Métodos de resolução de sistemas de equações exponenciais. Resumo da lição "sistema de equações exponenciais e desigualdades"

Nesta lição, vamos considerar a solução de equações exponenciais mais complexas, relembrar as principais disposições teóricas sobre a função exponencial.

1. Definição e propriedades de uma função exponencial, uma técnica para resolver as equações exponenciais mais simples

Lembre-se da definição e das principais propriedades de uma função exponencial. É nas propriedades que se baseia a solução de todas as equações e desigualdades exponenciais.

Função exponencialé uma função da forma , onde a base é o grau e Aqui x é uma variável independente, um argumento; y - variável dependente, função.

Arroz. 1. Gráfico da função exponencial

O gráfico mostra um expoente crescente e decrescente, ilustrando a função exponencial em uma base maior que um e menor que um, mas maior que zero, respectivamente.

Ambas as curvas passam pelo ponto (0;1)

Propriedades da função exponencial:

Domínio: ;

Faixa de valores: ;

A função é monotônica, aumenta conforme , diminui conforme .

Uma função monotônica leva cada um de seus valores com um único valor do argumento.

Quando o argumento aumenta de menos para mais infinito, a função aumenta de zero, inclusive, para mais infinito. Pelo contrário, quando o argumento aumenta de menos para mais infinito, a função diminui de infinito para zero, inclusive.

2. Solução de equações exponenciais típicas

Lembre-se de como resolver as equações exponenciais mais simples. Sua solução é baseada na monotonicidade da função exponencial. Quase todas as equações exponenciais complexas são reduzidas a tais equações.

A igualdade de expoentes com bases iguais se deve à propriedade da função exponencial, ou seja, sua monotonicidade.

Método de solução:

Equalize as bases dos graus;

Igualar expoentes.

Vamos passar para equações exponenciais mais complexas, nosso objetivo é reduzir cada uma delas às mais simples.

Vamos nos livrar da raiz do lado esquerdo e reduzir os graus para a mesma base:

Para reduzir uma equação exponencial complexa a uma simples, uma mudança de variáveis ​​é freqüentemente usada.

Vamos usar a propriedade grau:

Apresentamos um substituto. Deixe então

Multiplicamos a equação resultante por dois e transferimos todos os termos para o lado esquerdo:

A primeira raiz não satisfaz o intervalo de valores de y, nós a descartamos. Nós temos:

Vamos trazer os graus para o mesmo indicador:

Apresentamos uma substituição:

Deixe então . Com esta substituição, é óbvio que y assume valores estritamente positivos. Nós temos:

Sabemos como resolver equações quadráticas semelhantes, escrevemos a resposta:

Para garantir que as raízes sejam encontradas corretamente, você pode verificar de acordo com o teorema de Vieta, ou seja, encontrar a soma das raízes e seu produto e verificar com os coeficientes correspondentes da equação.

Nós temos:

3. Técnica de resolução de equações exponenciais homogéneas do segundo grau

Vamos estudar o seguinte tipo importante de equações exponenciais:

Equações desse tipo são chamadas homogêneas de segundo grau com relação às funções f e g. Em seu lado esquerdo há um trinômio quadrado em relação a f com parâmetro g ou um trinômio quadrado em relação a g com parâmetro f.

Método de solução:

Essa equação pode ser resolvida como quadrática, mas é mais fácil fazer o contrário. Dois casos devem ser considerados:

No primeiro caso, obtemos

No segundo caso, temos o direito de dividir pelo maior grau e obtemos:

Você deve introduzir uma mudança de variáveis ​​, obtemos uma equação quadrática para y:

Observe que as funções f e g podem ser arbitrárias, mas estamos interessados ​​no caso em que são funções exponenciais.

4. Exemplos de resolução de equações homogêneas

Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo da equação:

Como as funções exponenciais adquirem valores estritamente positivos, temos o direito de dividir imediatamente a equação por , sem considerar o caso em que:

Nós temos:

Apresentamos uma substituição: (de acordo com as propriedades da função exponencial)

Temos uma equação quadrática:

Determinamos as raízes de acordo com o teorema de Vieta:

A primeira raiz não satisfaz o intervalo de valores de y, nós a descartamos, obtemos:

Vamos usar as propriedades do grau e reduzir todos os graus a bases simples:

É fácil perceber as funções f e g:

Na fase de preparação para o teste final, os alunos do ensino médio precisam aprimorar seus conhecimentos sobre o tema "Equações exponenciais". A experiência dos últimos anos indica que tais tarefas causam certas dificuldades para os alunos. Portanto, os alunos do ensino médio, independentemente do seu nível de preparação, precisam dominar cuidadosamente a teoria, memorizar as fórmulas e entender o princípio de resolução de tais equações. Tendo aprendido a lidar com este tipo de tarefas, os graduados poderão contar com pontuações altas ao passar no exame de matemática.

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As principais definições e fórmulas são apresentadas na seção "Referencial Teórico".

Para uma melhor assimilação do material, recomendamos que você pratique as tarefas. Revise cuidadosamente os exemplos de equações exponenciais com soluções apresentadas nesta página para entender o algoritmo de cálculo. Depois disso, prossiga com as tarefas da seção "Catálogos". Você pode começar com as tarefas mais fáceis ou ir direto para a resolução de equações exponenciais complexas com várias incógnitas ou . O banco de dados de exercícios em nosso site é constantemente complementado e atualizado.

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Seções: Matemática

Lições objetivas:

Educacional: ensinar a resolver sistemas de equações exponenciais; consolidar as habilidades de resolução de equações incluídas nestes sistemas

Educacional: cultive a precisão.

