Кут. Визначення кута

У цій статті ми всебічно розберемо одну з основних геометричних фігур – кут. Почнемо з допоміжних понять та визначень, які приведуть нас до визначення кута. Після цього наведемо прийняті способи позначення кутів. Далі докладно розберемося з процесом виміру кутів. Наприкінці покажемо як можна відзначити кути на кресленні. Усю теорію ми забезпечили необхідними кресленнями та графічними ілюстраціями для кращого запам'ятовування матеріалу.

Навігація на сторінці.

Визначення кута.

Кут є однією з найважливіших фігур у геометрії. Визначення кута дається через визначення променя. У свою чергу, уявлення про промені неможливо отримати без знання таких геометричних фігур як точка, пряма і площина. Тому перед знайомством з визначенням кута рекомендуємо освіжити в пам'яті теорію з розділів і .

Отже, відштовхуватимемося від понять точки, прямої на площині та площині.

Дамо спочатку визначення променя.

Нехай нам дано деяку пряму на площині. Позначимо її літерою a. Нехай O – деяка точка прямої a . Точка O поділяє пряму a дві частини. Кожна з цих частин разом із точкою О називається променем, а точка О називається початком променя. Ще можна почути, що промінь називають напівпрямий.

Для стислості та зручності ввели такі позначення для променів: промінь позначають або малою латинською літерою (наприклад, промінь p або промінь k ), або двома великими латинськими літерами, перша з яких відповідає початку променя, а друга позначає деяку точку цього променя (наприклад, промінь ОА або промінь СD). Покажемо зображення та позначення променів на кресленні.

Тепер ми можемо дати перше визначення кута.

Визначення.

Кут– це плоска геометрична фігура (тобто цілком лежача в деякій площині), яку складають два промені, що не збігаються, із загальним початком. Кожен з променів називають стороною кута, загальний початок сторін кута називають вершиною кута.

Можливий випадок, коли сторони кута становлять пряму лінію. Такий кут має свою назву.

Визначення.

Якщо обидві сторони кута лежать на одній прямій, то такий кут називається розгорнутим.

Пропонуємо до Вашої уваги графічну ілюстрацію розгорнутого кута.

Для позначення кута використовується значок кута «». Якщо сторони кута позначені малими латинськими літерами (наприклад, одна сторона кута k , а інша h ), для позначення цього кута після значка кута записують підряд літери, відповідні сторонам, причому порядок запису значення не має (тобто, або ). Якщо сторони кута позначені двома великими латинськими літерами (наприклад, одна сторона кута OA , а друга сторона кута OB ), то кут позначають так: після значка кута записують три літери, що беруть участь у позначенні сторін кута, причому літера, що відповідає вершині кута, розташовується посередині (у разі кут буде позначений як або ). Якщо вершина кута не є вершиною ще якогось кута, то такий кут можна позначати буквою, що відповідає вершині кута (наприклад, ). Іноді можна бачити, що кути на кресленнях позначають цифрами (1, 2 і т.д.), позначають ці кути як і таке інше. Для наочності наведемо малюнок, на якому зображені та позначені кути.

Будь-який кут поділяє площину на дві частини. При цьому якщо кут не розгорнутий, то одну частину площини називають внутрішньою областю кута, а іншу – зовнішньою областю кута. Наступне зображення пояснює, яка частина поверхні відповідає внутрішній області кута, а яка - зовнішньої.

Будь-яку із двох частин, на які розгорнутий кут розділяє площину, можна вважати внутрішньою областю розгорнутого кута.

Визначення внутрішньої області кута призводить до другого визначення кута.

Визначення.

Кут– це геометрична фігура, яку становлять два несупадні промені із загальним початком і відповідна внутрішня область кута.

Слід зазначити, що друге визначення кута суворіше першого, оскільки містить більше умов. Проте слід відмітати перше визначення кута, також слід розглядати перше і друге визначення кута окремо. Пояснимо цей момент. Коли йдеться про вугілля як про геометричну фігуру, то під кутом розуміється фігура, складена двома променями із загальним початком. Якщо ж виникає необхідність провести будь-які дії з цим кутом (наприклад, вимір кута), то під кутом вже слід розуміти два промені із загальним початком і внутрішньою областю (інакше виникла б подвійна ситуація через наявність як внутрішньої так і зовнішньої області кута ).

Дамо ще визначення суміжних та вертикальних кутів.

