e perna a, perna b será igual a:
A seguir, calculamos a área usando a fórmula usual. Um exemplo de cálculo da fórmula da área de um triângulo retângulo usando a hipotenusa é idêntico ao descrito acima.

Considerar tarefa interessante, o que ajudará a consolidar o conhecimento das fórmulas de resolução de um triângulo.
Tarefa: A área de um triângulo retângulo é 180 metros quadrados. veja, encontre a perna menor do triângulo se for 31 cm menor que a segunda.
Solução: denota as pernas a E b. Agora vamos substituir os dados na fórmula da área: também sabemos que uma perna é menor que a outra a – b= 31 centímetros
Da primeira condição obtemos que
Substituto esta condição na segunda equação:

Como encontramos os lados, removemos o sinal de menos.
Acontece que a perna a= 40 cm, e b= 9 cm.

Na geometria elementar, um triângulo retângulo é uma figura composta por três segmentos conectados em pontos, dois dos quais são agudos e um é reto (ou seja, igual a 90°). Triângulo retânguloé caracterizado por uma série de propriedades importantes, muitas das quais constituem a base da trigonometria (por exemplo, a relação entre seus lados e ângulos). Desde a escola, todos nós sabemos calcular área de um triângulo retângulo, e em Vida cotidiana encontramos com frequência essa figura geométrica, às vezes sem perceber. Ele encontra uma aplicação bastante ampla em tecnologia e, portanto, uma tarefa que muitas vezes precisa ser resolvida por engenheiros, designers e arquitetos.

Os arquitetos precisam determinar esse valor quando projetam edifícios com empenas, que são o acabamento das fachadas e possuem forma triangular delimitado por cornija e nas laterais por encostas de telhado. Muitas vezes o ângulo entre as encostas é reto e, nesses casos, o frontão tem a forma de um triângulo retângulo. É necessário determinar sua área pela simples razão de que é necessário saber exatamente a quantidade material de construção necessário para seu arranjo. Deve-se notar que as empenas são elementos indispensáveis ​​​​em edifícios baixos ( Casas de campo, chalés, dachas).

Encontrando a área de um triângulo retângulo

A fórmula para calcular a área de um triângulo retângulo

a- perna

b- perna

S- área de um triângulo retângulo

forma triângulo retângulo tem muitas peças das quais é feito mobília moderna. Como sabem, para fazer o aproveitamento mais racional da área das instalações, todos os elementos da situação devem ser colocados de forma óptima. É útil usar áreas como cantos com a ajuda de mesas triangulares, cujos topos na maioria dos casos são triângulos retangulares com pernas adjacentes às paredes. Ao projetar e calcular esses elementos, os projetistas de produção de móveis utilizam uma fórmula segundo a qual encontrando a área de um triângulo retângulo com base no comprimento de seus lados. Além disso, muitas vezes têm que desenvolver projetos de mesas fixadas diretamente nas paredes, que incluem elementos de suporte, que também são triângulos retângulos.

Os construtores envolvidos em obras de fachada, muitas vezes em suas atividades profissionais têm que utilizar telhas de cerâmica, tendo a forma de um triângulo retângulo com pernas de comprimentos iguais ou diferentes. Eles também devem determinar a área desses elementos para descobrir o número necessário deles.

forma triângulo retângulo Ele também possui uma ferramenta de medição tão importante e necessária como um quadrado. Com sua ajuda, ângulos retos são construídos e controlados, e é amplamente utilizado por muitos: desde crianças em idade escolar em aulas de geometria até designers de tecnologia ultramoderna.

A área de um triângulo retângulo pode ser encontrada de várias maneiras. Um ângulo reto como parte de qualquer figura adiciona propriedades a ela e isso pode ser usado para resolver problemas de maneira correta e rápida.

Triângulo retângulo

Primeiro, vamos discutir o próprio triângulo retângulo, suas características e propriedades. Um triângulo retângulo é um triângulo que contém um ângulo.

Um triângulo retângulo não pode ser obtuso, porque então a soma dos ângulos do triângulo ultrapassaria 180 graus, o que é impossível.

Em um triângulo retângulo, duas das três alturas coincidem com os lados - as pernas. Pela mesma razão, o ponto de intersecção das alturas de um triângulo retângulo coincide com o vértice em ângulo reto.

Arroz. 1. Todas as alturas de um triângulo retângulo.

O mesmo ponto será o centro do círculo circunscrito.

Área de um triângulo

A área de um triângulo geralmente é encontrada usando a fórmula padrão, como metade do produto da base e a altura desenhada para esta base.

$$S=(1\sobre2)*a*h$$

Você pode encontrar a área como metade do produto dos lados e o seno do ângulo entre eles:

$$S=(1\sobre2)*a*b*sin(g)$$

Existem fórmulas complicadas para encontrar a área, mas raramente são usadas.

Área de um triângulo retângulo

A área de um triângulo retângulo é encontrada usando as mesmas fórmulas, mas em alguns casos essas fórmulas podem ser simplificadas.

Por exemplo, você pode usar o fato de que as alturas de um triângulo retângulo coincidem com as pernas. A fórmula padrão então se torna:

$S=(1\over2)*a*b$, onde aeb são os catetos de um triângulo retângulo.

Esta é uma das fórmulas mais simples para a área de um triângulo retângulo. Vamos tentar transformar a segunda fórmula.

$$S=(1\sobre2)*a*b*sin(g)$$

Se lembrarmos que o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. No nosso caso, o cateto oposto é denotado pela letra f, porque a é um cateto adjacente, e um ângulo agudo só pode ser feito entre o cateto e a hipotenusa. Então b é a hipotenusa.

$S=(1\over2)*a*b*sin(g)= (1\over2)*a*b*(f\over(b))=(1\over2)a*f$ - tudo é o mesma mesma fórmula.

Arroz. 2. Chegando à conclusão.

Isso significa que concluímos corretamente a primeira conclusão e um triângulo retângulo tem apenas uma fórmula especial para encontrar a área. Se não couber, você pode usar as fórmulas gerais. Estes são os dois maneiras possíveis cálculo de área.

Por exemplo, se a hipotenusa é conhecida pela condição do problema, você pode tentar encontrar a altura que cai sobre a hipotenusa e determinar a área usando a fórmula geral. Pelo mesmo princípio, você pode encontrar a área através do seno, se a hipotenusa e a perna forem conhecidas.

Arroz. 3. Altura traçada até a hipotenusa.

O principal a lembrar é que qualquer problema sempre tem 3 soluções e resolva cada uma da maneira mais conveniente.

O que aprendemos?

Conversamos sobre triângulos retângulos e derivamos a fórmula para a área de um triângulo retângulo em termos de catetos. Discutimos as fórmulas gerais para a área dos triângulos e dissemos que cada uma dessas fórmulas é adequada para resolver um triângulo retângulo.

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Fórmula de áreaé necessário determinar a área de uma figura, que é uma função de valor real definida em uma determinada classe de figuras no plano euclidiano e que satisfaz 4 condições:

1. Positivo - A área não pode ser menor que zero;
2. Normalização - um quadrado com lado unitário tem área 1;
3. Congruência – figuras congruentes possuem áreas iguais;
4. Aditividade - a área da união de 2 formas sem pontos interiores comuns é igual à soma das áreas dessas formas.