Análise das propriedades dinâmicas do sistema. Método de Restrição Booleana em Análise Qualitativa de Sistemas Binários Dinâmicos Modelagem de Ruído Branco

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Exercício

controle automático de frequência de nyquist

Analise as propriedades dinâmicas do sistema de controle automático fornecidas pelo diagrama de blocos mostrado na Figura 1, que inclui as seguintes etapas:

Seleção e justificação dos métodos de investigação, construção de um modelo matemático de SCA;

Parte de cálculo, incluindo modelagem matemática de ACS em um computador;

Análise da estabilidade do modelo matemático do objeto de controle e ACS;

Estudo da estabilidade do modelo matemático do objeto de controle e ACS.

Diagrama estrutural do ACS estudado, onde, as funções de transferência do objeto de controle (OC), do atuador (IM), do sensor (D) e do dispositivo corretivo (CU)

Os valores dos coeficientes K1, K2, K3, K4, T1, T2, T3 e T4 são apresentados na Tabela 1.

Variante de tarefa para trabalho final

Introdução

O projeto de automação é uma das áreas mais complexas e importantes da engenharia, portanto, o conhecimento dos fundamentos da automação, a compreensão do nível de automação em vários processos tecnológicos, as ferramentas de automação utilizadas e os fundamentos do projeto são condições necessárias trabalho bem-sucedido de engenheiros e tecnólogos. A condução normal de qualquer processo tecnológico é caracterizada por determinados valores de parâmetros, e a operação econômica e segura do equipamento é garantida pela manutenção dos parâmetros operacionais dentro dos limites exigidos. Para efeitos do funcionamento normal dos equipamentos, bem como da implementação do processo tecnológico requerido em quaisquer instalações térmicas, é necessário prever equipamentos de automação nos desenvolvimentos do projeto. Atualmente em todos os setores economia nacional, incluindo a agricultura, os sistemas de controle automático estão sendo cada vez mais usados. Isso não é surpreendente, uma vez que a automação de processos tecnológicos é caracterizada pela substituição parcial ou total do operador humano por meios técnicos especiais de controle e gerenciamento. A mecanização, a eletrificação e a automação dos processos tecnológicos proporcionam a redução da participação da mão de obra física pesada e pouco qualificada na agricultura, o que leva ao aumento de sua produtividade.

Assim, é óbvia a necessidade de automatizar os processos tecnológicos e de aprender a calcular os parâmetros dos sistemas de controlo automático (ACS) para posterior aplicação dos seus conhecimentos na prática.

EM trabalho de conclusão de curso foi realizada a análise das propriedades dinâmicas do diagrama de blocos fornecido do ACS com a compilação e análise de modelos matemáticos de objetos de controle.

1 . Análise da estabilidade do SCA segundo o critério de Nyquist

Para julgar a estabilidade do ACS, não há necessidade de determinar os valores exatos das raízes de sua equação característica. Portanto, a solução completa da equação característica do sistema é claramente redundante e pode-se restringir ao uso de um ou outro critério indireto de estabilidade. Em particular, é fácil mostrar que para a estabilidade do sistema é necessário (mas não insuficiente) que todos os coeficientes de sua equação característica tenham o mesmo sinal, ou seja suficiente que as partes reais de todas as raízes da equação característica ser negativo. Se as partes reais de todas as raízes da equação característica não forem negativas, então, para determinar a estabilidade deste ACS, é necessário estudar de acordo com outros critérios, pois se a função de transferência, de acordo com o critério acima, pertencer a um bloco instável cujo denominador tem raízes com parte real positiva, então, sob certas condições, um sistema fechado também pode ser estável neste caso.

O mais conveniente para estudar a estabilidade de muitos sistemas de controle de processo é o critério de estabilidade de Nyquist, que é formado da seguinte forma.

Um sistema estável no estado aberto permanecerá estável mesmo após ser fechado por realimentação negativa, se o hodógrafo CFC no estado aberto W(jш) não cobrir um ponto com coordenadas (-1; j0) no plano complexo .

Na formulação dada do critério de Nyquist, considera-se que o hodógrafo do CFC W(jw) “não cobre” o ponto (-1; j0) se o ângulo total de rotação do vetor desenhado do ponto especificado para o hodógrafo W(jw) é igual a zero quando a frequência muda de w=0 para w > ?.

Se o hodógrafo CFC W(jsh) em uma certa frequência chamada de frequência crítica ck passa pelo ponto (-1; j0), então o processo transiente em um sistema fechado é oscilações não amortecidas com uma frequência ck, ou seja, o sistema está no limite de estabilidade expresso como segue:

Aqui W(p) é a função de transferência de um ACS aberto. Suponhamos que o sistema aberto seja estável. Então, para a estabilidade do ACS fechado, é necessário e suficiente que o hodógrafo da característica amplitude-fase W(jw) do sistema aberto (a característica indicada é obtida de W(p) substituindo p=jw) faça não cobrir o ponto com coordenadas (-1, j0). A frequência na qual |W(jw)| = 1 é chamado de frequência de corte (w cf).

Para avaliar o quão longe o sistema está do limite de estabilidade, o conceito de margens de estabilidade é introduzido. A margem de estabilidade em amplitude (módulo) indica quantas vezes é necessário alterar o comprimento do raio-vetor do hodógrafo AFC para trazer o sistema ao limite de estabilidade sem alterar o deslocamento de fase. Para sistemas absolutamente estáveis, a margem de estabilidade módulo DK é calculada pela fórmula:

onde a frequência w 0 é determinada a partir da relação arg W(jw 0) = - 180 0 .

A margem de estabilidade de amplitude DK também é calculada pela fórmula:

DK \u003d 1 - K 180;

onde K 180 é o valor do coeficiente de transmissão em uma mudança de fase de -180°.

Por sua vez, a margem de estabilidade de fase indica o quanto é necessário aumentar o argumento AFC em valor absoluto para trazer o sistema ao limite de estabilidade sem alterar o valor do módulo.

A margem de estabilidade de fase Dj é calculada pela fórmula:

Dj \u003d 180 ° - j K \u003d 1;

onde j K=1 - o valor do deslocamento de fase no coeficiente de transmissão K = 1;

O valor Dj = 180 0 + arg W (j; w cf) determina a margem de estabilidade de fase. Segue-se do critério de Nyquist que um ACS estável no estado aberto também será estável no estado fechado se o deslocamento de fase na frequência de corte não atingir -180°. O cumprimento desta condição pode ser verificado plotando as respostas de frequência logarítmica do ACS de malha aberta.

2. Estudo da estabilidade do SCA segundo o critério de Nyquist

O estudo da estabilidade segundo o critério de Nyquist analisando o AFC com um ACS aberto. Para fazer isso, quebramos o sistema conforme mostrado no diagrama de blocos do ACS estudado:

Diagrama estrutural do SCA investigado

Abaixo estão as funções de transferência do objeto de controle (CO), atuador (IM), sensor (D) e dispositivo corretivo (CU):

Os valores dos coeficientes para a atribuição são os seguintes:

K1 =1,0; K2 = 0,2; K3 = 2; K4 = 1,0; T1 = 0,4; T2 = 0,2; T3 = 0,07; T4 = 0,4.

Vamos calcular a função de transferência após a quebra do sistema:

W (p) \u003d W ku (p) W W im (p) W W oy (p) W W d (p);

W(p) = H W H

Substituindo os coeficientes dados na função, obtemos:

Analisando esta função no programa modelagem matemática(“MATLAB”), obtemos o hodógrafo da característica amplitude-fase-frequência (APFC) de um ACS aberto no plano complexo, mostrado na figura.

O hodógrafo APFC de um ACS aberto no plano complexo.

O estudo da estabilidade do ACS no AFC

Calculamos o coeficiente de transferência para um deslocamento de fase de -180 °, K 180 \u003d 0,0395.

Margem de estabilidade de amplitude DK de acordo com a fórmula:

DK \u003d 1 - K 180 \u003d 1 - 0,0395 \u003d 0,9605; onde K 180 = 0,0395.

Vamos determinar a margem de fase Dj:

a margem de estabilidade de fase Dj é determinada pela fórmula: Dj = 180° - j K=1 ; onde j K=1 é o valor do deslocamento de fase no coeficiente de transmissão K = 1. Mas como j K=1 não é observado em nosso caso (a amplitude é sempre menor que um), o sistema em estudo é estável em qualquer valor do deslocamento de fase (o ACS é estável em toda a faixa de frequência).

Estudo da estabilidade do ACS por características logarítmicas

Característica de amplitude-frequência logarítmica de um ACS aberto

Característica de frequência de fase logarítmica de um ACS aberto

Utilizando o programa de modelagem matemática (“MATLAB”), obtemos as características logarítmicas do SCA estudado, que são apresentadas na Figura 4 (característica amplitude-frequência logarítmica) e Figura 5 (característica frequência-fase logarítmica), onde;

L(w) = 20lg|W (j; w) |).

O critério de estabilidade logarítmica do ACS é uma expressão do critério de Nyquist na forma logarítmica.

Para descobrir a partir do valor de deslocamento de fase de 180° (Figura 5) desenhamos uma linha horizontal até a interseção com o LFC, a partir desse ponto de interseção desenhamos uma linha vertical até a interseção com o LFC (Figura 4). Obtemos o valor do coeficiente de transmissão em uma mudança de fase de 180 °:

20lgK 180° = - 28,05862;

enquanto K 180 ° \u003d 0,0395 (DK "\u003d 28,05862).

A margem de estabilidade em amplitude é encontrada continuando a linha vertical até o valor 20lgK 180° = 0.

Para encontrar a margem de estabilidade de fase, uma linha horizontal é passada ao longo da linha 20lgK 180 ° \u003d 0 até cruzar com o LFC e uma linha vertical é passada desse ponto até cruzar com o LFC. Neste caso, a diferença entre o valor encontrado do deslocamento de fase e o deslocamento de fase igual a 180° será a margem de estabilidade de fase.

Dj \u003d 180 ° - j K;

DJ = 180° - 0 = 180°.

onde: j K - o valor encontrado do deslocamento de fase;

Como o LFC do ACS estudado fica abaixo da linha 20lgK 180° = 0, portanto, o ACS terá uma margem de estabilidade de fase em qualquer valor de deslocamento de fase de zero a 180°.

Conclusão: analisando o LAFC e o LPFC, conclui-se que o SCA estudado é estável em toda a faixa de frequência.

Conclusão

Neste trabalho de curso, um sistema de rastreamento de instrumentos foi sintetizado e estudado utilizando métodos e ferramentas modernas da teoria de controle. Neste trabalho de cálculo e gráfico, encontramos de acordo com um determinado esquema estrutural e expressões famosas para as funções de transferência de links dinâmicos, a função de transferência de um ACS fechado.

Bibliografia

1. I.F. Borodin, Yu.A. Sudnik. Automação de processos tecnológicos. Livro didático para escolas de ensino médio. Moscou. Kolos, 2004.

2. V.S. Gutnikov. Eletrônica integrada em dispositivos de medição. Energoatomizdat. Filial de Leningrado, 1988.

3. N.N. Ivashchenko. Regulação automática. Teoria e elementos de sistemas. Moscou. "Engenharia", 1978.

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Introdução 4

Análise a priori de sistemas dinâmicos 5

Passagem de um sinal aleatório através de um sistema linear 5

Evolução do vetor de fase do sistema 7

Evolução da matriz de covariância do vetor de fase do sistema 8

Linearização estatística 8

primeira via 9

Segunda via 10

Cálculo dos coeficientes de linearização 10

Ambigüidade em links não lineares 14

Link não linear coberto por feedback 15

Simulação de processos aleatórios 16

Filtro de modelagem 16

Modelando ruído branco 17

Estimativa de características estatísticas de sistemas dinâmicos pelo método de Monte Carlo 18

Precisão de Grau 18

Sistemas dinâmicos não estacionários 20

Sistemas dinâmicos estacionários 21

Análise a posteriori de sistemas dinâmicos 22

Filtro de Kalman 22

Padrão de movimento 22

Modelo de Medição 23

Correção 23

Previsão 23

23ª série

Usando a filtragem de Kalman em problemas não lineares 25

mínimos quadrados 27

Graus de Construção 27

Previsão 29

Usando o método dos mínimos quadrados em problemas não lineares 29

Construção da matriz de Cauchy 30

Modelagem de medição 30

Métodos numéricos 31

Funções especiais 31

Simulação de variáveis ​​aleatórias 31

Variáveis ​​aleatórias distribuídas uniformemente 31

Variáveis ​​aleatórias gaussianas 32

Vetores Aleatórios 33

Integral de Probabilidades 34

Polinômios de Chebyshev 36

Integração de equações diferenciais ordinárias 36

Métodos Runge-Kutta 36

Precisão dos resultados da integração numérica 37

Nested Dorman-Prince 5(4) ordem 37

Métodos de várias etapas 39

Métodos de Adams 39

Integração de Equações Atrasadas 40

Comparação das qualidades computacionais dos métodos 40

Problema de Arenstorf 40

Funções Elípticas de Jacobi 41

Problema de dois corpos 41

Van der Pol Equação 42

Bruxelas 42

Corda pendurada na equação de Lagrange 42

Plêiades 42

Fazendo uma nota explicativa 43

Página de rosto 43

Seção "Introdução" 44

Seção "Teoria" 44

Seção "Algoritmo" 44

Seção "Programa" 45

Seção "Resultados" 45

Seção "Conclusões" 45

Seção "Lista de fontes usadas" 45

Aplicações 45

Literatura 47

Introdução

Este manual contém orientações para a realização de trabalhos para projetos de curso e para a realização de exercícios práticos no curso "Fundamentos de Dinâmica Estatística".

O objetivo do projeto do curso e exercícios práticos é dominar a tecnologia de análise a priori e a posteriori de sistemas dinâmicos não lineares sob a influência de distúrbios aleatórios.

Análise a priori de sistemas dinâmicos

Linearização estatística

A linearização estatística permite transformar o sistema dinâmico não linear original de tal forma que para sua análise seja possível utilizar métodos, algoritmos e relacionamentos válidos para sistemas lineares.

Esta seção é dedicada à apresentação do método de linearização estatística, baseado na abordagem aproximada mais simples proposta pelo prof. ou seja Kazakov, que, no entanto, permite construir estimativas de precisão de um sistema que contém até mesmo não linearidades significativas com características descontínuas.

A linearização estatística consiste em substituir a dependência não linear inercial original entre os processos de entrada e saída por uma dependência aproximada, linear em relação ao processo aleatório de entrada centrado, que é estatisticamente equivalente em relação ao original:

Um link que tem uma relação tão aproximada entre os sinais de entrada e saída é chamado de equivalente ao link não linear considerado.

O valor é selecionado com base na condição de igualdade das expectativas matemáticas dos sinais não lineares e linearizados e é chamado de característica média estatística do link equivalente:

,

onde é a densidade de distribuição do sinal de entrada.

Para links não lineares com características ímpares, ou seja, no , é conveniente representar a característica estatística na forma:

é a expectativa matemática do sinal de entrada;
é o ganho estatístico do link equivalente em termos do componente médio.

Que. a dependência equivalente neste caso assume a forma:

A característica é chamada de ganho estatístico do link equivalente para o componente aleatório (flutuações) e é determinada de duas maneiras.

primeira via

De acordo com o primeiro método de linearização estatística, o coeficiente é selecionado com base na condição de igualdade das dispersões dos sinais originais e equivalentes. Que. para o cálculo obtemos a seguinte relação:

,

onde é a variância da ação aleatória de entrada.

O sinal na expressão for é determinado pela natureza da dependência na vizinhança do valor do argumento. Se aumentar, então , e se diminuir, então .

segunda via

O valor de acordo com o segundo método é selecionado a partir da condição de minimizar o erro médio de linearização quadrática:

A razão final para calcular o coeficiente pelo segundo método é:

.