Визначення.

Суміжні кути– це два кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші утворюють розгорнутий кут.

З визначення слідує, що суміжні кути доповнюють один одного до розгорнутого кута.

Визначення.

Вертикальні кути- Це два кути, у яких сторони одного кута є продовження сторін іншого.

На малюнку зображені вертикальні кути.

Очевидно, що дві прямі, що перетинаються, утворюють чотири пари суміжних кутів і дві пари вертикальних кутів.

Порівняння кутів.

У цьому пункті статті ми розберемося з визначеннями рівних і нерівних кутів, а також у разі нерівних кутів роз'яснимо, який кут вважається більшим, а меншим.

Нагадаємо, що дві геометричні фігури називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням.

Нехай нам дано два кути. Наведемо міркування, які допоможуть нам отримати відповідь на запитання: «Рівні ці два кути чи ні»?

Очевидно, що ми завжди можемо поєднати вершини двох кутів, а також одну сторону першого кута з будь-якою із сторін другого кута. Сумісний бік першого кута з тією стороною другого кута, щоб сторони кутів, що залишилися, опинилися по одну сторону від прямої, на якій лежать суміщені сторони кутів. Тоді, якщо дві інші сторони кутів поєднуються, то кути називаються рівними.

Якщо ж дві інші сторони кутів не поєднуються, то кути називаються нерівними, причому меншимвважається той кут, який становить частину іншого ( великимє той кут, що повністю містить інший кут).

Очевидно, що два розгорнуті кути рівні. Також очевидно, що розгорнутий кут більший за будь-який нерозгорнутий кут.

Вимірювання кутів.

Вимірювання кутів ґрунтується на порівнянні вимірюваного кута з кутом, взятим як одиниця виміру. Процес вимірювання кутів виглядає так: починаючи від однієї зі сторін кута, що вимірювається, його внутрішню область послідовно заповнюють одиничними кутами, щільно укладаючи їх один до іншого. При цьому запам'ятовують кількість покладених кутів, що і дає міру кута, що вимірювається.

Фактично, як одиниця виміру кутів може бути прийнятий будь-який кут. Однак існує безліч загальноприйнятих одиниць виміру кутів, що належать до різних галузей науки і техніки, вони отримали спеціальні назви.

Однією з одиниць виміру кутів є градус.

Визначення.

Один градус– це кут, що дорівнює одній сто вісімдесятій частині розгорнутого кута.

Градус позначають символом "", отже, один градус позначається як .

Таким чином, у розгорнутому куті ми можемо укласти 180 кутів за один градус. Це буде виглядати як половинка круглого пирога, що розрізає на 180 рівних шматочків. Дуже важливо: «шматочки пирога» щільно укладаються один до одного (тобто сторони кутів поєднуються), причому сторона першого кута поєднується з однією стороною розгорнутого кута, а сторона останнього одиничного кута збігається з іншою стороною розгорнутого кута.

При вимірі кутів з'ясовують, скільки разів градус (або інша одиниця виміру кутів) укладається у вугіллі до повного покриття внутрішньої області вимірюваного кута. Як ми вже переконалися, у розгорнутому куті градус укладається рівно 180 разів. Нижче наведено приклади кутів, у яких кут в один градус укладається рівно 30 разів (такий кут становить шосту частину розгорнутого кута) і 90 разів (половина розгорнутого кута).

Для вимірювання кутів, менших за один градус (або іншої одиниці вимірювання кутів) і у випадках, коли кут не вдається виміряти цілим числом градусів (взятих одиниць вимірювання), доводиться використовувати частини градуса (частини взятих одиниць вимірювання). Певні частини градуса одержали спеціальні назви. Найбільшого поширення набули, звані, хвилини й секунди.

Визначення.

Хвилина- Це одна шістдесята частина градуса.

Визначення.

Секунда- Це одна шістдесята частина хвилини.

Інакше кажучи, у хвилині міститься шістдесят секунд, а градусі – шістдесят хвилин (3600 секунд). Для позначення хвилин використовують символ «», а для позначення секунд – символ «» (не плутайте зі знаками похідної та другої похідної). Тоді при введених визначеннях та позначеннях маємо , а кут, в якому укладаються 17 градусів 3 хвилини та 59 секунд, можна позначити як .

Визначення.

Градусною мірою кутаназивається позитивне число, яке показує скільки разів градус та його частини укладаються в даному вугіллі.