Desenvolvimento: desenvolver uma cultura do discurso escrito e oral.

Equipamento: computador; projetor multimídia.

Professor. Hoje continuaremos nosso estudo do capítulo “Função Exponencial”. O tópico da lição será formulado um pouco mais tarde. Durante a aula, você preencherá as folhas de respostas que estão em suas tabelas ( cm. pedido número 1 ). As respostas serão resumidas.

Os alunos respondem às perguntas:

• O que é a função exponencial?

trabalho oral. Trabalhe nos slides 1 a 5.

• O que é uma equação exponencial?
• Quais métodos de solução você conhece?

Trabalho oral nos slides 6 a 10.

• Que propriedade de uma função exponencial é usada para resolver uma desigualdade exponencial?

Trabalho oral nos slides 11 a 15.

Exercício. Anote as respostas a essas perguntas na folha de respostas nº 1. ( cm. pedido número 1 ). (slides 16 a 31)

Eu confiro a lição de casa da seguinte maneira.

Substitua as raízes das equações pela letra correspondente e adivinhe a palavra.

Os alunos olham para a folha de respostas número 2 ( Anexo 1) . O professor demonstra o slide número 33

(Os alunos nomeiam a palavra (slide nº 34)).

• Que fenômenos procedem de acordo com as leis dessa função?

Os alunos são convidados a resolver tarefas do Exame Estadual Unificado B12 (slide 35) e anotar a solução no formulário de resposta nº 3 ( Anexo 1).

Ao verificar o dever de casa e resolver a tarefa B12, repetiremos os métodos para resolver equações exponenciais.

Os alunos chegam à conclusão de que para resolver uma equação com duas variáveis ​​é necessária outra equação.

Em seguida, o tema da aula é formulado (slide nº 37).

O sistema está escrito em cadernos (slide nº 38).

Para resolver esse sistema, repetimos o método de substituição (slide nº 39).

O método de adição é repetido durante a solução do sistema (slides 38 a 39).

Os alunos resolvem independentemente sistemas de equações nos formulários de resposta nº 4 ( Anexo 1 ), recebendo aconselhamento individual do professor.

Continue as frases.

• Hoje na aula eu fiz...
• Hoje na aula corrigi...
• Hoje na aula aprendi...
• Hoje na aula aprendi...

No final da aula, os alunos escrevem seus deveres de casa e entregam suas folhas de respostas.

Literatura

1. Todas as tarefas do grupo USE 3000 tarefas - Editora "Exame" Moscou, 2011. Editado por A.L. Semenova, I. V. Yashchenko.
2. S.A. Shestakov, P.I. Zakharov Unified State Examination 2010 problema de matemática C1 editado por A.L. Semenova, I. V. Editora Yashchenko Moscou "MTsNMO".
3. TutorialÁlgebra e os primórdios da análise matemática, 10ª série Yu.M. Kolyagin Moscou “Iluminismo”, 2008.

Formas de resolver sistemas de equações

Para começar, vamos relembrar brevemente quais métodos de resolução de sistemas de equações geralmente existem.

Existir quatro maneiras principais soluções de sistemas de equações:

Método de substituição: pegue qualquer uma dessas equações e expresse $y$ em termos de $x$, então $y$ é substituído na equação do sistema, de onde a variável $x.$ é encontrada. Depois disso, podemos facilmente calcule a variável $y.$

Método da adição: neste método, uma ou ambas as equações devem ser multiplicadas por números de forma que, ao somar ambas, uma das variáveis ​​“desapareça”.

Método gráfico: ambas as equações do sistema são exibidas no plano de coordenadas e o ponto de sua interseção é encontrado.

O método de introdução de novas variáveis: neste método, fazemos a substituição de algumas expressões para simplificar o sistema, e depois aplicamos um dos métodos anteriores.

Sistemas de equações exponenciais

Definição 1

Sistemas de equações que consistem em equações exponenciais são chamados de sistema de equações exponenciais.

Vamos considerar a solução de sistemas de equações exponenciais usando exemplos.

Exemplo 1

Resolver um sistema de equações

Imagem 1.

Solução.

Usaremos o primeiro método para resolver este sistema. Primeiro, vamos expressar $y$ na primeira equação em termos de $x$.

Figura 2.

Substitua $y$ na segunda equação:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Responder: $(-4,6)$.

Exemplo 2

Resolver um sistema de equações

Figura 3

Solução.

Este sistema é equivalente ao sistema

Figura 4

Aplicamos o quarto método para resolver equações. Seja $2^x=u\ (u >0)$ e $3^y=v\ (v >0)$, obtemos:

Figura 5

Resolvemos o sistema resultante pelo método da adição. Vamos somar as equações:

\ \

Então, da segunda equação, obtemos que

Voltando para a substituição, consegui novo sistema equações exponenciais:

Figura 6

Nós temos:

Figura 7

Responder: $(0,1)$.

Sistemas de desigualdades exponenciais

Definição 2

Sistemas de desigualdades que consistem em equações exponenciais são chamados de sistema de desigualdades exponenciais.

Vamos considerar a solução de sistemas de desigualdades exponenciais usando exemplos.

Exemplo 3

Resolva o sistema de inequações

Figura 8

Solução:

Este sistema de desigualdades é equivalente ao sistema

Figura 9

Para resolver a primeira desigualdade, lembre-se do seguinte teorema de equivalência para desigualdades exponenciais:

Teorema 1. A desigualdade $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, onde $a >0,a\ne 1$ é equivalente ao conjunto de dois sistemas

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