Em conclusão, notamos que nenhum dos dois métodos de linearização considerados acima garante a igualdade das funções de correlação dos sinais de saída dos enlaces não lineares e equivalentes. Os cálculos mostram que, para a função de correlação de um sinal não linear, o primeiro método de seleção fornece uma estimativa superior e o segundo método fornece uma estimativa inferior, ou seja, erros na determinação da função de correlação do sinal de saída não linear têm sinais diferentes. prof. ou seja Kazakov, o autor do método aqui descrito, recomenda escolher como coeficiente de linearização resultante a meia-soma dos coeficientes obtidos pelo primeiro e segundo métodos.

Filtro de modelagem

Normalmente, os parâmetros são determinados igualando os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador na equação

com os mesmos graus.

Depois de determinar a função de transferência do filtro de modelagem, o esquema resultante para modelar um processo aleatório se parece com o mostrado na figura.

Por exemplo, a densidade espectral do processo a ser modelado tem a forma:

,

expectativa matemática e ruído branco com intensidade é usado para modelagem, portanto, tem densidade espectral unitária.

Obviamente, o numerador e o denominador da função de transferência desejada devem ter ordens de 1 e 2 (na verdade, sendo módulo quadrado, a função de transferência forma um quociente de polinômios do 2º e 4º graus)

Que. A função de transferência do filtro de modelagem em sua forma mais geral é a seguinte:

,

e o quadrado do seu módulo:

Vamos igualar as proporções obtidas:

Vamos tirar os colchetes e no lado direito da igualdade, igualando assim os coeficientes em zero graus:

,

de onde seguem claramente as seguintes igualdades:

; ; ; .

Que. o diagrama de blocos da formação de um processo aleatório com determinadas características estatísticas de ruído branco com densidade espectral unitária parece mostrado na figura, levando em consideração os valores calculados dos parâmetros do filtro de modelagem.

Modelagem de ruído branco

Para simular um processo aleatório com determinadas características estatísticas, o ruído branco é usado como um processo aleatório de entrada no filtro de modelagem. No entanto, a modelagem exata do ruído branco não é viável devido à variação infinita desse processo aleatório.

Por esta razão, um processo de passos aleatórios é usado como um substituto para o ruído branco atuando no sistema dinâmico. O intervalo no qual a implementação de um processo aleatório mantém seu valor inalterado (largura do passo, intervalo de correlação) é um valor constante. Os próprios valores de implementação (alturas dos degraus) são variáveis ​​aleatórias distribuídas de acordo com a lei normal com expectativa matemática zero e variância limitada. Os valores dos parâmetros do processo - intervalo de correlação e dispersão - são determinados pelas características do sistema dinâmico, que é afetado pelo ruído branco.

A ideia do método é baseada na largura de banda limitada de qualquer sistema dinâmico real. Aqueles. o ganho de um sistema dinâmico real diminui à medida que a frequência do sinal de entrada aumenta e, portanto, existe uma frequência (menor que infinita) para a qual o ganho do sistema é tão pequeno que pode ser ajustado para zero. E isso, por sua vez, significa que o sinal de entrada com uma densidade espectral constante, mas limitada por essa frequência, para tal sistema será equivalente ao ruído branco (com uma densidade espectral constante e infinita).

Os parâmetros do processo aleatório equivalente - o intervalo de correlação e a variância são calculados da seguinte forma:

onde é o limite de largura de banda determinado empiricamente do sistema dinâmico.

Precisão da estimativa

Estimativas de expectativa

e dispersão

variável aleatória construída com base no processamento de uma amostra limitada de suas implementações , , são elas próprias variáveis ​​aleatórias.

Obviamente, quanto maior o tamanho da amostra de implementações, mais precisa a estimativa imparcial, mais próxima ela está do valor verdadeiro do parâmetro estimado. Abaixo estão as fórmulas aproximadas com base na suposição de sua distribuição normal. O intervalo de confiança relativo simétrico para a estimativa correspondente à probabilidade de confiança é determinado pelo valor para o qual a relação é verdadeira:

,

Onde
é o valor verdadeiro da expectativa matemática da variável aleatória ,
é o desvio padrão da variável aleatória ,
é a integral de probabilidade.

Com base na relação acima, a quantidade pode ser determinada da seguinte forma:

,

onde é a função inversa em relação à probabilidade integral .

Como não sabemos exatamente a característica de dispersão da estimativa, usaremos seu valor aproximado calculado usando a estimativa:

Que. a relação final que liga a precisão da estimativa da expectativa matemática e o tamanho da amostra na qual a estimativa é feita se parece com isto:

.

Isso significa que o valor do intervalo de confiança (em um valor constante da probabilidade de confiança) localizado simetricamente em torno de , expresso em frações da estimativa de desvio padrão, é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra.

O intervalo de confiança para estimar a variância é definido de forma semelhante:

até o valor , que, na ausência de informações mais precisas, pode ser determinado aproximadamente a partir da relação:

Que. o valor do intervalo de confiança (a um valor constante da probabilidade de confiança ), localizado simetricamente em relação a , expresso em suas partes, é inversamente proporcional à raiz quadrada do valor , onde é o tamanho da amostra.

Fórmulas mais precisas para construir intervalos de confiança de estimativas podem ser obtidas usando informações precisas sobre a lei de distribuição de uma variável aleatória.

Por exemplo, para a lei de distribuição gaussiana, a variável aleatória

obedece a lei de distribuição de Student com um grau de liberdade, e a variável aleatória

distribuído de acordo com a lei também com um certo grau de liberdade.

filtro de Kalman

modelo de movimento

Como se sabe, o filtro de Kalman é projetado para estimar o vetor de estado de um sistema dinâmico linear, cujo modelo de evolução pode ser escrito como:

Onde
é a matriz de Cauchy, que determina a mudança no vetor de estado do sistema em seu próprio movimento (sem ações de controle e ruído) de um momento para o outro;
é o vetor de ações forçadas não aleatórias no sistema (por exemplo, ações de controle) no momento do tempo;
é a matriz de influência das ações forçantes no momento do tempo sobre o vetor de estado do sistema no momento do tempo;
é o vetor de ações centradas independentes aleatórias no sistema no momento do tempo;
é a matriz da influência de influências aleatórias no momento do tempo no vetor de estado do sistema no momento do tempo.

Modelo de medição

A estimativa é realizada com base no processamento estatístico dos resultados da medição, linearmente relacionados ao vetor de estado e distorcidos por um erro aditivo não tendencioso:

onde é uma matriz conectando os vetores de estado e de medição ao mesmo tempo.

Correção

A base do filtro de Kalman são as taxas de correção, que são o resultado da minimização do traço da matriz de covariância da densidade de distribuição posterior das estimativas lineares (ao longo do vetor de medição) do vetor de estado do sistema:

Previsão

Complementando as relações de correção com relações de previsão baseadas nas propriedades lineares do modelo de evolução do sistema:

onde é a matriz de covariância do vetor, obtemos fórmulas para o algoritmo bayesiano recorrente para estimar o vetor de estado do sistema e sua matriz de covariância com base no processamento estatístico dos resultados da medição.

Avaliação

Obviamente, para implementar as relações acima, é necessário ser capaz de construir matrizes , do modelo de evolução, uma matriz do modelo de medição, bem como matrizes de covariância e para cada instante de tempo.

Além disso, para inicializar o processo computacional, é necessário determinar de alguma forma a posteriori, ou a priori, estimativas do vetor de estado e sua matriz de covariância. O termo "a priori" ou "a posteriori" neste caso significa apenas a qualidade com que o vetor de estado e sua matriz de covariâncias serão utilizados no algoritmo computacional, e não diz nada sobre como eles foram obtidos.

Assim, a escolha da razão a partir da qual os cálculos devem ser iniciados é determinada pelos pontos de tempo aos quais são atribuídas as condições iniciais de filtragem e o primeiro vetor bruto de medição. Se os pontos de tempo coincidirem, as taxas de correção devem ser aplicadas primeiro para refinar as condições iniciais; caso contrário, as condições iniciais devem primeiro ser previstas no momento da vinculação do primeiro vetor de medição bruto.

Vamos explicar o algoritmo de filtragem de Kalman com a ajuda de uma figura.

Na figura, nos eixos de coordenadas , (no canal de movimento) são mostradas várias trajetórias possíveis do vetor de fase:

é a verdadeira trajetória de evolução do vetor de fase;
é a evolução do vetor de fase, prevista com base no uso do modelo de movimento e estimativa a priori do vetor de fase , referente ao tempo ;
é a evolução do vetor de fase, prevista com base no uso do modelo de movimento e uma estimativa a posteriori (mais precisa) do vetor de fase , referente ao tempo

Os eixos de coordenadas , (no canal de medição) nos instantes de tempo e mostram os resultados das medições e:

,

Onde
é o valor real do vetor de medição no tempo;
é o vetor de erros de medição realizados no momento do tempo.

Para construir uma correção para o vetor de fase a priori do sistema, utiliza-se a diferença entre o resultado da medição e o valor que seria medido de acordo com o modelo de medição do problema se o vetor de fase, de fato, tomasse o valor . Como resultado da aplicação das relações de correção às estimativas a priori, a estimativa do vetor de fase do sistema será um pouco mais precisa e assumirá o valor

No momento, o resultado da previsão é usado como uma estimativa a priori na trajetória que passa pelo vetor de fase , a diferença de medição é novamente construída, segundo a qual a posteriori, um valor ainda mais preciso é calculado, etc. desde que existam vetores de medição para processar ou haja necessidade de prever o comportamento do vetor de fase.

método dos mínimos quadrados

Esta seção apresenta o método dos mínimos quadrados adaptado para análise a posteriori de sistemas dinâmicos.

Construindo pontuações

Para o caso de um modelo linear de medidas iguais:

temos o seguinte algoritmo de estimativa de vetor de fase:

.

Para o caso de medidas desiguais, introduzimos a matriz contendo os coeficientes de peso na diagonal. Levando em consideração os coeficientes de peso, a proporção anterior assumirá a forma:

.

Se usarmos a matriz inversa à matriz de covariância dos erros de medição como uma matriz de peso, então, levando em consideração o fato de que obtemos:

.

Como decorre das relações anteriores, a base do método é a matriz que relaciona o vetor de fase estimado , referente a um determinado ponto no tempo , e o vetor de medição . O vetor possui, via de regra, uma estrutura de blocos, na qual cada um dos blocos é atribuído a algum ponto no tempo , que em geral não coincide com .

A figura mostra algum arranjo mútuo possível dos pontos no tempo aos quais as medições são referidas e o ponto no tempo ao qual o vetor de parâmetros estimados é referido.

Para cada vetor, a seguinte relação é válida:

, no .

Assim, na relação de mínimos quadrados resultante, o vetor e a matriz têm a seguinte estrutura:

; .

Onde
– determina um efeito de forçamento não aleatório no sistema;
– determina o impacto aleatório no sistema.

relações de previsão podem ser usadas, que foram encontradas acima na descrição do algoritmo de filtragem de Kalman:

onde é a matriz de covariância do vetor .

Construção da matriz de Cauchy

Nos problemas de construção de estimativas por métodos de processamento estatístico de medições, o problema de construção da matriz de Cauchy é frequentemente encontrado. Esta matriz conecta os vetores de fase do sistema, referidos a diferentes momentos do tempo, em seu próprio movimento.

Nesta seção, nos limitamos a considerar questões relacionadas à construção da matriz de Cauchy para um modelo de evolução escrito como um sistema de equações diferenciais ordinárias (lineares ou não lineares).

onde a seguinte notação é usada para as matrizes de proporcionalidade construídas nas proximidades da trajetória de referência, :

; .

Modelagem de dimensões

O problema surge quando, por exemplo, ao estimar a precisão potencialmente alcançável de um método em algum problema, você não tem nenhum resultado de medição. Neste caso, os resultados da medição precisam ser simulados. A peculiaridade de modelar os resultados da medição é que os modelos de movimento e medição usados ​​para esse fim podem não coincidir com os modelos que você usará ao construir estimativas usando um ou outro método de filtragem.

Como condições iniciais para modelar a evolução do vetor de fase de um sistema dinâmico, devem ser utilizados os valores reais das coordenadas desse vetor. Além deste local, os valores reais das coordenadas do vetor de fase do sistema não devem ser usados ​​em nenhum outro lugar.

Métodos numéricos

Características especiais

vetores aleatórios

O problema, cuja solução é descrita nesta subseção, é modelar um vetor de variáveis ​​aleatórias gaussianas correlacionadas.

Seja o vetor aleatório , a ser modelado, formado com base na transformação do vetor de variáveis ​​aleatórias padrão não correlacionadas da dimensão correspondente da seguinte forma: com uma precisão de 4 dígitos, com base na expansão em série em potências do argumento para seus três intervalos.

Em , a soma da série assintótica torna-se quase igual a 1.

Introdução

Uma vez que o conceito de um sistema dinâmico não linear é rico o suficiente para abranger uma gama extremamente ampla de processos em que o comportamento futuro do sistema é determinado pelo passado, os métodos de análise desenvolvidos neste campo são úteis em uma enorme variedade de contextos.

A dinâmica não linear entra na literatura de pelo menos três maneiras. Primeiro, há casos em que dados experimentais sobre a mudança ao longo do tempo de uma ou mais quantidades são coletados e analisados ​​usando técnicas baseadas na teoria dinâmica não linear, com suposições mínimas sobre as equações subjacentes que governam o processo que produz os dados. Ou seja, é um caso em que se busca encontrar correlações nos dados que possam orientar o desenvolvimento de um modelo matemático, ao invés de primeiro adivinhar o modelo e depois compará-lo com os dados.

Em segundo lugar, há casos em que a teoria dinâmica não linear pode ser usada para afirmar que algum modelo simplificado deve demonstrar características importantes de um determinado sistema, o que implica que o modelo descritor pode ser construído e estudado sobre uma ampla gama de parâmetros. Isso geralmente resulta em modelos que se comportam qualitativamente de maneira diferente sob diferentes parâmetros e demonstram que uma região exibe um comportamento muito semelhante ao comportamento observado no sistema real. Em muitos casos, o comportamento do modelo é bastante sensível a mudanças nos parâmetros, portanto, se os parâmetros do modelo puderem ser medidos em um sistema real, o modelo exibe um comportamento realista nesses valores e pode-se ter certeza de que o modelo captura as características essenciais do sistema.

Em terceiro lugar, há casos em que as equações do modelo são construídas com base em descrições detalhadas física conhecida. Experimentos numéricos podem fornecer informações sobre variáveis ​​que não estão disponíveis para experimentos físicos.

Com base no segundo caminho, este trabalho é uma extensão do meu trabalho anterior “Modelo dinâmico não linear de indústrias interdependentes”, bem como outro trabalho (Dmitriev, 2015)

Todas as definições necessárias e outras informações teóricas necessárias ao trabalho aparecerão no primeiro capítulo, conforme necessário. Duas definições serão dadas aqui, necessárias para a divulgação do próprio tema de pesquisa.

Primeiro, vamos definir a dinâmica do sistema. De acordo com uma das definições, a dinâmica de sistemas é uma abordagem de modelagem de simulação que, graças a seus métodos e ferramentas, ajuda a avaliar a estrutura de sistemas complexos e sua dinâmica (Shterman). Vale acrescentar que a dinâmica de sistemas também é uma técnica de modelagem que serve para recriar modelos computacionais corretos (em termos de precisão) para sistemas complexos para seu uso futuro, a fim de criar uma empresa / organização mais eficiente, bem como melhorar os métodos de interação com este sistema. A maior parte da necessidade de dinâmica de sistemas surge quando confrontada com modelos estratégicos de longo prazo, e também vale a pena notar que ela é bastante abstrata.

Falando em dinâmica diferencial não linear, vamos considerar um sistema não linear, que, por definição, é um sistema no qual a mudança no resultado não é proporcional à mudança nos parâmetros de entrada, e no qual a função descreve o dependência da mudança no tempo e a posição de um ponto no espaço (Boeing, 2016).

Com base nas definições acima, fica claro que Este trabalho considerará vários sistemas diferenciais não lineares que descrevem a interação de empresas, bem como modelos de simulação construídos com base neles. Com base nisso, o objetivo do trabalho será determinado.

Assim, o objetivo deste trabalho é análise qualitativa sistemas dinâmicos descrevendo a interação de empresas, em primeira aproximação e construindo um modelo de simulação com base neles.