Наприклад, градусний захід розгорнутого кута дорівнює ста вісімдесяти, а градусний захід кута дорівнює .

Для вимірювання кутів існують спеціальні вимірювальні прилади, найбільш відомим є транспортир.

Якщо відомо і позначення кута (наприклад, ) та його градусна міра (нехай 110), то використовують короткий запис виду і кажуть: «Кут АОВ дорівнює ста десяти градусам».

З визначень кута і градусної міри кута випливає, що в геометрії міра кута в градусах виражається дійсним числом з інтервалу (0, 180) (в тригонометрії розглядають кути з довільним градусним заходом, їх називають ) Кут дев'яносто градусів має спеціальну назву, його називають прямим кутом. Кут менший 90 градусів називається гострим кутом. Кут більший дев'яноста градусів називається тупим кутом. Отже, міра гострого кута в градусах виражається числом з інтервалу (0, 90), міра тупого кута – числом з інтервалу (90, 180), прямий кут дорівнює дев'яноста градусам. Наведемо ілюстрації гострого кута, тупого кута та прямого кута.

З принципу вимірювання кутів випливає, що градусні міри рівних кутів однакові, градусна міра більшого кута більша за градусну міру меншого, а градусна міра кута, який становлять кілька кутів, дорівнює сумі градусних заходів складових кутів. На малюнку нижче показаний кут АОВ, який становлять кути АОС, СОD і DОВ, у своїй.

Таким чином, сума суміжних кутів дорівнює ста вісімдесяти градусам, оскільки вони становлять розгорнутий кут.

З цього твердження випливає, що . Справді, якщо кути АОВ і СОD – вертикальні, то кути АОВ і ВОС - суміжні і кути СОD і ВОС також суміжні, тому, справедливі рівності і , звідки випливає рівність .

Поряд із градусом зручна одиниця виміру кутів, звана радіаном. Радіанний захід широко використовується у тригонометрії. Дамо визначення радіану.

Визначення.

Кут в один радіан– це центральний кут, якому відповідає довжина дуги, що дорівнює довжині радіуса відповідного кола.

Дамо графічну ілюстрацію кута в один радіан. На кресленні довжина радіуса OA (як і радіуса OB ) дорівнює довжині дуги AB тому, за визначенням кут AOB дорівнює одному радіану.

Для позначення радіанів використовують скорочення «рад». Наприклад, запис 5 рад означає 5 радіанів. Однак на листі позначення "рад" часто опускають. Наприклад, коли написано, що кут дорівнює пі, то мається на увазі пірад.

Варто окремо відзначити, що величина кута, виражена в радіанах, залежить від довжини радіуса кола. Це пов'язано з тим, що фігури, обмежені даним кутом і дугою кола з центром у вершині даного кута, подібні між собою.

Вимірювання кутів у радіанах можна виконувати так само, як і вимір кутів у градусах: з'ясувати, скільки разів кут в один радіан (і його частини) укладаються в даному куті. А можна вирахувати довжину дуги відповідного центрального кута, після чого розділити її на довжину радіуса.

Для потреб практики корисно знати, як співвідносяться між собою градусний і радіанний заходи, оскільки досить частину доводиться здійснювати. У зазначеній статті встановлено зв'язок між градусною та радіанною мірою кута, та наведено приклади переведення градусів у радіани та назад.

Позначення кутів на кресленні.

На кресленнях для зручності та наочності кути можна відзначати дугами, які прийнято проводити у внутрішній ділянці кута від однієї сторони кута до іншої. Рівні кути відзначають однаковою кількістю дуг, нерівні кути різною кількістю дуг. Прямі кути на кресленні позначають символом виду «», який зображують у внутрішній ділянці прямого кута від однієї сторони кута до іншої.

Якщо на кресленні доводиться відзначати багато різних кутів (зазвичай більше трьох), то при позначенні кутів, крім звичайних дуг, допустимо використання дуг якого-небудь спеціального виду. Наприклад, можна зобразити зубчасті дуги або щось подібне.

Слід зазначити, що не варто захоплюватися з позначенням кутів на кресленнях і не захаращувати малюнки. Рекомендуємо позначати лише ті кути, які необхідні у процесі розв'язання чи доказу.

Список літератури.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7-9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
• Погорєлов А.В., Геометрія. Підручник для 7-11 класів загальноосвітніх закладів.