Para atingir esse objetivo, foram identificadas as seguintes tarefas:

Determinar a estabilidade do sistema.

Construção de retratos de fase.

Encontrar trajetórias integrais de sistemas.

Construção de modelos de simulação.

Cada uma dessas tarefas será dedicada a uma das seções de cada um dos capítulos do trabalho.

Com base na prática, a construção de estruturas matemáticas fundamentais que efetivamente modelam a dinâmica em vários sistemas físicos, tanto sistemas quanto processos, indica que os correspondentes modelo matemático em certa medida reflete a proximidade com o original em estudo, quando suas características podem ser derivadas das propriedades e estrutura do tipo de movimento que forma a dinâmica do sistema. Até o momento, a ciência econômica está em um estágio de seu desenvolvimento, no qual métodos novos e, em muitos casos, não padronizados e métodos de modelagem física e matemática de processos econômicos são usados ​​​​de maneira especialmente eficaz. É aqui que se conclui a necessidade de criar, estudar e construir modelos que de alguma forma possam descrever a situação económica.

Quanto ao motivo da escolha da análise qualitativa em vez da quantitativa, vale a pena notar que, na grande maioria dos casos, os resultados e conclusões de uma análise qualitativa de sistemas dinâmicos acabam sendo mais significativos do que os resultados de sua análise quantitativa. Em tal situação, é apropriado apontar para as declarações de V.P. Milovanov, no qual afirma que tradicionalmente acreditam que os resultados esperados ao aplicar métodos matemáticos à análise de objetos reais devem ser reduzidos a um resultado numérico. Nesse sentido, os métodos qualitativos têm uma tarefa um tanto diferente. Ele se concentra em alcançar um resultado que descreva a qualidade do sistema, na busca de características de todos os fenômenos como um todo, na previsão. Obviamente, é importante entender como a demanda mudará quando os preços de um determinado tipo de mercadoria mudarem, mas não se esqueça que é muito mais importante entender se haverá escassez ou excesso dessas mercadorias nessas condições (Dmitriev , 2016).

O objeto deste estudo é diferencial não linear e dinâmica de sistemas.

Neste caso, o objeto de pesquisa é a descrição do processo de interação entre empresas por meio de diferencial não linear e dinâmica de sistemas.

Falando sobre a aplicação prática do estudo, vale a pena dividi-lo imediatamente em duas partes. Nomeadamente, teórico, isto é, uma análise qualitativa de sistemas, e prático, em que será considerada a construção de modelos de simulação.

A parte teórica deste estudo fornece conceitos e fenômenos básicos. Considera sistemas diferenciais simples, como nos trabalhos de muitos outros autores (Teschl, 2012; Nolte, 2015), mas ao mesmo tempo permite descrever a interação entre empresas. Com base nisso, futuramente será possível realizar estudos mais aprofundados, ou então iniciar seu conhecimento do que vem a ser uma análise qualitativa de sistemas.

A parte prática do trabalho pode ser utilizada para criar um sistema de apoio à decisão. Sistema de apoio à decisão - um sistema de informação automatizado destinado a apoiar o negócio ou a tomada de decisão numa organização, permitindo escolher entre muitas alternativas diferentes (Keen, 1980). Mesmo que os modelos não sejam muito precisos no momento, mas alterando-os para uma empresa específica, você pode obter resultados mais precisos. Assim, quando eles mudam vários parâmetros e as condições que podem surgir no mercado, você pode obter alguma previsão para o futuro e tomar uma decisão melhor com antecedência.

1. Interação de empresas nas condições de mutualismo

O artigo apresentará sistemas bidimensionais que são bastante simples em comparação com sistemas de ordem superior, mas ao mesmo tempo permitem demonstrar as relações entre organizações de que necessitamos.

Vale a pena começar a trabalhar com a escolha do tipo de interação, que será descrito no futuro, pois para cada um dos tipos os sistemas que os descrevem são, embora ligeiramente, diferentes. A Figura 1.1 mostra a classificação de Yujim Odum para interação populacional modificada para interação econômica (Odum, 1968), com base na qual consideraremos posteriormente a interação de empresas.

Figura 1.1. Tipos de interação entre empresas

Com base na Figura 1.1, destacamos 4 tipos de interação e apresentamos para cada um deles um sistema de equações que os descreve com base no modelo de Malthus (Malthus, 1798). Segundo ela, a taxa de crescimento é proporcional à abundância atual da espécie, ou seja, pode ser descrita pela seguinte equação diferencial:

onde a é um parâmetro que depende do crescimento natural da população. Vale acrescentar também que nos sistemas considerados a seguir, todos os parâmetros, assim como as variáveis, assumem valores não negativos.

A produção de matérias-primas é a produção de produtos, o que é semelhante ao modelo predador-presa. O modelo predador-presa, também conhecido como modelo de Lotka-Volterra, é um par de equações diferenciais não lineares de primeira ordem que descrevem a dinâmica de um sistema biológico com duas espécies, uma das quais é predador e a outra é presa (Llibre , 2007). A mudança na abundância dessas espécies é descrita pelo seguinte sistema de equações:

(1.2)

onde - caracteriza o crescimento da produção do primeiro empreendimento sem a influência do segundo (no caso do modelo predador-presa, o crescimento da população de presas sem predadores),

Caracteriza o crescimento da produção do segundo empreendimento sem a influência do primeiro (crescimento da população de predadores sem presas),

Caracteriza o crescimento da produção do primeiro empreendimento, levando em consideração a influência do segundo empreendimento sobre ele (aumento do número de presas ao interagir com predadores),

Caracteriza o crescimento da produção do segundo empreendimento, levando em consideração a influência do primeiro empreendimento sobre ele (aumento do número de predadores durante sua interação com as vítimas).

Por um lado, o predador, como pode ser visto no sistema, bem como na classificação de Odum, sua interação impõe um efeito favorável. Por outro desfavorável. Se considerado em realidades econômicas, então, como pode ser visto na figura, o análogo mais simples é o fabricante e seu fornecedor de recursos, que correspondem ao predador e à presa, respectivamente. Assim, na ausência de matérias-primas, a produção diminui exponencialmente.

A competição é a rivalidade entre duas ou mais espécies (no nosso caso, estamos considerando sistemas bidimensionais, então consideramos exatamente a competição de duas espécies), grupos econômicos por territórios, recursos limitados ou outros valores (Elton, 1968). Mudanças no número de espécies, ou no número de produtos no nosso caso, são descritas pelo sistema abaixo:

(1.3)

Nesse caso, espécies ou empresas que produzem um produto afetam negativamente umas às outras. Ou seja, na ausência de um concorrente, o crescimento do produto aumentará exponencialmente.

Agora vamos passar para uma interação simbiótica, na qual ambas as empresas têm uma influência positiva uma na outra. Comecemos pelo mutualismo. O mutualismo é um tipo de relação entre espécies diferentes em que cada uma delas se beneficia das ações da outra, valendo ressaltar que a presença de um parceiro é condição necessária para a existência (Thompson, 2005). Este tipo de relacionamento é descrito pelo sistema:

(1.4)

Como a interação entre empresas é necessária para sua existência, na ausência do produto de uma empresa, a produção de bens de outra diminui exponencialmente. Isso é possível quando as empresas simplesmente não têm outras alternativas de aquisição.

Considere outro tipo de interação simbiótica, a protocooperação. A protocooperação é semelhante ao mutualismo, com a única exceção de que não há necessidade de existir um parceiro, pois, por exemplo, existem outras alternativas. Por serem semelhantes, seus sistemas parecem quase idênticos entre si:

(1.5)

Assim, a ausência do produto de uma empresa não impede o crescimento do produto de outra empresa.

É claro que, além dos listados nos parágrafos 3 e 4, outros tipos de relações simbióticas podem ser notados: comensalismo e amensalismo (Hanski, 1999). Mas eles não serão mais mencionados, pois no comensalismo um dos parceiros é indiferente à sua interação com o outro, mas ainda consideramos os casos em que há influência. E o amensalismo não é considerado, porque do ponto de vista econômico, tais relações, quando sua interação prejudica um e o outro é indiferente, simplesmente não podem existir.

Com base na influência das empresas umas sobre as outras, nomeadamente no facto de as relações simbióticas conduzirem à coexistência sustentável das empresas, neste trabalho iremos considerar apenas os casos de mutualismo e protocooperação, visto que em ambos os casos a interação é benéfica para todos.

Este capítulo é dedicado à interação de empresas nas condições de mutualismo. Serão considerados dois sistemas que são um desenvolvimento posterior dos sistemas baseados no modelo de Malthus, ou seja, sistemas com restrições impostas ao aumento da produção.

A dinâmica de um par conectado por relações mutualísticas, conforme mencionado acima, pode ser descrita na primeira aproximação pelo sistema:

(1.6)

Pode-se observar que com uma grande quantidade inicial de produção, o sistema cresce indefinidamente, e com uma pequena quantidade, a produção cai. É aí que reside a incorreção da descrição bilinear do efeito decorrente do mutualismo. Para tentar corrigir o quadro, introduzimos um fator semelhante à saturação de um predador, ou seja, um fator que reduzirá a taxa de crescimento da produção, se for em excesso. Neste caso, chegamos ao seguinte sistema:

(1.7)

onde é o crescimento da produção do produto da primeira empresa em sua interação com a segunda, levando em consideração a saturação,

Crescimento na produção do produto da segunda empresa em sua interação com a primeira, levando em consideração a saturação,

Coeficientes de saturação.

Assim, obtivemos dois sistemas: o modelo malthusiano de crescimento com e sem saturação.

1.1 Estabilidade de sistemas na primeira aproximação

A estabilidade dos sistemas na primeira aproximação é considerada em muitos trabalhos em língua estrangeira (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 e outros) e russo (Akhromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovsky, 1959 e outros), e sua definição é uma etapa básica para a análise dos processos que ocorrem no sistema. Para fazer isso, execute as seguintes etapas necessárias:

Vamos encontrar os pontos de equilíbrio.

Vamos encontrar a matriz jacobiana do sistema.

Encontre os autovalores da matriz jacobiana.

Classificamos os pontos de equilíbrio de acordo com o teorema de Lyapunov.

Tendo considerado as etapas, vale a pena me deter em sua explicação com mais detalhes, por isso darei definições e descreverei os métodos que usaremos em cada uma dessas etapas.

O primeiro passo, a busca dos pontos de equilíbrio. Para encontrá-los, igualamos cada função a zero. Ou seja, resolvemos o sistema:

onde a e b significam todos os parâmetros da equação.

O próximo passo é encontrar a matriz jacobiana. No nosso caso, esta será uma matriz 2 por 2 com primeiras derivadas em algum ponto, conforme mostrado abaixo:

Depois de concluir as duas primeiras etapas, passamos a encontrar as raízes da seguinte equação característica:

Onde o ponto corresponde aos pontos de equilíbrio encontrados na primeira etapa.

Tendo encontrado e , passamos para a quarta etapa e usamos os seguintes teoremas de Lyapunov (Parks, 1992):

Teorema 1: Se todas as raízes da equação característica tiverem parte real negativa, então o ponto de equilíbrio correspondente aos sistemas original e linearizado é assintoticamente estável.

Teorema 2: Se pelo menos uma das raízes da equação característica tiver parte real positiva, então o ponto de equilíbrio correspondente aos sistemas original e linearizado é assintoticamente instável.

Além disso, olhando e é possível determinar o tipo de estabilidade com mais precisão, com base na divisão mostrada nas Figuras 1.2 (Lamar University).

Figura 1.2. Tipos de estabilidade dos pontos de equilíbrio

Tendo considerado as informações teóricas necessárias, nos voltamos para a análise de sistemas.

Considere um sistema sem saturação:

É muito simples e não é adequado para uso prático, pois não possui restrições. Mas como um primeiro exemplo de análise de sistema é adequado para consideração.

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio igualando os lados direitos das equações a zero. Assim, encontramos dois pontos de equilíbrio, vamos chamá-los de A e B: .

Vamos combinar a etapa com a busca da matriz jacobiana, as raízes da equação característica e a determinação do tipo de estabilidade. Como são elementares, obtemos imediatamente a resposta:

1. No ponto , , existe um nó estável.

No ponto: . . selim.

Como já escrevi, esse sistema é muito trivial, portanto nenhuma explicação foi necessária.

Agora vamos analisar o sistema a partir da saturação:

(1.9)

A aparência de uma restrição à saturação mútua de produtos pelas empresas nos aproxima do quadro real do que está acontecendo e também complica um pouco o sistema.

Como antes, igualamos as partes certas do sistema a zero e resolvemos o sistema resultante. O ponto permaneceu inalterado, mas o outro ponto neste caso contém mais parâmetros do que antes: .

Neste caso, a matriz de Jacobi assume a seguinte forma:

Subtraia dela a matriz identidade multiplicada por , e iguale o determinante da matriz resultante nos pontos A e B a zero.

No ponto de uma imagem inicial semelhante:

nó estável.

Mas no ponto tudo é um pouco mais complicado e, embora a matemática ainda seja bastante simples, a complexidade causa o inconveniente de trabalhar com expressões literais longas. Como os valores acabam sendo bastante longos e inconvenientemente anotados, eles não são dados, basta dizer que neste caso, como no sistema anterior, o tipo de estabilidade obtida é uma sela.

Retratos de 2 fases de sistemas

A grande maioria dos modelos dinâmicos não lineares são equações diferenciais complexas que não podem ser resolvidas ou isso é algum tipo de complexidade. Um exemplo é o sistema da seção anterior. Apesar da aparente simplicidade, encontrar o tipo de estabilidade no segundo ponto de equilíbrio não foi uma tarefa fácil (ainda que não do ponto de vista matemático), e com o aumento de parâmetros, restrições e equações para aumentar o número de empreendimentos interagentes, o a complexidade só aumentará. Claro, se os parâmetros forem expressões numéricas, então tudo ficará incrivelmente simples, mas a análise de alguma forma perderá todo o sentido, porque no final poderemos encontrar pontos de equilíbrio e descobrir seus tipos de estabilidade apenas para um determinado caso, não geral.

Nesses casos, vale lembrar o plano de fase e os retratos de fase. Na matemática aplicada, em particular no contexto da análise de sistemas não lineares, o plano de fase é uma representação visual de certas características de certos tipos de equações diferenciais (Nolte, 2015). O plano de coordenadas com eixos de valores de qualquer par de variáveis ​​que caracterizam o estado do sistema é um caso bidimensional de um espaço de fase n-dimensional comum.

Graças ao plano de fase, é possível determinar graficamente a existência de ciclos limites em soluções de uma equação diferencial.

As soluções de uma equação diferencial são uma família de funções. Graficamente, isso pode ser plotado no plano de fase como um campo vetorial bidimensional. Os vetores são desenhados no plano, representando derivadas em pontos característicos em relação a algum parâmetro, no nosso caso, em relação ao tempo, ou seja (). Com o número suficiente dessas setas em uma área, o comportamento do sistema pode ser visualizado e os ciclos limite podem ser facilmente identificados (Boeing, 2016).

O campo vetorial é um retrato de fase, um caminho particular ao longo da linha de fluxo (ou seja, um caminho sempre tangente aos vetores) é um caminho de fase. Os fluxos em um campo vetorial indicam a mudança no sistema ao longo do tempo, descrita por uma equação diferencial (Jordan, 2007).

Vale a pena notar que um retrato de fase pode ser construído mesmo sem resolver a equação diferencial e, ao mesmo tempo, uma boa visualização pode fornecer muitas informações úteis. Além disso, atualmente existem muitos programas que podem ajudar na construção de diagramas de fases.

Assim, os planos de fase são úteis para visualizar o comportamento de sistemas físicos. Em particular, sistemas oscilatórios, como o modelo predador-presa já mencionado acima. Nesses modelos, as trajetórias de fase podem "torcer" em direção a zero, "sair de uma espiral" até o infinito ou atingir uma situação estável neutra chamada centros. Isso é útil para determinar se a dinâmica é estável ou não (Jordan, 2007).

Os retratos de fase apresentados nesta seção serão construídos usando ferramentas WolframAlpha ou fornecidos de outras fontes. Modelo de crescimento malthusiano sem saturação.

Vamos construir um retrato de fase do primeiro sistema com três conjuntos de parâmetros para comparar seu comportamento. Conjunto A ((1,1), (1,1)), que será referido como um único conjunto, conjunto B ((10,0,1), (2,2)), quando selecionado, o sistema experimenta uma forte declínio na produção , e o conjunto C ((1,10), (1,10)) para o qual, ao contrário, ocorre um crescimento acentuado e ilimitado. Deve-se notar que os valores ao longo dos eixos em todos os casos estarão nos mesmos intervalos de -10 a 10, para conveniência de comparar os diagramas de fase entre si. Claro, isso não se aplica a um retrato qualitativo do sistema, cujos eixos são adimensionais.

Figura 1.3 Retrato de fase com parâmetros A

equação de limite diferencial de mutualismo

A Figura 1.3 acima mostra os retratos de fase do sistema para os três conjuntos de parâmetros especificados, bem como o retrato de fase que descreve o comportamento qualitativo do sistema. Não se esqueça que o mais importante do ponto de vista prático é o primeiro trimestre, já que a quantidade de produção, que só pode ser não negativa, é dos nossos eixos.

Em cada uma das figuras, a estabilidade no ponto de equilíbrio (0,0) é claramente visível. E na primeira figura, o “ponto de sela” também é perceptível no ponto (1,1), ou seja, se substituirmos os valores do conjunto de parâmetros no sistema, então no ponto de equilíbrio B. Quando os limites da construção do modelo mudam, o ponto de sela também é encontrado em outros retratos de fase.

Modelo malthusiano de crescimento a partir da saturação.

Vamos construir diagramas de fase para o segundo sistema, no qual há saturação, com três novos conjuntos de valores de parâmetros. Conjunto A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), conjunto B ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) e conjunto C ((20,1,100), (20,1,100 )).

Figura 1.4. Retrato de fase com parâmetros A

Como você pode ver, para qualquer conjunto de parâmetros, o ponto (0,0) é equilíbrio e também estável. Também em algumas figuras, você pode ver um ponto de sela.

Neste caso, diferentes escalas foram consideradas para demonstrar de forma mais clara que mesmo quando um fator de saturação é adicionado ao sistema, o quadro qualitativo não muda, ou seja, apenas a saturação não é suficiente. Deve-se levar em consideração que, na prática, as empresas precisam de estabilidade, ou seja, se considerarmos equações diferenciais não lineares, estamos mais interessados ​​​​em pontos de equilíbrio estáveis ​​e, nesses sistemas, apenas pontos zero são esses pontos, o que significa que tais modelos matemáticos claramente não são adequados para empresas. Afinal, isso significa que apenas com produção zero, as empresas estão em estabilidade, o que é claramente diferente da imagem real do mundo.

Em matemática, uma curva integral é uma curva paramétrica que é uma solução particular para uma equação diferencial ordinária ou sistema de equações (Lang, 1972). Se a equação diferencial for representada como um campo vetorial, então as curvas integrais correspondentes são tangentes ao campo em cada ponto.

Curvas integrais também são conhecidas por outros nomes, dependendo da natureza e interpretação da equação diferencial, ou campo vetorial. Na física, curvas integrais para um campo elétrico ou campo magnético são conhecidas como linhas de campo, e curvas integrais para um campo de velocidade de fluido são conhecidas como linhas de corrente. Em sistemas dinâmicos, curvas integrais para uma equação diferencial são chamadas de trajetórias.

Figura 1.5. curvas integrais

As soluções de qualquer um dos sistemas também podem ser consideradas como equações de curvas integrais. Obviamente, cada trajetória de fase é uma projeção de alguma curva integral em espaço x,y,t ao plano de fase.

Existem várias maneiras de construir curvas integrais.

Um deles é o método isocline. Uma isoclina é uma curva que passa por pontos nos quais a inclinação da função em questão será sempre a mesma, independentemente das condições iniciais (Hanski, 1999).

É freqüentemente usado como um método gráfico para resolver equações diferenciais ordinárias. Por exemplo, em uma equação da forma y "= f (x, y), isoclinas são linhas no plano (x, y) obtidas igualando f (x, y) a uma constante. Isso fornece uma série de linhas ( para diferentes constantes) ao longo do qual as soluções das curvas têm o mesmo gradiente.Ao calcular esse gradiente para cada isoclina, o campo de inclinação pode ser visualizado, tornando relativamente fácil desenhar curvas de solução aproximadas.A figura abaixo mostra um exemplo de uso do método isocline .

Figura 1.6. método isoclina

Este método não requer cálculos de computador e era muito popular no passado. Agora existem soluções de software que construirão curvas integrais em computadores com extrema precisão e rapidez. Porém, mesmo assim, o método das isoclinas tem se mostrado bem como uma ferramenta para estudar o comportamento das soluções, pois permite mostrar as áreas de comportamento típico das curvas integrais.

Modelo de crescimento malthusiano sem saturação.

Comecemos com o fato de que, apesar da existência de diferentes métodos de construção, não é tão fácil mostrar as curvas integrais de um sistema de equações. O método da isoclina mencionado anteriormente não é adequado porque funciona para equações diferenciais de primeira ordem. E as ferramentas de software que têm a capacidade de traçar essas curvas não são de domínio público. Por exemplo, o Wolfram Mathematica, que é capaz disso, é pago. Portanto, tentaremos usar o máximo possível os recursos do Wolfram Alpha, cujo trabalho é descrito em vários artigos e trabalhos (Orca, 2009). Mesmo que a imagem claramente não seja totalmente confiável, mas pelo menos permitirá que você mostre a dependência nos planos (x, t), (y, t). Primeiro, vamos resolver cada uma das equações para t. Ou seja, derivamos a dependência de cada uma das variáveis ​​em relação ao tempo. Para este sistema obtemos:

(1.10)

(1.11)

As equações são simétricas, então consideramos apenas uma delas, ou seja, x(t). Seja a constante igual a 1. Neste caso, usaremos a função de plotagem.

Figura 1.7. Modelo tridimensional para a equação (1.10)

Modelo malthusiano de crescimento a partir da saturação.

Vamos fazer o mesmo para o outro modelo. Por fim, obtemos duas equações que demonstram a dependência das variáveis ​​com o tempo.

(1.12)

(1.13)

Vamos construir um modelo tridimensional e linhas de nível novamente.

Figura 1.8. Modelo tridimensional para a equação (1.12)

Como os valores das variáveis ​​​​são não negativos, na fração com o expoente, obtemos um número negativo. Assim, a curva integral diminui com o tempo.

Anteriormente, era dada uma definição de dinâmica do sistema para entender a essência do trabalho, mas agora vamos nos aprofundar nisso com mais detalhes.

Dinâmica de sistemas é uma metodologia e método de modelagem matemática para a formação, compreensão e discussão de problemas complexos, desenvolvida originalmente na década de 1950 por Jay Forrester e descrita em seu trabalho (Forrester, 1961).

A dinâmica de sistemas é um aspecto da teoria de sistemas como um método para entender o comportamento dinâmico de sistemas complexos. A base do método é o reconhecimento de que a estrutura de qualquer sistema consiste em numerosas relações entre seus componentes, que muitas vezes são tão importantes na determinação de seu comportamento quanto os próprios componentes individuais. Exemplos são a teoria do caos e a dinâmica social, descritas nas obras de vários autores (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Argumenta-se também que, como as propriedades do todo muitas vezes não podem ser encontradas nas propriedades dos elementos, em alguns casos o comportamento do todo não pode ser explicado em termos do comportamento das partes.

A simulação pode realmente mostrar todo o significado prático de um sistema dinâmico. Embora seja possível em planilhas, existem muitos pacotes de software que foram otimizados especificamente para essa finalidade.

A modelagem em si é o processo de criar e analisar um protótipo de um modelo físico para prever seu desempenho no mundo real. A modelagem de simulação é usada para ajudar projetistas e engenheiros a entender sob quais condições e em quais casos um processo pode falhar e quais cargas ele pode suportar (Khemdy, 2007). A modelagem também pode ajudar a prever o comportamento de fluxos de fluidos e outros fenômenos físicos. O modelo analisa as condições aproximadas de trabalho devido ao software de simulação aplicado (Strogalev, 2008).

As limitações nas possibilidades de modelagem de simulação têm uma causa comum. A construção e o cálculo numérico de um modelo exato garantem o sucesso apenas nas áreas em que existe uma teoria quantitativa exata, ou seja, quando as equações que descrevem certos fenômenos são conhecidas, e a tarefa é apenas resolver essas equações com a precisão necessária. Nas áreas onde não há teoria quantitativa, a construção de um modelo exato é de valor limitado (Bazykin, 2003).

No entanto, as possibilidades de modelagem não são ilimitadas. Em primeiro lugar, isto deve-se ao facto de ser difícil avaliar o âmbito de aplicabilidade do modelo de simulação, em particular, o período de tempo para o qual a previsão pode ser construída com a precisão necessária (Law, 2006). Além disso, por sua natureza, o modelo de simulação está vinculado a um objeto específico e, ao tentar aplicá-lo a outro objeto, mesmo que semelhante, requer um ajuste radical ou, pelo menos, uma modificação significativa.

Disponível causa comum a existência de restrições na modelagem de simulação. A construção e o cálculo numérico de um modelo “exato” só é bem-sucedido se existir uma teoria quantitativa, ou seja, apenas se todas as equações forem conhecidas, e o problema se reduz apenas a resolver essas equações com certa precisão (Bazykin, 2003).

Mas mesmo assim, a modelagem de simulação é uma excelente ferramenta para visualizar processos dinâmicos, permitindo, com um modelo mais ou menos correto, tomar decisões com base em seus resultados.

Neste trabalho serão construídos modelos de sistemas utilizando as ferramentas de dinâmica de sistemas oferecidas pelo programa AnyLogic.

Modelo de crescimento malthusiano sem saturação/

Antes de construir um modelo, é necessário considerar os elementos da dinâmica do sistema que iremos utilizar e relacioná-los ao nosso sistema. As definições a seguir foram retiradas das informações de ajuda do programa AnyLogic.

O drive é o elemento principal dos diagramas de dinâmica do sistema. Eles são usados ​​para representar objetos do mundo real, nos quais certos recursos se acumulam: dinheiro, substâncias, números de grupos de pessoas, alguns objetos materiais, etc. Os acumuladores refletem o estado estático do sistema simulado, e seus valores mudam ao longo do tempo de acordo com os fluxos existentes no sistema. Segue-se que a dinâmica do sistema é determinada pelos fluxos. Os fluxos que entram e saem do acumulador aumentam ou diminuem os valores do acumulador.

O fluxo, assim como o já mencionado acionamento, é o elemento principal dos diagramas dinâmicos do sistema.

Enquanto os bins definem a parte estática do sistema, os fluxos determinam a taxa de variação dos bins, ou seja, como os estoques mudam ao longo do tempo, e assim determinam a dinâmica do sistema.

O agente pode conter variáveis. As variáveis ​​são normalmente usadas para modelar as características variáveis ​​de um agente ou para armazenar os resultados do modelo. Normalmente, as variáveis ​​dinâmicas consistem em funções acumulativas.

O agente pode ter parâmetros. Parâmetros são frequentemente usados ​​para representar algumas das características do objeto modelado. Eles são úteis quando as instâncias do objeto têm o mesmo comportamento descrito na classe, mas diferem em alguns valores de parâmetro. Há uma clara diferença entre variáveis ​​e parâmetros. A variável representa o estado do modelo e pode mudar durante a simulação. O parâmetro geralmente é usado para descrever objetos estaticamente. Durante uma "execução" do modelo, o parâmetro geralmente é uma constante e é alterado apenas quando o comportamento do modelo precisa ser reconfigurado.

Um link é um elemento da dinâmica do sistema que é usado para determinar a relação entre elementos de um diagrama de fluxo e acumuladores. Ele não cria links automaticamente, mas obriga o usuário a desenhá-los explicitamente no editor gráfico (no entanto, vale a pena observar que o AnyLogic também oferece suporte a um mecanismo para configurar rapidamente os links ausentes). Por exemplo, se algum elemento de A for mencionado na equação ou o valor inicial do elemento B, primeiro você precisará conectar esses elementos com um link que vai de A a B e só então inserir a expressão nas propriedades de B .

Existem alguns outros elementos da dinâmica do sistema, mas eles não estarão envolvidos no decorrer do trabalho, então vamos omiti-los.

Para começar, vamos considerar em que consistirá o modelo do sistema (1.4).

Primeiro, marcamos imediatamente duas unidades, que conterão os valores da quantidade de produção de cada uma das empresas.

Em segundo lugar, como temos dois termos em cada equação, obtemos dois fluxos para cada uma das unidades, uma de entrada e outra de saída.

Em terceiro lugar, passamos para variáveis ​​e parâmetros. Existem apenas duas variáveis. X e Y, responsáveis ​​pelo crescimento da produção. Também temos quatro opções.

Em quarto lugar, no que diz respeito às conexões, cada um dos fluxos deve estar associado às variáveis ​​e parâmetros incluídos na equação do fluxo, e ambas as variáveis ​​devem estar associadas a acumuladores para alterar o valor ao longo do tempo.

Deixaremos uma descrição detalhada da construção de um modelo, como exemplo de trabalho no ambiente de modelagem AnyLogic, para o próximo sistema, pois é um pouco mais complicado e usa mais parâmetros, e passaremos imediatamente a considerar a versão finalizada do sistema.

A Figura 1.9 abaixo mostra o modelo construído:

Figura 1.9. Modelo de dinâmica de sistema para sistema (1.4)

Todos os elementos da dinâmica do sistema correspondem aos descritos acima, ou seja, duas unidades, quatro fluxos (dois de entrada, dois de saída), quatro parâmetros, duas variáveis ​​dinâmicas e os links necessários.

A figura mostra que quanto mais produtos, mais forte é seu crescimento, o que leva a um aumento acentuado no número de mercadorias, o que corresponde ao nosso sistema. Mas, como mencionado anteriormente, a ausência de restrições a esse crescimento não permite a aplicação desse modelo na prática.

Modelo de crescimento malthusiano de saturação/

Considerando esse sistema, vamos nos deter na construção do modelo com mais detalhes.

A primeira etapa é adicionar duas unidades, vamos chamá-las de X_stock e Y_stock. Vamos atribuir a cada um deles um valor inicial igual a 1. Observe que na ausência de fluxos, não há nada na equação de armazenamento dada classicamente.

Figura 1.10. Construindo um modelo de sistema (1.9)

O próximo passo é adicionar threads. Vamos construir um fluxo de entrada e saída para cada unidade usando um editor gráfico. Não devemos esquecer que uma das extremidades do fluxo deve estar no drive, caso contrário, elas não serão conectadas.

Você pode ver que a equação para a unidade foi definida automaticamente, é claro, o próprio usuário pode escrevê-la escolhendo o modo de equação “arbitrária”, mas a maneira mais fácil é deixar essa ação para o programa.

Nosso terceiro passo é adicionar seis parâmetros e duas variáveis ​​dinâmicas. Vamos dar um nome a cada elemento de acordo com sua expressão literal no sistema, e também definir os valores iniciais dos parâmetros da seguinte forma: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2.

Todos os elementos das equações estão presentes, resta apenas escrever as equações para os fluxos, mas para isso você primeiro precisa adicionar conexões entre os elementos. Por exemplo, o fluxo de saída responsável pelo termo deve estar associado a e1 e x. E cada variável dinâmica deve estar associada ao seu estoque correspondente (X_stock x, Y_stock y). Criar links é semelhante a adicionar tópicos.

Depois de criar as conexões necessárias, você pode escrever as equações para os fluxos, o que é mostrado na figura à direita. Claro, você pode ir na ordem inversa, mas se houver conexões, ao escrever equações, aparecem dicas para substituir os parâmetros / variáveis ​​​​necessários, o que facilita a tarefa em modelos complexos.

Depois de concluir todas as etapas, você pode executar o modelo de simulação e observar seu resultado.

Tendo considerado os sistemas de equações diferenciais não lineares para a interação de empresas nas condições de mutualismo, podemos tirar várias conclusões.