Дуже часто чую питання "Як отримати символ галочки у Ворді?" Відповіді - одна мудріша за іншу! Найпростіше натиснути клавішу Альт і, не відпускаючи її, набрати на бічній цифровій клавіатурі число 10003. Можна також набрати число 2713 і потім натиснути Альт ікс. Просто обидва ці числа рівні між собою: 10003 (десяткове) = 2713 ( шістнадцяткове).

Коли багато працюєш у програмах Ворд та Ексель, починаєш розуміти, що кидати клавіатуру, хапатися за мишу, а потім знову переходити до "клави" - незручно, неергономічно, не... - продовжуйте самі. Напевно, для цього і придумані різні поєднаннякнопок, "гарячі" кнопки і т.п. У цьому плані мені дуже подобається функціональна клавіша F4, натискання на яку повторює будь-яку дію, яка щойно виконувалася. Наприклад, вам потрібно 8 слів у різних місцях тексту виділити напівжирним шрифтом. Перше слово ви можете зробити зробити "жирним", клацнувши по літері.жв меню або натиснувши одночасно дві клавіші Ctrl і b (російська літера і). Для решти слів достатньо правою рукоюклацнути мишею в будь-якому місці в потрібному слові, а лівою рукою натиснути клавішу F4. "І так сім разів".

Багато хто здригається при слові "макрос", а тим часом у них немає нічого страшного і небезпечного. Взагалі, макроси – це дуже корисна річ! Створити макрос у Ворді – простіше простого. Допустимо, вам часто потрібно при наборі тексту вставляти назву організації: ТОВ «Роги та Копита». Або друкувати наприкінці документа: Виконавець - Вася Пупкін. Розглянемо, як набрати перший текст натисканням всього двох клавіш, а другий одним натисканням на кнопку з будь-яким малюнком, створену на панелі швидкого доступу.

Отже, давайте спробуємо: відкриваємо Ворд і вибираємо «Сервіс-Макроси» або «Від-Макроси» (залежно від того 2003-го чи 2007-го) і тиснемо «Запис макросу…». У вікні, що з'явилося, можна придумати назву макросу і зробити його опис, але можна залишити запропоновану за замовчуванням назву «Макрос1» і нічого не описувати - кому як подобається. Але натиснути на значок із зображенням клавіатури чи молотка треба обов'язково. У першому випадку вам буде запропоновано вигадати будь-яке поєднання клавіш, а в другому - кнопку на панелі. Для першого тексту вибираємо поєднання Ctrl+P (що б легше згадати, беремо першу літеру Рогов), потім натискаємо «Призначити» та «Закрити». Вікно при цьому зникає, а поруч із курсором з'являється піктограма магнітофонної касети, це означає, що всі ходи записуються. У 2003-му Ворд при цьому ще з'являється маленька плаваюча панель. Вперше та востаннє (потім це за вас буде робити комп'ютер) набираємо потрібний текст з назвою фірми та зупиняємо запис. У старому Ворді - просто натиснувши квадратик на панелі, а в новому - зайшовши в меню «Вид-Макроси-Зупинити запис». Тепер і завжди (до переустановки Офісу або видалення макросу) натискання вибраного вами сполучення клавіш видасть вам те, що ви набрали під час запису макросу.

Якщо на початковій стадіїви натиснете на молоток, то в 2003-му з'явиться вікно Налаштування зі стандартним значком макросу, який треба, схопивши мишкою, перетягнути в будь-яке місце верхньої панелі меню, а потім, клацнувши по кнопці «Змінити виділений об'єкт» та по рядку «Вибрати значок для кнопки» вибрати смайлик або будь-який малюнок, що вам сподобався. Якщо натиснути на рядок «Змінити значок на кнопці…», то відкриється простенький графічний редактор, в якому можна самому намалювати значок на свій смак.

У 2007-му схожий шлях: при виборі молотка з'являється налаштування панелі швидкого доступу, де треба, виділивши в лівому вікні макрос і натиснути кнопку «Додати». Після цього стандартний значок макросу з вашою назвою додасться до правого вікна, де його можна знову виділити і натиснути кнопку «Змінити». Вибір малюнків буде більшим, ніж у старому Ворді, зате прибрана можливість намалювати свій значок і розміщувати його можна тільки на панелі швидкого доступу.