Existem dois estados do sistema: um crescimento acentuado e ilimitado ou a tendência da quantidade de produção a zero. Qual dos dois estados o sistema assumirá depende dos parâmetros.

Nenhum dos modelos propostos, incluindo o modelo que leva em conta a saturação, não é adequado para uso prático, devido à falta de uma posição estável diferente de zero, bem como pelos motivos descritos no parágrafo 1.

No caso de uma tentativa de aprofundar o estudo desse tipo de interação simbiótica para criar um modelo aplicável pelas empresas na prática, é necessário complicar ainda mais o sistema e introduzir novos parâmetros. Por exemplo, Bazykin em seu livro dá um exemplo da dinâmica de duas populações mutualísticas com a introdução de um fator adicional de competição intraespecífica. Devido a que o sistema assume a forma:

(1.15)

E, neste caso, surge uma posição estável diferente de zero do sistema, separada do zero por uma “sela”, que a aproxima da imagem real do que está acontecendo.

2. Interação de empresas nas condições de protocooperação

Toda a informação teórica básica foi apresentada no capítulo anterior, portanto, na análise dos modelos considerados neste capítulo, na maior parte, a teoria será omitida, com exceção de alguns pontos que não encontramos no capítulo anterior capítulo, podendo haver também redução de cálculos. O modelo de interação entre organizações considerado neste capítulo sob condições de protocooperação, que consiste em sistemas de duas equações baseadas no modelo malthusiano, tem a forma do sistema (1.5). Os sistemas analisados ​​no capítulo anterior mostraram que para sua máxima aproximação com os modelos existentes é necessário complicar os sistemas. Com base nessas descobertas, adicionaremos imediatamente uma restrição de crescimento ao modelo. Ao contrário do tipo de interação anterior, quando o crescimento que não depende de outra empresa é negativo, neste caso todos os sinais são positivos, o que significa que temos um crescimento constante. Evitando as deficiências descritas anteriormente, tentaremos limitá-la à equação logística, também conhecida como equação de Verhulst (Gershenfeld, 1999), que tem a seguinte forma:

, (2.1)

onde P é o tamanho da população, r é o parâmetro que mostra a taxa de crescimento, K é o parâmetro responsável pelo tamanho máximo possível da população. Ou seja, ao longo do tempo, o tamanho da população (no nosso caso, a produção) tenderá a um determinado parâmetro K.

Essa equação ajudará a conter o crescimento desenfreado da produção que vimos até agora. Assim, o sistema assume a seguinte forma:

(2.2)

Não se esqueça que o volume de mercadorias armazenadas no armazém de cada empresa é diferente, por isso os parâmetros que limitam o crescimento são diferentes. Vamos chamar esse sistema de "", e no futuro usaremos esse nome quando o considerarmos.

O segundo sistema que consideraremos é o desenvolvimento do modelo com a restrição de Verhulst. Como no capítulo anterior, introduzimos uma restrição de saturação, então o sistema terá a forma:

(2.3)

Agora cada um dos termos tem seu próprio limite, então sem uma análise mais aprofundada pode-se ver que não haverá crescimento ilimitado, como nos modelos do capítulo anterior. E como cada um dos termos demonstra crescimento positivo, a quantidade de produção não cairá para zero. Vamos chamar esse modelo de “modelo de proto-operação com duas restrições”.

Esses dois modelos são discutidos em várias fontes sobre populações biológicas. Agora vamos tentar expandir um pouco os sistemas. Para fazer isso, considere a figura a seguir.

A figura mostra um exemplo dos processos de duas empresas: as indústrias siderúrgica e de carvão. Em ambas as empresas há um aumento de produção independente do outro, e também há um aumento de produção, que é obtido pela interação entre elas. Já levamos isso em consideração em modelos anteriores. Agora vale a pena atentar para o fato de que as empresas não apenas produzem produtos, mas também os vendem, por exemplo, para o mercado ou para uma empresa que interage com ele. Aqueles. Com base em conclusões lógicas, há necessidade de crescimento negativo das empresas devido à venda de produtos (na figura, os parâmetros β1 e β2 são responsáveis ​​por isso), bem como devido à transferência de parte dos produtos para outra empresa . Anteriormente, considerávamos isso apenas com sinal positivo para outra empresa, mas não considerávamos o fato de que o número de produtos diminui para a primeira empresa ao transferir produtos. Neste caso, obtemos o sistema:

(2.4)

E se pode-se dizer sobre o termo que se foi indicado em modelos anteriores que , caracterizam o aumento natural, e o parâmetro pode ser negativo, então praticamente não há diferença, então sobre o termo isso não pode ser dito. Além disso, no futuro, ao considerar tal sistema com uma restrição imposta a ele, é mais correto usar os termos de crescimento positivo e negativo, pois neste caso podem ser impostas diferentes restrições a eles, o que é impossível para naturais crescimento. Vamos chamá-lo de "modelo de protocooperação estendida".

Finalmente, o quarto modelo em consideração é o modelo de protocooperação estendida com a restrição de crescimento logístico mencionada anteriormente. E o sistema para este modelo é o seguinte:

, (2.5)

onde é o aumento da produção do primeiro empreendimento, independente do segundo, levando em consideração a restrição logística, - o aumento da produção da primeira empresa, dependente da segunda, tendo em conta o constrangimento logístico, - o aumento da produção da segunda empresa, independente da primeira, tendo em conta o constrangimento logístico, - aumento da produção da segunda empresa, dependente da primeira, tendo em conta o constrangimento logístico, - consumo de bens da primeira empresa, não coligada com outra, - consumo de bens da segunda empresa, não coligada com outra , - consumo de bens da primeira indústria pela segunda indústria, - consumo de bens da segunda indústria primeira indústria.

No futuro, este modelo será referido como o "modelo de proto-operação estendida com restrição logística".

1 Estabilidade de sistemas na primeira aproximação

Modelo de proto-operação com restrição de Verhulst

Os métodos para analisar a estabilidade do sistema foram indicados em uma seção semelhante do capítulo anterior. Em primeiro lugar, encontramos os pontos de equilíbrio. Um deles, como sempre, é zero. O outro é um ponto com coordenadas.

Para o ponto zero λ1 = , λ2 = , como ambos os parâmetros são não negativos, obtemos um nó instável.

Como não é muito conveniente trabalhar com o segundo ponto, devido à falta de possibilidade de encurtar a expressão, deixaremos a definição do tipo de estabilidade para os diagramas de fase, pois eles mostram claramente se o ponto de equilíbrio é estável ou não.

A análise deste sistema é mais complicada do que a anterior devido ao fato de que o fator de saturação é adicionado, assim novos parâmetros aparecem e, ao encontrar pontos de equilíbrio, será necessário resolver não uma equação linear, mas bilinear devido a a variável no denominador. Portanto, como no caso anterior, deixamos a definição do tipo de estabilidade para os diagramas de fases.

Apesar do surgimento de novos parâmetros, o jacobiano no ponto zero, assim como as raízes da equação característica, se assemelha ao modelo anterior. Assim, no ponto zero, um nó instável.

Vamos passar para modelos avançados. O primeiro deles não contém nenhuma restrição e assume a forma do sistema (2.4)

Vamos fazer uma mudança de variáveis, , E . Novo sistema:

(2.6)

Neste caso, obtemos dois pontos de equilíbrio, ponto A(0,0), B(). O ponto B está no primeiro trimestre porque as variáveis ​​têm um valor não negativo.

Para o ponto de equilíbrio A, obtemos:

. - nó instável

. - selim,

. - selim,

. - nó estável

No ponto B, as raízes da equação característica são números complexos: λ1 = , λ2 = . Não podemos determinar o tipo de estabilidade com base nos teoremas de Lyapunov, por isso faremos simulações numéricas que não mostrarão todos os estados possíveis, mas nos permitirão descobrir pelo menos alguns deles.

Figura 2.2. Simulação numérica da busca pelo tipo de estabilidade

Considerando este modelo, teremos que enfrentar dificuldades computacionais, uma vez que possui um grande número de parâmetros diversos, bem como duas limitações.

Sem entrar em detalhes de cálculos, chegamos aos seguintes pontos de equilíbrio. Ponto A(0,0) e ponto B com as seguintes coordenadas:

(), onde a =

Para o ponto A, determinar o tipo de estabilidade é uma tarefa trivial. As raízes da equação característica são λ1 = , λ2 = . Assim, temos quatro opções:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - nó instável.

2.λ1< 0, λ2 >0 - sela.

3. λ1 ​​​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Falando sobre o ponto B, vale a pena concordar que substituir abreviaturas na expressão complicará o trabalho com o jacobiano e a descoberta das raízes da equação característica. Por exemplo, depois de tentar encontrá-los usando as ferramentas de computação WolframAlpha, a saída das raízes levou cerca de cinco linhas, o que não permite trabalhar com elas em termos literais. Claro, se já existem parâmetros existentes, parece possível encontrar rapidamente um ponto de equilíbrio, mas este é um caso especial, pois encontraremos o estado de equilíbrio, se houver, apenas para esses parâmetros, o que não é adequado para a decisão sistema de suporte para o qual o modelo está planejado para ser criado.

Devido à complexidade de trabalhar com as raízes da equação característica, construímos o arranjo mútuo de zero-isoclinas por analogia com o sistema analisado no trabalho de Bazykin (Bazykin, 2003). Isso nos permitirá considerar os possíveis estados do sistema e, no futuro, ao construir retratos de fase, encontrar pontos de equilíbrio e tipos de sua estabilidade.

Após alguns cálculos, as equações zero-isoclínicas assumem a seguinte forma:

(2.7)

Assim, as isoclinas têm a forma de parábolas.

Figura 2.3. Possível localização isoclínica nula

No total, existem quatro casos possíveis de arranjo mútuo de acordo com o número de pontos comuns entre as parábolas. Cada um deles tem seus próprios conjuntos de parâmetros e, portanto, os retratos de fase do sistema.

Retratos de 2 fases de sistemas

Vamos construir um retrato de fase do sistema, desde que e os demais parâmetros são iguais a 1. Nesse caso, um conjunto de variáveis ​​é suficiente, pois a qualidade não mudará.

Como pode ser visto nas figuras abaixo, o ponto zero é um nó instável, e o segundo ponto, se substituirmos os valores numéricos dos parâmetros, obtemos (-1,5, -1,5) - uma sela.

Figura 2.4. Retrato de fase para o sistema (2.2)

Assim, como nenhuma mudança deve ocorrer, para esse sistema existem apenas estados instáveis, o que provavelmente se deve à possibilidade de crescimento ilimitado.

Um modelo de proto-operação com duas restrições.

Neste sistema existe um fator limitante adicional, pelo que os diagramas de fases devem diferir do caso anterior, conforme se pode observar na figura. O ponto zero também é um nó instável, mas uma posição estável aparece neste sistema, ou seja, um nó estável. Com esses parâmetros, suas coordenadas (5.5,5.5), é mostrado na figura.

Figura 2.5. Retrato de fase para o sistema (2.3)

Assim, a restrição a cada termo possibilitou a obtenção de uma posição estável do sistema.

Modelo de proto-operação estendida.

Vamos construir retratos de fase para o modelo estendido, mas imediatamente usando sua forma modificada:

Vamos considerar quatro conjuntos de parâmetros, de modo a considerar todos os casos com ponto de equilíbrio nulo, e também demonstrar os diagramas de fase da simulação numérica usada para um ponto de equilíbrio diferente de zero: o conjunto A(1,0.5,0.5) corresponde ao estado , o conjunto B(1,0,5,-0,5) corresponde a defina C(-1.0.5,0.5) e defina D(-1.0.5,-0.5) , ou seja, um nó estável no ponto zero. Os dois primeiros conjuntos demonstrarão os retratos de fase para os parâmetros que consideramos na simulação numérica.

Figura 2.6. Retrato de fase para sistema (2.4) com parâmetros À-D.

Nas figuras, é preciso ficar atento aos pontos (-1,2) e (1,-2), respectivamente, neles aparece uma “sela”. Para uma representação mais detalhada, a figura mostra uma escala diferente da figura com um ponto de sela (1,-2). Na figura, nos pontos (1,2) e (-1,-2), é visível um centro estável. Quanto ao ponto zero, começando de figura em figura nos diagramas de fase, podemos distinguir claramente um nó instável, uma sela, uma sela e um nó estável.

Modelo de proto-cooperação estendida com restrição logística.

Como no modelo anterior, demonstraremos retratos de fase para quatro casos de um ponto zero, e também tentaremos observar soluções diferentes de zero nesses diagramas. Para fazer isso, pegue os seguintes conjuntos de parâmetros com os parâmetros especificados na seguinte ordem (): A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2 ,1) e D (1,2,1,2). Os restantes parâmetros para todos os conjuntos serão os seguintes: , .

Nas figuras apresentadas a seguir, podem-se observar os quatro estados de equilíbrio do ponto zero descritos na seção anterior para este sistema dinâmico. E também nas figuras, a posição estável de um ponto com uma coordenada diferente de zero.

Figura 2.7. Retrato de fase para sistema (2.5) com parâmetros A-B

3 Trajetórias integrais de sistemas

Modelo de proto-operação com restrição de Verhulst

Como no capítulo anterior, resolvemos cada uma das equações diferenciais separadamente e expressamos explicitamente a dependência das variáveis ​​com o parâmetro tempo.

(2.8)

(2.9)

Pode-se observar pelas equações obtidas que o valor de cada uma das variáveis ​​aumenta, o que é demonstrado no modelo tridimensional abaixo.

Figura 2.8. Modelo tridimensional para a equação (2.8)

Esse tipo de gráfico inicialmente se assemelha ao modelo malthusiano 3D insaturado discutido no Capítulo 1, pois apresenta um crescimento rápido semelhante, mas posteriormente você pode ver uma diminuição na taxa de crescimento à medida que o limite de produção é atingido. assim a final aparência curvas integrais é semelhante ao gráfico da equação logística que foi usada para limitar um dos termos.

Um modelo de proto-operação com duas restrições.

Resolvemos cada uma das equações usando as ferramentas Wolfram Alpha. Assim, a dependência da função x(t) é reduzida à seguinte forma:

(2.10)

Para a segunda função, a situação é similar, então omitimos sua solução. Os valores numéricos apareceram devido à substituição dos parâmetros por certos valores apropriados, o que não afeta o comportamento qualitativo das curvas integrais. Os gráficos abaixo mostram o uso de limites de crescimento à medida que o crescimento exponencial se torna logarítmico ao longo do tempo.

Figura 2.9. Modelo tridimensional para a equação (2.10)

Modelo de proto-operação estendida

Quase semelhante aos modelos com mutualismo. A única diferença está no crescimento mais rápido em relação a esses modelos, o que pode ser visto nas equações abaixo (se você observar o grau do expoente) e nos gráficos. A curva integral deve assumir a forma de um expoente.

(2.11)

(2.12)

Modelo de protocooperação estendido com restrição logística

A dependência x(t) se parece com isso:

Sem um gráfico fica difícil avaliar o comportamento da função, então usando as ferramentas já conhecidas por nós, vamos construí-la.

Figura 2.10 Modelo 3D para Equação

O valor da função diminui para valores não pequenos de outra variável, devido à ausência de restrições no termo bilinear negativo, e é um resultado óbvio

4 Dinâmica do sistema de empresas que interagem

Modelo de proto-operação com restrição de Verhulst.

Vamos construir o sistema (2.2). Usando as ferramentas já conhecidas por nós, construímos um modelo de simulação. Desta vez, ao contrário dos modelos mutualísticos, o modelo terá uma restrição logística.

Figura 2.11. Modelo de dinâmica de sistema para sistema (2.2)

Vamos executar o modelo. Nesse modelo, vale ressaltar o fato de que o crescimento da relação não é limitado por nada, e o crescimento da produção sem a influência do outro tem uma limitação específica. Se você observar a própria expressão da função logística, verá que caso a variável (número de mercadorias) exceda o volume máximo de armazenamento possível, o termo fica negativo. No caso em que há apenas uma função logística, isso é impossível, mas com um fator de crescimento adicional sempre positivo, isso é possível. E agora é importante entender que a função logística vai lidar com a situação de crescimento não muito rápido do número de produtos, por exemplo, linear. Vamos dar uma olhada nas fotos abaixo.

Figura 2.12. Um exemplo da operação do modelo de dinâmica do sistema para o sistema (2.2)

A figura da esquerda mostra a 5ª etapa do programa correspondente ao modelo proposto. Mas no momento vale a pena prestar atenção na figura certa.

Primeiro, para um dos fluxos de entrada para Y_stock, o link para x, expresso em termos de , foi removido. Isso é feito para mostrar a diferença de desempenho do modelo com fluxo linear sempre positivo e crescimento bilinear, que é apresentado para X_stock. Com fluxos lineares ilimitados, após ultrapassar o parâmetro K, o sistema em algum ponto chega ao equilíbrio (nesse modelo, o estado de equilíbrio é de 200 mil unidades de bens). Mas muito antes, o crescimento bilinear leva a um aumento acentuado na quantidade de mercadorias, passando para o infinito. Se deixarmos os fluxos positivos constantemente bilineares à direita e à esquerda, já em cerca de 20 a 30 etapas, o valor do acumulador chega à diferença de dois infinitos.

Com base no exposto, é seguro dizer que, no caso de uso posterior de tais modelos, é necessário limitar qualquer crescimento positivo.

Um modelo de proto-operação com duas restrições.

Tendo descoberto as deficiências do modelo anterior e introduzido uma restrição no segundo termo pelo fator de saturação, construiremos e executaremos um novo modelo.

Figura 2.13. Modelo de dinâmica de sistemas e um exemplo de seu funcionamento para o sistema (2.3)

Esse modelo, ao final, traz os resultados tão esperados. Acabou limitando o crescimento dos valores do acumulador. Como pode ser visto na figura à direita, para ambas as empresas, o equilíbrio é alcançado com um pequeno excesso de volume de armazenamento.

Modelo de proto-operação estendida.

Ao considerar a dinâmica do sistema deste modelo, serão demonstradas as capacidades do ambiente de software AnyLogic para visualização colorida de modelos. Todos os modelos anteriores foram construídos usando apenas elementos da dinâmica do sistema. Portanto, os próprios modelos pareciam discretos, não permitiam rastrear a dinâmica das mudanças na quantidade de produção ao longo do tempo e alterar os parâmetros durante a execução do programa. Ao trabalhar com este e os próximos modelos, tentaremos usar uma gama mais ampla de recursos do programa para alterar as três desvantagens acima.

Em primeiro lugar, além da seção “dinâmica do sistema”, o programa também contém as seções “imagens”, “objetos 3D”, que permitem diversificar o modelo, o que é útil para sua apresentação posterior, pois torna o modelo parecer “mais agradável”.

Em segundo lugar, para acompanhar a dinâmica das mudanças nos valores do modelo, existe uma seção de "estatísticas" que permite adicionar gráficos e várias ferramentas de coleta de dados vinculando-os ao modelo.

Em terceiro lugar, para alterar parâmetros e outros objetos durante a execução do modelo, existe uma seção "controles". Os objetos nesta seção permitem que você altere os parâmetros enquanto o modelo está em execução (por exemplo, “slider”), selecione diferentes estados do objeto (por exemplo, “switch”) e execute outras ações que alteram os dados inicialmente especificados durante o trabalho .

O modelo é adequado para ensinar a conhecer a dinâmica das mudanças na produção das empresas, mas a falta de restrições ao crescimento não permite sua utilização na prática.

Modelo de proto-cooperação estendida com restrição logística.

Usando o modelo anterior já preparado, adicionaremos parâmetros da equação logística para limitar o crescimento.

Omitimos a construção do modelo, pois os cinco modelos anteriores apresentados no trabalho já demonstraram todos ferramentas necessárias e princípios de trabalho com eles. Vale apenas observar que seu comportamento é semelhante ao modelo de protocooperação com a restrição de Verhulst. Aqueles. a falta de saturação dificulta sua aplicação prática.

Depois de analisar os modelos em termos de protocooperação, definimos alguns pontos principais:

Os modelos considerados neste capítulo na prática são mais adequados do que os mutualísticos, pois possuem posições de equilíbrio estáveis ​​diferentes de zero mesmo com dois termos. Deixe-me lembrá-lo de que nos modelos de mutualismo só conseguimos isso adicionando um terceiro termo.

Modelos adequados devem ter restrições em cada um dos termos, pois caso contrário, um aumento acentuado nos fatores bilineares “destrói” todo o modelo de simulação.

Com base no ponto 2, ao adicionar uma proto-operação com a limitação Verhulst do fator de saturação ao modelo estendido, bem como adicionar uma menor quantidade crítica de produção, o modelo deve se tornar o mais próximo possível do estado real das coisas. Mas não se esqueça que tais manipulações do sistema irão complicar sua análise.

Conclusão

Como resultado do estudo, foram analisados ​​seis sistemas que descrevem a dinâmica de produção de empresas que se influenciam mutuamente. Como resultado, os pontos de equilíbrio e os tipos de sua estabilidade foram determinados de uma das seguintes maneiras: analiticamente ou graças aos retratos de fase construídos nos casos em que uma solução analítica não é possível por algum motivo. Para cada um dos sistemas foram construídos diagramas de fases, bem como modelos tridimensionais, sobre os quais, ao projetar, é possível obter curvas integrais nos planos (x, t), (y, t). Em seguida, utilizando o ambiente de modelagem AnyLogic, todos os modelos foram construídos e suas opções de comportamento foram consideradas sob determinados parâmetros.

Depois de analisar os sistemas e construir seus modelos de simulação, torna-se óbvio que esses modelos podem ser considerados apenas como treinamento, ou para descrever sistemas macroscópicos, mas não como um sistema de apoio à decisão para empresas individuais, devido à sua baixa precisão e em alguns lugares não é uma representação confiável dos processos em andamento. Mas também não se esqueça que por mais verdadeiro que seja o sistema dinâmico que descreve o modelo, cada empresa/organização/indústria tem os seus próprios processos e limitações, pelo que não é possível criar e descrever um modelo geral. Em cada caso específico, ele será modificado: para se tornar mais complicado ou, ao contrário, para ser simplificado para trabalhos posteriores.

Fazendo uma conclusão das conclusões de cada capítulo, vale a pena focar no fato revelado de que a introdução de restrições em cada um dos termos da equação, embora complique o sistema, mas também permite detectar posições estáveis ​​do sistema, bem como aproximá-lo do que está acontecendo na realidade. E vale ressaltar que os modelos de protocooperação são mais adequados para estudo, pois possuem posições estáveis ​​diferentes de zero, em contraste com os dois modelos mutualísticos que consideramos.

Assim, o objetivo deste estudo foi alcançado, e as tarefas foram concluídas. No futuro, como continuação deste trabalho, será considerado um modelo estendido da interação do tipo de proto-operação com três restrições introduzidas nela: logística, fator de saturação, menor número crítico, o que deve permitir criar uma modelo para um sistema de apoio à decisão, bem como um modelo com três empresas. Como extensão do trabalho, podemos considerar dois outros tipos de interação além da simbiose, que foram mencionados no trabalho.

Literatura

1. Bhatia Nam Parshad; Szegh Giorgio P. (2002). Teoria da estabilidade de sistemas dinâmicos. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R.L.; Hall, G. R. (2006). Equações diferenciais. Londres: Thompson. pp. 96-111.

Boeing, G. (2016). Análise Visual de Sistemas Dinâmicos Não Lineares: Caos, Fractais, Auto-Similaridade e os Limites da Previsão. sistemas. 4(4):37.

4. Campbell, David K. (2004). Física não linear: Respiração fresca. Natureza. 432 (7016): 455-456.

Elton C. S. (1968) reimpressão. ecologia animal. Grã-Bretanha: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Dinâmica Industrial. Imprensa MIT.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinâmica Econômica (Terceira ed.). Berlim: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). A natureza da modelagem matemática. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press.

10 Goodman M. (1989). Notas de Estudo em Dinâmica de Sistemas. Pégaso.

Grebogi C, Ott E e Yorke J. (1987). Caos, Atratores Estranhos e Limites da Bacia Fractal em Dinâmica Não Linear. Science 238 (4827), pp 632-638.

12 Hairer Ernst; Norsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolvendo equações diferenciais ordinárias I: Problemas não rígidos, Berlim, Nova York

Hanski I. (1999) Metapopulation Ecology. Oxford University Press, Oxford, pp. 43-46.

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Cálculo: Simples e Multivariável (6 ed.). João Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Primeiras integrais analíticas globais para o sistema Lotka-Volterra planar real, J. Math. Física

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Equações Diferenciais Ordinárias Não Lineares: Introdução para Cientistas e Engenheiros (4ª ed.). Imprensa da Universidade de Oxford.

Khalil Hassan K. (2001). sistemas não lineares. Prentice Hall.

Lamar University, Notas matemáticas on-line - Plano de fase, P. Dawkins.

Lamar University, Notas de Matemática Online - Sistemas de Equações Diferenciais, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Coletores diferenciais. Reading, Massachusetts-London-Don Mills, Ontário: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Lei Averill M. (2006). Modelagem e Análise de Simulação com Software Expertfit. Ciência McGraw-Hill.

Lazard D. (2009). Trinta anos de resolução de sistemas polinomiais, e agora? Jornal de Computação Simbólica. 44(3):222-231.

24 Lewis Mark D. (2000). A Promessa de Abordagens de Sistemas Dinâmicos para uma Conta Integrada do Desenvolvimento Humano. desenvolvimento infantil. 71(1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). An Essay on the Principle of Population, na reimpressão Oxford World Classics. p 61, final do Capítulo VII

26. Morecroft John (2007). Modelagem Estratégica e Dinâmica de Negócios: Uma Abordagem de Sistemas de Feedback. John Wiley & Filhos.

27. Nolte D.D. (2015), Introdução à Dinâmica Moderna: Caos, Redes, Espaço e Tempo, Oxford University Press.

O objetivo do estudo é desenvolver um método lógico orientado a supercomputador (método de restrição booleana) e uma tecnologia orientada a serviços para criar e usar um sistema computacional para um estudo qualitativo da dinâmica do comportamento de trajetórias de sistemas dinâmicos binários autônomos sobre um intervalo de tempo finito. A relevância do tema é confirmada pelo leque cada vez maior de aplicações de modelos binários em pesquisa científica e aplicada, bem como a necessidade de uma análise qualitativa de tais modelos com uma grande dimensão de vetores de estado. Um modelo matemático de um sistema binário autônomo em um intervalo de tempo finito e uma equação booleana equivalente a este sistema são apresentados. A especificação de uma propriedade dinâmica é proposta para ser escrita na linguagem da lógica de predicados usando quantificadores existenciais e universais limitados. São obtidas equações booleanas para a busca de estados e ciclos de equilíbrio de um sistema binário e condições para seu isolamento. As principais propriedades do tipo de alcançabilidade são especificadas (acessibilidade, segurança, acessibilidade simultânea, acessibilidade sob restrições de fase, atração, conectividade, acessibilidade total). Para cada propriedade, seu modelo é construído na forma de uma restrição booleana (uma equação booleana ou uma fórmula booleana quantificada) que satisfaça a especificação lógica da propriedade e as equações da dinâmica do sistema. Assim, verificar a viabilidade de várias propriedades do comportamento de trajetórias de sistemas dinâmicos binários autônomos em um intervalo de tempo finito é reduzido ao problema da viabilidade de restrições booleanas usando solucionadores SAT e TQBF modernos. É fornecido um exemplo de demonstração do uso dessa tecnologia para testar a viabilidade de algumas das propriedades fornecidas anteriormente. Em conclusão, são listadas as principais vantagens do método de restrição booleana, as características de sua implementação de software no âmbito de uma abordagem orientada a serviços e são indicadas as direções para o desenvolvimento do método para outras classes de sistemas dinâmicos binários.

sistema dinâmico binário

propriedade dinâmica

análise qualitativa

restrições booleanas

problema de satisfatibilidade booleana

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Teoria e Prática da Resolução SAT. Dagstuhl Reports. 2015. vol. 5. não. 4. R. 98–122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Doze anos de avaliações QBF: QSAT é PSPACE-Hard e mostra. fundam. informar. 2016. vol. 149. R. 133–58.

3. Bohman D., Posthof H. Sistemas dinâmicos binários. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 p.

4. Maslov S.Yu. A teoria dos sistemas dedutivos e sua aplicação. Moscou: Rádio e comunicação, 1986. 133 p.

5. Jhala R., Majumdar R. Verificação do modelo de software. ACM Computing Surveys. 2009. vol. 41 nº. 4 R. 21:1–21:54.

6. Vasiliev S.N. Método de redução e análise qualitativa de sistemas dinâmicos. I–II // Izvestiya RAN. Teoria e sistemas de controle. 2006. No. 1. S. 21–29. Nº 2, pp. 5–17.

7. Formato DIMACS [Recurso eletrônico]. Modo de acesso: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (acessado em 24.07.2018).

8. Padrão QDIMACS [Recurso eletrônico]. Modo de acesso: http://qbflib.org/qdimacs.html (acessado em 24/07/2018).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Sistemas de Tempo Discreto com Dinâmica Baseada em Eventos: Desenvolvimentos Recentes em Métodos de Análise e Síntese. Mário Alberto Jordão (Ed.). Sistemas de tempo discreto. intech. 2011. R. 447–476.

10. Vasiliev S.N. Alcançabilidade e conectividade em uma rede de autômatos com regra geral mudança de estado // Equações diferenciais. 2002. V. 38. No. 11. S. 1533–1539.

11. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Gorsky S.A., Pashinin A.A. Tecnologia multi-agente para automatizar a solução paralela de equações booleanas em ambiente de computação distribuída // Tecnologias computacionais. 2016. V. 21. No. 3. S. 5–17.

12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. Um solucionador de QBF com reconhecimento de dependência. Jornal sobre Satisfabilidade. Modelagem e Computação Booleana. 2010. vol. 9. R. 71–76.

13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Solucionadores Distribuídos de Problemas Aplicados Baseados em Microsserviços e Redes de Agentes. Proc. Do 41º Estagiário. Convenção sobre Tecnologia da Informação e Comunicação, Eletrônica e Microeletrônica (MIPRO-2018). R. 1643–1648.

14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Solucionador Paralelo Escalável de Problemas de Satisfabilidade Booleana. Proc. Do 41º Estagiário. Convenção sobre Tecnologia da Informação e Comunicação. Eletrônica e Microeletrônica (MIPRO-2018). R. 244–249.

15. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. A tecnologia de resolução de problemas aplicada com base no modelo de domínio computacional distribuído: uma abordagem descentralizada // Parallel Computing Technologies XII International Conference, PaVT'2018, Rostov-on-Don, 2 a 6 de abril de 2018. Artigos curtos e descrições de pôsteres. Chelyabinsk: Centro de Publicações do SUSU, 2018. P. 34–48.

A gama de aplicações de modelos dinâmicos binários é extremamente ampla e, a cada ano, aumenta o número de objetos e tarefas em que seu uso é necessário. Um exemplo clássico é um autômato síncrono binário, que é um modelo de muitos dispositivos discretos em sistemas de controle, tecnologia de computador, telemecânica. Aplicações modernas de modelos dinâmicos binários incluem os problemas de bioinformática, economia, sociologia e várias outras áreas que parecem distantes do uso de variáveis ​​de dois valores. A este respeito, a relevância de desenvolver novos métodos e melhorar os existentes para análise qualitativa do comportamento das trajetórias de sistemas dinâmicos binários (DDS) aumenta significativamente.

Como se sabe, o objetivo de uma análise qualitativa de um sistema dinâmico (não apenas binário) é obter uma resposta positiva ou negativa para a pergunta: a propriedade dinâmica necessária é válida em um determinado sistema? Vamos reformular esta questão da seguinte forma: O comportamento das trajetórias de um sistema dinâmico satisfaz um determinado conjunto de restrições que caracterizam a propriedade? Além disso, usaremos essa interpretação do objetivo de uma análise qualitativa das propriedades dinâmicas do sistema.