Подальші дії такі самі, що й у 2003-му: набір потрібного тексту та зупинка запису. Подібних макросів можна наробити скільки завгодно, в результаті ви отримаєте можливість одним клацанням по вашому значку (якого, зауважте, немає ні в кого з ваших колег!) отримувати потрібний текст або будь-яку послідовність операцій.

Як і що треба набрати на клавіатурі, щоб отримати у текстовому документі зображення серця? Найпростіше натиснути клавішу Alt та не відпускаючи її натиснути цифру 3 на правій частині клавіатури. Інший спосіб: набрати число 2665 і натиснути клавіші Alt+х. Так само для отримання сердець можна набрати числа 2765, 2764 або 2661. Дуже схожа на серце одна з букв грузинського алфавіту ღ, отримати яку можна набравши код 10Е5 (Е - латинське) і натиснувши Alt+х.

Взагалі для отримання будь-якого символу достатньо набрати його ASCII -код та натиснути Alt+х. Наприклад, щоб надрукувати знак долара «$», простіше та швидше не переходячи на англійський шрифт набрати число 24, а потім натиснути Alt+х. Можна швидко отримати знак суми «∑» (код – 2211), символ кута «∠» (код – 2220), приблизної рівності« ≈ » (код - 2248), різні стрілки тощо. Саме тому іноді замість слова «собака» кажуть «сорок альтікс» маючи на увазі @.

Ось таблиця кодів деяких символів:

Два промені, що виходять з однієї точки, обмежують собою частину площини, яка розташована між променями. Фігура, яка утворюється, називається кутом. Промені із загальною вершиною в точці початку променів називаються сторонами кута. Вершина кута розташована у точці початку променів.

Кут - Частина площини, обмежена двома променями, що виходять з однієї точки.

Кут – це геометрична фігура, що має вершину, сторони та свою градусну міру.

Площина поділяється сторонами кута на дві частини. Менший із кутів називають внутрішнім, більший – зовнішнім. Для того, щоб не було різних тлумачень, Про яке з кутів йдеться, його боку на кресленні з'єднують дугою. (Див. малюнок)

Кутова міра кута

• рівним кутам відповідає рівний кутовий захід;
• меншому кутку відповідає менший кутовий захід;
• у кута, сторони якого збігаються (нульового кута), кутова міра дорівнює нулю (те ж справедливо і для кута між паралельними прямими);
• кожен ненульовий кут має певну кутову міру, велику нуля;
• (Адитивність) кутова міра кута дорівнює сумі кутових заходів кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами (див. Аксіома вимірювання кутів).

1 оборот = 360 градусів = 2π радіан = 400 град

Розглянемо кут, сторони якого збігаються ( ∠ ВАВ 1 ). Його градусна міра дорівнює 0°

Якщо один бік кута ( АВ ) закріпити а другий бік ( АВ 1 ) обертати проти годинникової стрілки до тих пір, поки вона не співпаде з першою стороною (АВ), то площина такого кута становитиме повний кут(Рис.5). Отже, кут А (позначається ∠ А ) – це повний кут.

Позначення кутів

Кут може бути позначений як комбінація знака кута та його вершини, наприклад ∠ А ; (Рис.1)

Також кут може позначатися за допомогою латинських великих букв. Наприклад ∠ABC- це кут з вершиною B, сторони якого - це промені BA та BC. (рис.2)

Може зустрічатися позначення як значок кута із зазначенням сторін кута (наприклад ∠ аb ). (Рис.3)

Кут може позначатися грецькими літерами α, β, γ і так далі. (рис.4) Виняток становить лише буква "π". Її для позначення кутів не використовують.

Градусний захід кута

Якщо взяти повний кут і поділити його на 360 частин (кутів), то кожна частина, що становить 1/360 частина повного кута називається кутовим радіусом (позначається 1°).

Отже, повний кут дорівнює 1 ° * 360 = 360 °.

Половина повного кута становитиме розгорнутий кут, що дорівнює 360°:2=180°.

Центральний і вписаний у коло кут

Вписаний кут- це кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають її (рисунок 1). Величина такого кута дорівнює половині кутової міри дуги кола, яка укладена між його сторонами.

Властивості вписаних в коло кутів:

• Вписані кути, що спираються на ту саму дугу кола - рівні.
• Величина вписаного кута, що спирається на ту саму дугу кола, що і центральний кут, дорівнює половині величини такого центрального кута.