Para DDS, cuja operação é considerada em um intervalo de tempo finito, tais restrições são booleanas e são escritas na linguagem de equações booleanas ou fórmulas booleanas com quantificadores. O primeiro tipo de restrições leva à necessidade de resolver o problema SAT (boolean satisfatability problem); o segundo tipo de restrições está associado à solução do problema TQBF (verificação da veracidade de fórmulas booleanas quantificadas). O primeiro problema é um típico representante da classe de complexidade NP, e o segundo problema é a classe de complexidade PSPACE. Como é sabido, a completude PSPACE de um problema discreto fornece evidências mais fortes de sua intratabilidade do que a completude NP. Por isso, a redução do problema de análise qualitativa de DDS ao problema SAT é mais preferível do que a redução ao problema TQBF. No caso geral, o estudo de nem todas as propriedades do DDS pode ser representado na linguagem das equações booleanas.

A possibilidade teórica de usar restrições booleanas (ou seja, equações booleanas) na análise qualitativa do DDS foi demonstrada pela primeira vez em . No entanto, deve-se notar que a aplicação dessa abordagem na prática naquela época era limitada pela falta de algoritmos e programas eficientes para resolver equações booleanas (especialmente com um grande número de variáveis ​​desconhecidas), o que reduziria significativamente o espaço de busca. Na última década, como resultado de intensa pesquisa nesta área, surgiu um número suficiente de vários solucionadores de equações booleanas eficientes (resolvedores SAT) que usam conquistas modernas (novas heurísticas, estruturas de dados rápidas, computação paralela etc.) o problema de satisfatibilidade booleana. Processos semelhantes (mas com algum atraso) também são observados no campo da criação de algoritmos e programas cada vez mais eficientes para resolver o problema TQBF. Assim, até o momento, existem todos os pré-requisitos necessários para o desenvolvimento sistemático do método de restrições booleanas na análise qualitativa do DDS, sua implementação de software e aplicação na resolução de problemas científicos e aplicados.

Além do método de restrição booleana, outros métodos de análise qualitativa também são aplicáveis ​​ao DDS, que incluem análise dedutiva, verificação de modelo e método de redução. Cada um desses métodos (incluindo o método de restrição booleana) tem suas limitações, vantagens e desvantagens. Uma desvantagem comum é que todos os métodos são de natureza enumerativa e o problema de redução de enumeração é fundamental para esses métodos.

A importância da análise dedutiva, que envolve a aplicação de axiomas e regras de inferência para comprovar o correto funcionamento de um sistema, é reconhecida por uma ampla gama de especialistas, mas trata-se de um método trabalhoso e, portanto, pouco utilizado. No método de verificação de modelos, a linguagem de especificação de propriedades requerida utiliza a linguagem de lógicas temporais, o que é incomum para especialistas em dinâmica de autômatos. O método de redução está associado à construção de um modelo simplificado (em certo sentido) do sistema original, ao estudo de suas propriedades e às condições de transferência dessas propriedades para o sistema original Sistema complexo. As condições de transmissibilidade dos bens só são suficientes neste caso. A simplicidade da ideia do método de redução na análise qualitativa do DDS enfrenta o problema de escolher um sistema simplificado que satisfaça todas as condições do método.

O uso prático do método de restrição booleana envolve a algoritmização e automação dos seguintes processos:

1) desenvolvimento de uma linguagem lógica para especificação de propriedades dinâmicas voltada para um especialista em dinâmica de sistemas;

2) construir um modelo de uma propriedade dinâmica na forma de uma restrição booleana de um tipo ou outro que satisfaça a especificação lógica da propriedade e as equações de dinâmica de um sistema binário;

3) apresentação do modelo resultante no formato internacional DIMACS ou QDIMACS;

4) seleção (desenvolvimento) de um solver paralelo (distribuído) eficiente do problema de satisfatibilidade de restrições booleanas (SAT ou TQBF solver);

5) desenvolvimento de ferramentas para criação de serviços de software;

6) desenvolvimento de serviços para pesquisa qualitativa de várias propriedades dinâmicas de DDS.

mirar do presente estudo é a solução apenas dos dois primeiros problemas em relação à algoritmização de estudos qualitativos de DDS síncronos autônomos (sem entradas de controle). Tais sistemas em publicações em inglês são chamados de redes booleanas síncronas (rede booleana). Outros aspectos da aplicação do método de restrição booleana (incluindo para DDS com entradas de controle) são o assunto das publicações a seguir.

Modelo matemático de DDS autônomo

Seja X = Bn (B = (0, 1) o conjunto de vetores binários de dimensão n (espaço de estados DDS) Seja t∈T = (1,…,k) o tempo discreto (número do ciclo).

Para cada estado x0∈X, chamado de estado inicial, definimos a trajetória x(t, x0) como uma sequência finita de estados x0, x1,…, xk do conjunto X. Além disso, consideraremos DDS em que cada par de estados adjacentes xt, x(t - 1) (t∈T) as trajetórias são relacionadas pela relação

xt = F(xt - 1). (1)

Aqui F:X>X é uma função de vetor de álgebra lógica, chamada de função de transição. Assim, para qualquer x0∈X, o sistema de equações booleanas (1) representa um modelo da dinâmica do comportamento das trajetórias DDS no espaço de estados X em um intervalo de tempo finito T = (1, 2,…,k). Aqui e abaixo, o valor k na definição do conjunto T é assumido como uma constante predeterminada. Essa limitação é bastante natural. O ponto é que, em uma análise qualitativa do comportamento das trajetórias DDS, a questão do que pode ser dito sobre a viabilidade de alguma propriedade dinâmica para um k fixo e não muito grande é de interesse prático. A escolha do valor de k em cada caso específico é baseada em informações a priori sobre a duração dos processos no sistema discreto simulado.

Sabe-se que o sistema de equações booleanas (1) com estado inicial x0∈X para T = (1, 2,…,k) é equivalente a uma equação booleana da forma

Para k = 1 (somente transições de uma etapa são consideradas), a Eq. (2) assume a forma

(3)

As soluções para esta equação definem um gráfico direcionado que consiste em 2n vértices marcados por um dos 2n estados do conjunto X. Os vértices x0 e x1 do gráfico são conectados por um arco direcionado do estado x0 ao estado x1. Tal gráfico na teoria de autômatos binários é chamado de diagrama de transição. A representação do comportamento DDS na forma de um diagrama de transição é muito clara tanto na construção de trajetórias quanto no estudo de suas propriedades, mas é realizável na prática apenas para pequenas dimensões n do vetor de estado x∈X.

Meios de linguagem para especificar propriedades dinâmicas

É mais conveniente especificar uma especificação de propriedade dinâmica na linguagem da lógica formal. Seguindo o artigo, denotamos por X0∈X, X1∈X, X*∈X os conjuntos de estados inicial, admissível e alvo.

Os principais elementos sintáticos da fórmula lógica da propriedade dinâmica são: 1) variáveis ​​de sujeito (componentes dos vetores x0, x1,…, xk, tempo t); 2) quantificadores limitados de existência e universalidade; 3) conectivos lógicos v, &; fórmulas finais. A fórmula final representa a afirmação de que alguns estados do conjunto de trajetórias x(t, x0) (x0∈X0) pertencem aos conjuntos de avaliação X* e X1.

Deve-se notar que o uso de quantificadores existenciais e universais limitados fornece uma maneira de escrever uma propriedade dinâmica familiar a um especialista em dinâmica. No processo de construção de um modelo booleano, as propriedades do sistema (1) são substituídas por quantificadores restritos por quantificadores comuns de acordo com as seguintes definições:

onde A(y) é um predicado que limita o valor da variável y.

Devido à finitude do alcance da variável t, os quantificadores limitados de existência e universalidade com relação a esta variável são substituídos por fórmulas equivalentes que não contêm quantificadores

A seguir, assumiremos que os elementos dos conjuntos X0, X1, X* são determinados, respectivamente, pelos zeros das seguintes equações booleanas

ou funções características desses conjuntos, .

Levando em consideração a restrição aos estados iniciais G0(x) = 0, juntamente com as equações (2, 3), usaremos as seguintes equações booleanas para encurtar a notação:

(4)

Análise qualitativa preliminar de DDS autônomo

Na fase de análise preliminar, a ramificação do estado (o conjunto de seus predecessores imediatos), a presença de estados de equilíbrio e trajetórias fechadas (ciclos) podem ser reveladas (se necessário).

O estado x1 em (3) será chamado o sucessor do estado x0, e x0 o predecessor do estado x1. Em um DDS autônomo, cada estado possui apenas um sucessor, e o número de predecessores de um determinado estado pode variar de zero a 2n - 1. Todos os predecessores imediatos x0 de um estado s∈X são zeros da equação booleana

Se a equação (6) não tiver soluções, então não há predecessores do estado s.

Os estados de equilíbrio (se existirem) são soluções para a equação booleana

A trajetória x0, x1,…, xk é chamada de ciclo de comprimento k se os estados x0, x1,…, xk-1 são diferentes entre si e xk = x0. Uma sequência cíclica de comprimento k (se existir) é uma solução para a equação booleana

onde = 0 ( ) - condições de diferença pairwise para o conjunto de estados C de um ciclo de comprimento k. Se nenhum dos estados do ciclo tiver predecessores que não pertençam ao conjunto C, esse ciclo é chamado de isolado. Sejam os elementos s do conjunto C determinados pela solução da equação booleana Gc(s) = 0. Então é fácil mostrar que a condição de isolamento do ciclo é equivalente à ausência de zeros na seguinte equação booleana:

As soluções da equação (7) (se existirem) determinam os estados do ciclo que possuem predecessores que não pertencem ao conjunto C.

Como o estado de equilíbrio é um ciclo de comprimento k = 1, sua condição de isolamento é semelhante à condição de isolamento com k ≥ 2, com a diferença de que Gc(s) tem a forma de uma disjunção completa que determina esse estado de equilíbrio.

A seguir, estados e ciclos de equilíbrio não isolados serão chamados de atratores.

Especificação de propriedades dinâmicas de um tipo de acessibilidade

A principal propriedade do DDS, a necessidade de verificar que mais frequentemente surge na prática, é a propriedade de acessibilidade tradicionalmente estudada na teoria dos grafos (no nosso caso, tal grafo é um diagrama de transição) e suas diversas variações. A alcançabilidade é definida como o problema clássico de analisar o comportamento das trajetórias DDS.

A definição desta propriedade está relacionada com a atribuição dos conjuntos anteriormente introduzidos X0, X*, X1 (correspondentes a estes conjuntos de equações booleanas). Supõe-se que os conjuntos X0, X*, X1 satisfazem a restrição

Como o conjunto T é finito, a propriedade de alcançabilidade e suas variações serão entendidas mais adiante como a propriedade de alcançabilidade prática (atingibilidade em um número finito de ciclos). As seguintes propriedades de tipo de acessibilidade são consideradas:

1. A principal propriedade de alcance de um conjunto X* a partir de um conjunto X0 é formulada da seguinte forma: qualquer trajetória lançada a partir do conjunto de estados iniciais X0 atinge o conjunto alvo X*. Usando os quantificadores existenciais e universais restritos, a fórmula para esta propriedade é:

2. A propriedade de segurança garante que, para qualquer trajetória lançada de X0, o conjunto X* seja inacessível:

3. Propriedade de acessibilidade simultânea. Em alguns casos, pode ser definido um “requisito mais rígido”, que consiste em que cada trajetória atinja o alvo definido em exatamente k ciclos (k∈T):

4. Propriedade de acessibilidade sob restrições de fase:

Esta propriedade garante que todas as trajetórias emitidas do conjunto X0, até atingirem o alvo definido X*, estejam no conjunto X1.

5. Propriedade de atração. Seja X* um atrator. Então a fórmula lógica da propriedade de atração coincide com a fórmula da propriedade de acessibilidade principal:

aqueles. para cada trajetória liberada do conjunto X0, existe um tempo t∈T, a partir do qual a trajetória não ultrapassa o conjunto X*. O conjunto X0 neste caso pertence a uma parte da área de atração do conjunto X*(X0∈Xa, onde Xа é a área total de atração (pool) do atrator).

Observe que todas as variáveis ​​nas fórmulas de propriedades acima estão realmente conectadas, pois a trajetória x0, x1,…, xk é completamente determinada pelo estado inicial. Uma vez que os quantificadores relativos à variável t são substituídos por operações de disjunção multiplace ou conjunção dos predicados correspondentes, em cada uma das fórmulas resta um único quantificador universal limitado (), o que nos permite escrever as condições para a viabilidade desses propriedades na linguagem de equações booleanas (na forma de um problema SAT).

Apresentamos duas propriedades, cuja verificação leva à necessidade de resolver o problema TQBF.

6. Propriedade de conectividade do conjunto de destino:

aqueles. existe um estado inicial x0∈X0 tal que cada estado alvo x*⊆X* é alcançável em algum tempo t∈T, o que significa que existe uma trajetória correspondente a este estado, tal que todos os estados alvo x*∈X* pertencem a esta trajetória.

7. Propriedade de acessibilidade total de um conjunto X* de X0:

aqueles. cada estado de destino é alcançável a partir de X0.

Verificando a viabilidade de propriedades dinâmicas

Para propriedades (1-5), a verificação de sua viabilidade é reduzida a encontrar os zeros da equação booleana, cuja tecnologia de formação é de natureza padronizada e é considerada em detalhes apenas para a principal propriedade de viabilidade. As propriedades (6, 7) levam ao problema de verificar a veracidade de uma fórmula booleana quantificada.

1. A principal propriedade da acessibilidade. Sua fórmula lógica é

Levando em conta (4), escrevemos a fórmula (8) como

onde é a função característica do conjunto de estados da trajetória liberada do estado inicial x0∈X0. Vamos nos livrar do quantificador existencial em (9). Então teremos

onde é a função característica do conjunto X*. Substituímos os quantificadores universais restritos por quantificadores comuns. Como resultado, obtemos

A fórmula (10) é verdadeira se e somente se a expressão do subquantificador for identicamente verdadeira, ou seja,

A verdade idêntica da implicação significa que a função booleana é uma consequência lógica da função , ou seja, qualquer trajetória com estado inicial x0∈X0 atinge o alvo definido X*.

A satisfação da identidade (11) é equivalente à ausência de zeros na equação booleana

Ao derivar (12), nos livramos da implicação e substituímos ϕ*(x0, x1,..., xk) por . Se a equação (12) tiver pelo menos uma solução, então a propriedade de acessibilidade não é válida. Tal solução representa (em certo sentido) um contra-exemplo para a propriedade que está sendo verificada e pode ajudar o pesquisador a identificar a causa do erro.

Além disso, para abreviar, para cada propriedade (2-4) escrevemos apenas uma equação do tipo (12), sugerindo ao leitor que reproduza de forma independente os argumentos necessários próximos aos dados para a principal propriedade de acessibilidade.

2. Propriedade de segurança

3. Propriedade de acessibilidade simultânea

4. Propriedade de acessibilidade sob restrições de fase

5. Propriedade de atração. A viabilidade deste imóvel é verificada em duas fases. Na primeira etapa, verifica-se se o conjunto X* é um atrator. Se a resposta for sim, então a propriedade de acessibilidade principal é verificada no segundo estágio. Se X* for alcançável a partir de X0, então todas as condições da propriedade de atração serão satisfeitas.

6. Propriedade de conectividade

7. Propriedade de acessibilidade total`

Para propriedades (6, 7), a forma escalar da igualdade de dois vetores booleanos xt = x* tem a forma

Vamos demonstrar a tecnologia acima para análise qualitativa de DDS autônomo usando o método de restrição booleana ao verificar a viabilidade de algumas das propriedades acima para o modelo 3.2 do trabalho:

Denote por x0∈X = B3 o estado inicial do modelo (13). Seja T = (1, 2). Vamos escrever as funções das transições de uma e duas etapas do modelo (13) necessárias para a especificação das propriedades:

(14)

onde o sinal "." denota a operação de conjunção.

Para verificar a satisfatibilidade de cada propriedade, são especificados os conjuntos inicial (X0) e alvo (X*), que são determinados pelos zeros das equações G0(x) = 0, G*(x) = 0 ou pela característica funções desses conjuntos (consulte a Seção 2). Como um solucionador SAT, o solucionador do complexo instrumental (IC) REBUS é usado e o solucionador TQBF é o DepQBF . A codificação das variáveis ​​em modelos booleanos das propriedades consideradas a seguir para esses solucionadores é dada na Tabela. 1, os modelos booleanos dessas propriedades nos formatos DIMACS e QDIMACS estão localizados na Tabela. 2.

tabela 1

Codificação variável

mesa 2

Modelos de propriedade booleana

1. A principal propriedade de acessibilidade (k = 2). Seja X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1). Os conjuntos inicial e alvo são definidos respectivamente pelas equações G0(x) = x1 = 0 e . A equação booleana (12) neste caso assume a forma

onde a função ϕ(x0, x1, x2) é definida em (14). O solucionador IR REBUS dá a resposta "unsat" (a equação não tem zeros), portanto a propriedade de acessibilidade X* de X0 é satisfeita, o que é claramente visto no próximo diagrama de transição mostrado na figura.

2. Ciclos de comprimento k = 2. Uma sequência cíclica de comprimento 2 (se existir) é uma solução para a equação booleana

A função parece

A expressão R(x0, x1) não foi incluída na equação quando o ciclo foi encontrado, pois não existem ciclos de comprimento k = 1 (estados de equilíbrio) no modelo (13). Usando o solver IR REBUS, foram obtidas duas respostas (no formato de saída DIMACS): 1 2 3 4 5 -6 0 e 1 2 -3 4 5 6 0, correspondendo a sequências cíclicas (figura): ((1 1 1) , (1 1 0)) e ((1 1 0), (1 1 1)). Os conjuntos de estados de ambos os ciclos coincidem, o que significa que o modelo (13) possui um ciclo de comprimento k = 2.

Diagrama de Transição do Sistema (13)

3. A propriedade de isolamento do ciclo. Se os elementos s do conjunto de estados C de um ciclo de comprimento k = 2 são determinados pela solução da equação booleana Gc(s) = 0, então a condição de isolamento do ciclo é equivalente à ausência de zeros na seguinte equação booleana equação:

Como C = ((1 1 1), (1 1 0)), temos

Para esta equação, o solver IR REBUS encontra duas soluções: -1 2 3 4 5 -6 0 e -1 2 -3 4 5 -6 0 (em representação binária, de acordo com a codificação de variáveis ​​na Tabela 1, são pares de estados (0 1 1), (1 1 0) e ((0 1 0), (1 1 0)) Assim, o estado do ciclo (1 1 0) tem dois predecessores, (0 1 1) e (0 1 0), que não pertencem ao ciclo do conjunto de estados Isso significa que a propriedade de isolamento do ciclo não é satisfeita, ou seja, esse ciclo é um atrator.

4. Propriedade de atração. Seja X* = C um atrator. A fórmula lógica da propriedade de atração é a mesma que a fórmula da propriedade de acessibilidade principal

e a equação booleana correspondente para o nosso caso tem a forma

Vamos escrever as funções G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) e . A função ϕ(x0, x1, x2) é dada em (14). Para X* = C, a expressão é . Considere duas opções para configurar o conjunto de estados iniciais X0, para os casos de cumprimento (A) e não cumprimento (B) da propriedade de atração para k = 2 ciclos.

R. Deixe. Então

Neste caso, para a equação booleana (15), a resposta é "unsat". A propriedade de atração para um dado conjunto X0 é satisfeita.

B. Deixe . Então

Neste caso, IR REBUS para a equação (15) encontra uma solução: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, que corresponde à trajetória ((1 0 1),(1 0 0),(0 1 1)) . Esta trajetória com o estado inicial x0 = (1 0 1) não atinge o conjunto X* = C em dois ciclos, o que significa que a propriedade de atração não pode ser satisfeita para o X0 dado.

5. Propriedade de conectividade. A fórmula lógica da propriedade de conectividade tem a seguinte forma:

Para k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), onde a função ϕ(x0, x1, x2) é dada em (14). Vamos escolher o estado (1 0 1) como o estado inicial. Então . Deixe o alvo definir X* = ((0 1 1), (1 0 0)). Nesse caso, a função G*(x*) tem a forma

Vamos escrever G*(x*) no formato CNF:

Usando a lei de De-Morgan, encontramos a negação da função ϕ*(x0, x1, x2). Substituindo todas as funções obtidas em (16) e tendo em conta a codificação das variáveis ​​booleanas (Tabela 1), obtemos um modelo Booleano no formato QDIMACS (Tabela 2). O solucionador DepQBF dá a resposta "sat", que significa a verdade da afirmação (16). A propriedade de conectividade para o dado X0, X*, T = (1, 2) é satisfeita.

Conclusão

As principais vantagens do método de restrição booleana no estudo qualitativo do DDS incluem:

1. A linguagem lógica usada por um especialista em dinâmica de autômatos para especificar uma propriedade dinâmica através do uso de quantificadores de existência limitada e universalidade.

2. Com base na fórmula da propriedade e nas equações dinâmicas, a construção da equação booleana correspondente ou uma fórmula booleana quantificada é realizada automaticamente.

3. É bastante fácil automatizar o processo de conversão das expressões booleanas resultantes em forma normal conjuntiva com a geração posterior de um arquivo nos formatos DIMAX e QDIMAX, que são inseridos para solucionadores SAT e solucionadores QBF.

4. O problema de reduzir a enumeração é até certo ponto resolvido pelos desenvolvedores desses solucionadores e é protegido por especialistas na análise qualitativa do DDS.

5. É fornecida a possibilidade de resolver o problema da análise qualitativa do DDS para grandes dimensões do vetor de estado n em um intervalo de tempo suficientemente longo T. Em termos do número de estados, o método de restrição booleana é quantitativamente compatível com a verificação do modelo método. Devido ao fato de que nos últimos anos houve um aumento significativo no desempenho de algoritmos especializados para resolver problemas SAT e TQBF, o número total de variáveis ​​no modelo de propriedade booleana para solucionadores modernos pode ser medido em milhares.

O software para a análise qualitativa de DDS baseado no método de restrições booleanas é implementado no âmbito de uma abordagem orientada a serviços usando solucionadores especializados de equações booleanas. O artigo apresenta um exemplo de implementação do método de restrição booleana baseado em uma abordagem orientada a serviços para busca de ciclos e estados de equilíbrio em redes reguladoras de genes.

Deve-se notar que o método de restrição booleana é um método bastante geral para análise qualitativa de DDS em um intervalo de tempo finito. É aplicável não apenas a sistemas autônomos, mas também a sistemas com entradas de controle, a sistemas com profundidade de memória maior que um, a DDS geral, quando a função de transição é insolúvel em relação ao estado xt e tem a forma F(xt , xt-1) = 0. Para DDS com entradas, a propriedade de controlabilidade e suas diversas variações são de particular importância. Além dos problemas de análise DDS, o método de restrição booleana é aplicável aos problemas de síntese de realimentação (estática ou dinâmica, por estado ou por entrada), que garantem o cumprimento da propriedade dinâmica exigida no sistema sintetizado.

O estudo foi apoiado pela Fundação Russa para Pesquisa Básica, projeto nº 18-07-00596/18.

link bibliográfico

Automação e telemecânica, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, Dr. tech. Sci. (Instituto de Análise de Sistema RAS, Moscou)

ANÁLISE QUALITATIVA DE SISTEMAS DINÂMICOS COM OPERADOR Vd-ENTROPIA

Um método é proposto para estudar a existência, unicidade e localização de pontos singulares da classe considerada de DSEE. Condições de estabilidade "no pequeno" e "no grande" são obtidas. Exemplos de aplicação das condições obtidas são dados.

1. Introdução

Muitos problemas de modelagem matemática de processos dinâmicos podem ser resolvidos com base no conceito de sistemas dinâmicos com um operador de entropia (DEOS). O DSEE é um sistema dinâmico no qual a não linearidade é descrita pelo problema paramétrico de maximização da entropia. Feiomoiologicamente, o DSEO é um modelo de macrossistema com auto-reprodução "lenta" e alocação "rápida" de recursos. Algumas propriedades do DSEO foram estudadas. Este trabalho dá continuidade ao ciclo de estudos das propriedades qualitativas dos DSEOs.

Consideramos um sistema dinâmico com um operador Vd-entropia:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.

Nestas expressões:

C(x, y), u(x) são funções vetoriais continuamente diferenciáveis;

Entropia

(1.2) Hv (y) = uz 1n as > 0, s = T~m;

T - (r x w)-matriz com elementos ^ 0 tem posto total igual a r;

A função vetorial u(x) é considerada continuamente diferenciável, o conjunto

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

onde a- e a + são vetores de E+, onde a- é um vetor com componentes pequenos.

Usando a conhecida representação do operador de entropia em termos de multiplicadores de Lagrange. transformamos o sistema (1.1) na seguinte forma:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

onde rk = exp(-Ak) > 0 são os multiplicadores exponenciais de Lagrange.

Junto com o DSEE da forma geral (1.1), consideraremos, seguindo a classificação dada em .

DSEE com fluxo separável:

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

onde B(n x m)-matriz;

DSEO com fluxo multiplicativo:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab

onde W é uma matriz (n x m) com elementos não negativos, a é um vetor com componentes positivos, ® é o sinal da multiplicação coordenada.

O objetivo deste artigo é estudar a existência, unicidade e localização de pontos singulares do DSEE e sua estabilidade.

2. Pontos singulares

2.1. Existência

Considere o sistema (1.4). Os pontos singulares deste sistema dinâmico são determinados pelas seguintes equações:

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^como r^ = dk(x), k = 1,r.

Considere primeiro o sistema auxiliar de equações:

(2.4) C(q, z) = r, q e R,

onde o conjunto R é definido pela igualdade (1.3) e C(q, r) é uma função vetorial com componentes

(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

A equação (2.4) tem uma única solução r* para cada vetor fixo q, que segue das propriedades do operador Vg-entropia (ver ).

A partir da definição dos componentes da função vetorial С(g, z), ocorre a estimativa óbvia:

(2.6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Vamos denotar a solução da primeira equação por r+ e a segunda - por r-. vamos definir

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

e vetores r-dimensionais

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin , zmin).

Lema 2.1. Para todas as soluções q G Q (1 . 3) z*(q) da equação (2.4) pertencem ao vetor 1 ao segmento

zmin< z*(q) < zmax,

onde os vetores zmin e zmax são definidos pelas expressões (2.7)-(2.9).

A prova do teorema é dada no Apêndice. Qq

qk(x) (1.3) para x G Rn, então temos

Corolário 2.1. Sejam satisfeitas as condições do Lema 2.1 e as funções qk(x) satisfaçam as condições (1.3) para todo ex x G Rn. Então para todo x G Rm as soluções z* da Eq. (2.3) pertencem ao segmento vetorial

zmin< z* < zmax

Voltemos agora às equações (2.2). que determinam os componentes da função vetorial y(z). Os elementos de seu jacobiano têm a forma

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

para todo z G R+ exceto para 0 e g. Portanto, a função vetorial y(z) é estritamente monotônica crescente. De acordo com o Lema 2.1, ela é limitada por baixo e por cima, ou seja, para todo z G Rr (portanto, para todo x G Rn) seus valores pertencem ao conjunto

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

onde as componentes dos vetores yk, y+ são determinadas pelas expressões:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Considere a primeira equação em (2.1) e reescreva-a como:

(2.14) L(x, y) = 0 para todo y e Y ⊂ E^.

Esta equação determina a dependência da variável x na variável y pertencente a Y

(1.4) reduz-se à existência de uma função implícita x(y) definida pela equação (2.14).

Lema 2.2. Sejam satisfeitas as seguintes condições:

a) a função vetorial L(x, y) é contínua no conjunto de variáveis;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 para todo ex x e En para qualquer y e Y fixo.

Então existe uma única função implícita x*(y) definida em Y. Neste lema, J(x, y) é o jacobiano com elementos

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

A prova é fornecida no apêndice. Dos lemas acima segue

Teorema 2.1. Sejam satisfeitas as condições dos Lemas 2.1 e 2.2. Então existe um único ponto singular do DSEE (1.4) e, consequentemente, (1.1).

2.2. Localização

O estudo da localização de um ponto singular é entendido como a possibilidade de estabelecer o intervalo no qual ele está localizado. Esta tarefa não é muito simples, mas para algumas classes de DSEE tal intervalo pode ser estabelecido.

Vamos nos voltar para o primeiro grupo de equações em (2.1) e representá-las na forma

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

onde y- e y+ são definidos pelas igualdades (2.12), (2.13).

Teorema 2.2. Seja a função vetorial L(x,y) continuamente diferenciável e monotonicamente crescente em ambas as variáveis, ou seja,

--> 0, --> 0; i, l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Então a solução do sistema (2.16) em relação à variável x pertence ao intervalo (2.17) xmin x x x xmax,

a) os vetores xmin, xmax têm a forma

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin-^Qin^ ■, xmax-^QaX^;

6) x- e x+ - componentes da solução das seguintes equações

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

com oo m é claro.

A prova do teorema é dada no Apêndice.

3. Sustentabilidade do DSEA “nos pequenos”

3.1. DSEE com fluxo separável Passemos às equações do DSEE com fluxo separável, apresentando-as na forma:

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Aqui os valores dos componentes da função vetorial q(x) pertencem ao conjunto Q (1.3), a (n × w)-matriz B tem um posto total igual a n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Deixe o sistema em consideração ter um ponto singular x. Para estudar a estabilidade deste ponto singular "no pequeno" construímos um sistema linearizado

onde A é uma matriz (n x n), cujos elementos são calculados no ponto x, e o vetor t = x - x. De acordo com a primeira equação em (3.1), a matriz do sistema linearizado tem

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

Eu k \u003d 1, g, eu \u003d 1, p

A partir de (3.1) são determinados os elementos da matriz Yr:dy.

"bkz P" 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

Para determinar os elementos da matriz Zx, voltamos ao último grupo de equações em (3.1). B mostra que essas equações definem uma função vetorial implícita r(x), que é continuamente diferenciável se a função vetorial g(x) for continuamente diferenciável. O Jacobiano Zx da função vetorial z(x) é definido pela equação

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

A partir desta equação temos (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x).

Substituindo este resultado na igualdade (3.3). Nós temos:

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

Assim, a equação do sistema linearizado assume a forma

(c.i) | = (j+p)e

Aqui, os elementos das matrizes J, P são calculados em um ponto singular. As condições de estabilidade suficientes "no pequeno" DSEE (3.1) são determinadas pelo seguinte

Teorema 3.1. O DSEE (3.1) tem um ponto singular x que é estável "no pequeno" se as seguintes condições forem satisfeitas:

a) as matrizes J, P (3.10) do sistema linearizado (3.11) possuem autovalores reais e diferentes, e a matriz J possui autovalor máximo

Pmax = max Pg > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umax + Ptah<

Segue deste teorema e igualdade (3.10) que para pontos singulares para os quais Qx(x) = 0 e (ou) para X, = 0 e tkj ^ 1 para todo ex k,j, as condições suficientes do teorema não são satisfeito.

3.2. DSEE com fluxo multiplicativo Considere as equações (1.6). apresentando-os na forma:

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

sistemas. Terá:

(3.13)

Nesta expressão, diag C] é uma matriz diagonal com elementos positivos a1,..., an, Yr, Zx são matrizes definidas pelas igualdades (3.4)-(3.7).

Representamos a matriz A na forma

(3.14) A = diag + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Denote: maxi ai = nmax e wmax é o autovalor máximo da matriz P(x) (3.15). Então o Teorema 3.1 também é válido para o DSEE (1.6). (3.12).

4. Sustentabilidade do DSEA “em grande”

Passemos às equações DESO (1.4), nas quais os valores das componentes da função vetorial q(x) pertencem ao conjunto Q (1.3). No sistema em consideração, existe um ponto singular Z, ao qual os vetores z(x) = z ^ z-> 0 e

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Vamos introduzir os vetores de desvio £, C, П do ponto singular: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009